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\section{Outils d'analyse du signal} 1 1 \section{Outils d'analyse du signal}
Les composantes du signal de PIC peuvent être isolées au moyen de différentes méthodes de décomposition. Dans la littérature, deux grandes familles d'algorithmes sont identifiables. La première correspond aux décompositions linéaires issues de la transformée de Fourier ; la seconde, plus récente, regroupe la décomposition en modes empiriques (\textit{Empirical Mode Decomposition}, EMD) et ses dérivés. Pour la suite, on considère un signal $s \in L^{2}({\mathbb{R})}$. 2 2 Les composantes du signal de PIC peuvent être isolées au moyen de différentes méthodes de décomposition. Dans la littérature, deux grandes familles d'algorithmes sont identifiables. La première correspond aux décompositions linéaires issues de la transformée de Fourier ; la seconde, plus récente, regroupe la décomposition en modes empiriques (\textit{Empirical Mode Decomposition}, EMD) et ses dérivés. Pour la suite, on considère un signal $s \in L^{2}({\mathbb{R})}$.
3 3
\subsection{Décompositions linéaires} 4 4 \subsection{Décompositions linéaires}
5 5
\subsubsection{Analyse de Fourier} 6 6 \subsubsection{Analyse de Fourier}
Un signal $s$ de longueur $N$ peut être étudié dans le domaine fréquentiel par le biais de sa transformée de Fourier : 7 7 Un signal $s$ de longueur $N$ peut être étudié dans le domaine fréquentiel par le biais de sa transformée de Fourier :
\begin{equation} 8 8 \begin{equation}
\hat{s}(\xi) = \int_{\mathbb{R}}s(t)exp(-i\xi t) \, dt 9 9 \hat{s}(\xi) = \int_{\mathbb{R}}s(t)exp(-i\xi t) \, dt
\end{equation} 10 10 \end{equation}
Celle-ci est discrétisée de la façon suivante dans un contexte de calcul numérique : 11 11 Celle-ci est discrétisée de la façon suivante dans un contexte de calcul numérique :
\begin{equation} 12 12 \begin{equation}
\hat{s}(\xi) = \sum_{n=0}^{M-1}exp(-i2\pi n\xi /M), \xi \in [\![0;M-1]\!] 13 13 \hat{s}(\xi) = \sum_{n=0}^{M-1}exp(-i2\pi n\xi /M), \xi \in [\![0;M-1]\!]
\end{equation} 14 14 \end{equation}
où $M \geq N$ est généralement choisi parmi les puissances de 2 par soucis d'efficacité calculatoire. 15 15 où $M \geq N$ est généralement choisi parmi les puissances de 2 par soucis d'efficacité calculatoire.
\par L'analyse de Fourier est historiquement un outil de choix pour l'analyse du signal de PIC~\cite{czosnyka2004monitoring}, du fait que ses nombreux déterminants physiologiques interviennent à des échelles de temps distinctes. De plus, le passage au domaine fréquentiel demande peu de ressources calculatoires(complexité temporelle de l'algorithme de transformée de Fourier rapide en $O(Nlog(N)$)). L'analyse fréquentielle est tout particulièrement utilisée pour caractériser les interactions entre le signal de PIC et d'autres signaux de monitorage par l'étude de fonction de transfert spectrales (\textit{transfer fonction analysis}, TFA). Ces méthodes font notamment l'objet d'une riche littérature traitant de l'autorégulation cérébrale (voir section~\ref{autoregulation}). 16 16 \par L'analyse de Fourier est historiquement un outil de choix pour l'analyse du signal de PIC~\cite{czosnyka2004monitoring}, du fait que ses nombreux déterminants physiologiques interviennent à des échelles de temps distinctes. De plus, le passage au domaine fréquentiel demande peu de ressources calculatoires(complexité temporelle de l'algorithme de transformée de Fourier rapide en $O(Nlog(N)$)). L'analyse fréquentielle est tout particulièrement utilisée pour caractériser les interactions entre le signal de PIC et d'autres signaux de monitorage par l'étude de fonction de transfert spectrales (\textit{transfer fonction analysis}, TFA). Ces méthodes font notamment l'objet d'une riche littérature traitant de l'autorégulation cérébrale (voir section~\ref{autoregulation}).
\par Cependant, certaines précautions doivent être prises lors de l'analyse du spectre obtenu \cite{huang1998empirical}. Les fréquences calculées étant issues d'une base algébrique de fonctions sinusoïdes, seules les interactions linéaires entre les différentes composantes du signal de PIC peuvent être fidèlement décrites. De plus, le signal décomposé est supposé stationnaire, c'est-à-dire qu'à chaque instant $t$: 17 17 \par Cependant, certaines précautions doivent être prises lors de l'analyse du spectre obtenu \cite{huang1998empirical}. Les fréquences calculées étant issues d'une base algébrique de fonctions sinusoïdes, seules les interactions linéaires entre les différentes composantes du signal de PIC peuvent être fidèlement décrites. De plus, le signal décomposé est supposé stationnaire, c'est-à-dire qu'à chaque instant $t$:
\begin{enumerate} 18 18 \begin{enumerate}
\item{$E(\|s(t^2)\|) < \infty$,} 19 19 \item{$E(\|s(t^2)\|) < \infty$,}
\item{$E(s(t)) = $ constante,} 20 20 \item{$E(s(t)) = $ constante,}
\item{$Cov(s(t_{1}), s(t_{2})) = Cov(s(t_{1} + \delta), s(t_{2} + \delta)) = Cov(t_{1} - t_{2})$} 21 21 \item{$Cov(s(t_{1}), s(t_{2})) = Cov(s(t_{1} + \delta), s(t_{2} + \delta)) = Cov(t_{1} - t_{2})$}
\end{enumerate} 22 22 \end{enumerate}
où $Cov(\cdot)$ désigne la fonction covariance. En pratique, si ces propriétés sont difficilement vérifiables formellement, les artefacts calculatoires liés aux problèmes de stationnarité sont limités en combinant plusieurs spectres fréquentiels estimés sur une fenêtre de temps glissante (méthode de Welch)~\cite{garcia2013spectral}. La grande sensibilité des résultats à la fenêtre de temps utilisée nécessite alors de définir certains standards de façon à rendre comparables les résultats de différentes études~\cite{meel2014between}. 23 23 où $Cov(\cdot)$ désigne la fonction covariance. En pratique, si ces propriétés sont difficilement vérifiables formellement, les artefacts calculatoires liés aux problèmes de stationnarité sont limités en combinant plusieurs spectres fréquentiels estimés sur une fenêtre de temps glissante (méthode de Welch)~\cite{garcia2013spectral}. La grande sensibilité des résultats à la fenêtre de temps utilisée nécessite alors de définir certains standards de façon à rendre comparables les résultats de différentes études~\cite{meel2014between}.
24 24
\subsubsection{Décomposition en ondelettes} 25 25 \subsubsection{Décomposition en ondelettes}
La transformée continue en ondelettes (\textit{wavelets}, CWT) est une extension à l'analyse de Fourier plus robuste à l'étude de signaux non-stationnaires, en proposant une décomposition du signal dans le plan temps-fréquences. Formellement, un coefficient $\tilde{s}$ est calculé à chaque instant $t$ et pour un facteur d'échelle $a$: 26 26 La transformée continue en ondelettes (\textit{wavelets}, CWT) est une extension à l'analyse de Fourier plus robuste à l'étude de signaux non-stationnaires, en proposant une décomposition du signal dans le plan temps-fréquences. Formellement, un coefficient $\tilde{s}$ est calculé à chaque instant $t$ et pour un facteur d'échelle $a$:
\begin{equation} 27 27 \begin{equation}
\tilde{s}(a, t) = \frac{1}{\sqrt{\|a\|}}\int_{\mathbb{R}}s(t)\psi(\frac{\tau - t}{a}) \, d\tau 28 28 \tilde{s}(a, t) = \frac{1}{\sqrt{\|a\|}}\int_{\mathbb{R}}s(t)\psi(\frac{\tau - t}{a}) \, d\tau
\end{equation} 29 29 \end{equation}
où $\psi$ désigne la fonction ondelette ''mère'' utilisée. Le signal d'origine est alors décrit comme une combinaison linéaire de convolutions du signal avec différentes dilatations et de translations de la fonction $\psi$. En pratique, l'analyse du signal de PIC univarié par CWT fait l'objet d'une littérature plus restreinte comparativement à l'analyse de Fourier classique. Ses applications concernent principalement l'identification d'artefacts~\cite{megjhani2023automatic}~\cite{feng2011artifact}. L'utilisation d'ondelettes est davantage répandue pour caractériser l'autorégulation cérébrale à partir d'un monitorage multivarié incluant PIC, PA et/ou TCD (voir section~\ref{autoregulation}). 30 30 où $\psi$ désigne la fonction ondelette ''mère'' utilisée. Le signal d'origine est alors décrit comme une combinaison linéaire de convolutions du signal avec différentes dilatations et de translations de la fonction $\psi$. En pratique, l'analyse du signal de PIC univarié par CWT fait l'objet d'une littérature plus restreinte comparativement à l'analyse de Fourier classique. Ses applications concernent principalement l'identification d'artefacts~\cite{megjhani2023automatic}~\cite{feng2011artifact}. L'utilisation d'ondelettes est davantage répandue pour caractériser l'autorégulation cérébrale à partir d'un monitorage multivarié incluant PIC, PA et/ou TCD (voir section~\ref{autoregulation}).
31 31
\subsection{Décompositions en modes} 32 32 \subsection{Décompositions en modes}
Les algorithmes de décomposition en modes (ADM) regroupent une vaste famille d'algorithmes dérivés de la publication originale de Huang \textit{et al.} introduisant la décomposition en modes empiriques (\textit{Empirical Mode Decomposition}, EMD)\cite{huang1998empirical}. L'idée proposée est de décomposer un signal donné en oscillations élémentaires qui ne soient pas issus d'une base vectorielle prédéfinie \textit{a priori}, comme dans le cas de la transformée de Fourier et de ses différentes généralisations. Ce changement de paradigme a pour objectif de développer un outil adapté à l'étude de signaux non-stationnaires (c'est-à-dire, d'espérance et de variance variables dans le temps) et/ou résultant de la combinaison non-linéaire de différentes composantes. Ainsi, ces algorithmes extraient de façon itérative des fonctions de modes intrinsèques (\textit{intrinsic mode functions}, IMFs) du signal de base, oscillations élémentaires spécifiques à un signal respectant les propriétés suivantes : 33 33 Les algorithmes de décomposition en modes (ADM) regroupent une vaste famille d'algorithmes dérivés de la publication originale de Huang \textit{et al.} introduisant la décomposition en modes empiriques (\textit{Empirical Mode Decomposition}, EMD)\cite{huang1998empirical}. L'idée proposée est de décomposer un signal donné en oscillations élémentaires qui ne soient pas issus d'une base vectorielle prédéfinie \textit{a priori}, comme dans le cas de la transformée de Fourier et de ses différentes généralisations. Ce changement de paradigme a pour objectif de développer un outil adapté à l'étude de signaux non-stationnaires (c'est-à-dire, d'espérance et de variance variables dans le temps) et/ou résultant de la combinaison non-linéaire de différentes composantes. Ainsi, ces algorithmes extraient de façon itérative des fonctions de modes intrinsèques (\textit{intrinsic mode functions}, IMFs) du signal de base, oscillations élémentaires spécifiques à un signal respectant les propriétés suivantes :
\begin{enumerate} 34 34 \begin{enumerate}
\item Le nombre d'extrema et le nombre de traversées de l'axe des abscisses doivent différer au plus de 1 (ou, par équivalence : tous les maxima locaux doivent être strictement positifs et tous les minima locaux doivent être strictement négatifs). 35 35 \item Le nombre d'extrema et le nombre de traversées de l'axe des abscisses doivent différer au plus de 1 (ou, par équivalence : tous les maxima locaux doivent être strictement positifs et tous les minima locaux doivent être strictement négatifs).
\item En tout point, la moyenne de l'enveloppe définie par les maxima locaux et les minima locaux doit être égale à 0. 36 36 \item En tout point, la moyenne de l'enveloppe définie par les maxima locaux et les minima locaux doit être égale à 0.
\end{enumerate} 37 37 \end{enumerate}
Dans la pratique, une IMF est donc une fonction pseudo-périodique localement symétrique par rapport à l'axe des abscisses, dont la durée et l'amplitude des oscillations peuvent varier au cours du temps. En gardant à l'esprit que les ADMs sont conçus pour l'étude de signaux non-stationnaires, ces propriétés sont utiles par la suite pour définir les notions d'amplitude et de fréquences locales, voire instantanées, que les définitions classiques ne peuvent couvrir du fait du principe d'indétermination temps-fréquence. Cependant, cette flexibilité implique la perte de certaines propriétés des méthodes linéaires. Dans le cas général, pour deux signaux $s$ et $z$ et un $ADM$ quelconque, $ADM(s + z) \neq ADM(s) + ADM(z)$. L'unicité de la décomposition en IMFs n'est pas non plus assurée : plusieurs décompositions valides peuvent être obtenues à partir d'un même signal. Enfin, l'orthogonalité des IMFs extraites et la conservation de l'énergie du signal initial dépendent des ADMs. 38 38 Dans la pratique, une IMF est donc une fonction pseudo-périodique localement symétrique par rapport à l'axe des abscisses, dont la durée et l'amplitude des oscillations peuvent varier au cours du temps. En gardant à l'esprit que les ADMs sont conçus pour l'étude de signaux non-stationnaires, ces propriétés sont utiles par la suite pour définir les notions d'amplitude et de fréquences locales, voire instantanées, que les définitions classiques ne peuvent couvrir du fait du principe d'indétermination temps-fréquence. Cependant, cette flexibilité implique la perte de certaines propriétés des méthodes linéaires. Dans le cas général, pour deux signaux $s$ et $z$ et un $ADM$ quelconque, $ADM(s + z) \neq ADM(s) + ADM(z)$. L'unicité de la décomposition en IMFs n'est pas non plus assurée : plusieurs décompositions valides peuvent être obtenues à partir d'un même signal. Enfin, l'orthogonalité des IMFs extraites et la conservation de l'énergie du signal initial dépendent des ADMs.
39 39
\subsubsection{Décomposition en modes empiriques} 40 40 \subsubsection{Décomposition en modes empiriques}
\paragraph{Formulation.} En 1998, Huang \textit{et al.} proposent l'EMD pour extraire itérativement les IMFs d'un signal~\cite{huang1998empirical}. Celle-ci repose sur le calcul d'enveloppes du signal, qui correspondent à une interpolation cubique entre les différents maxima (minima) locaux. La méthode d'extraction des IMFs est décrite dans l'algorithme~\ref{algo:EMD}. 41 41 \paragraph{Formulation.} En 1998, Huang \textit{et al.} proposent l'EMD pour extraire itérativement les IMFs d'un signal~\cite{huang1998empirical}. Celle-ci repose sur le calcul d'enveloppes du signal, qui correspondent à une interpolation cubique entre les différents maxima (minima) locaux. La méthode d'extraction des IMFs est décrite dans l'algorithme~\ref{algo:EMD}.
42 42
\begin{algorithm}[h!] 43 43 \begin{algorithm}[h!]
\label{algo:EMD} 44 44 \label{algo:EMD}
\caption{Décomposition en modes empiriques (EMD)} 45 45 \caption{Décomposition en modes empiriques (EMD)}
\Entree{signal \textit{s}} 46 46 \Entree{signal \textit{s}}
\Sortie{ensemble d'IMFs} 47 47 \Sortie{ensemble d'IMFs}
IMFs = \{\}\; 48 48 IMFs = \{\}\;
\Tq{le nombre d'extrema de $s \leq 2$}{ 49 49 \Tq{le nombre d'extrema de $s \leq 2$}{
{ 50 50 {
$e_{+} \leftarrow$ enveloppe supérieure de $s$\; 51 51 $e_{+} \leftarrow$ enveloppe supérieure de $s$\;
$e_{-} \leftarrow$ enveloppe inférieure de $s$\; 52 52 $e_{-} \leftarrow$ enveloppe inférieure de $s$\;
$ m \leftarrow (e_{-} + e_{+} )/ 2 $\; 53 53 $ m \leftarrow (e_{-} + e_{+} )/ 2 $\;
54 54
\Tq{$m$ n'est pas accepté comme IMF}{ 55 55 \Tq{$m$ n'est pas accepté comme IMF}{
$e_{+} \leftarrow$ enveloppe supérieure de $s - m$\; 56 56 $e_{+} \leftarrow$ enveloppe supérieure de $s - m$\;
$e_{-} \leftarrow$ enveloppe inférieure de $s - m$\; 57 57 $e_{-} \leftarrow$ enveloppe inférieure de $s - m$\;
$ m \leftarrow (e_{-} + e_{+} ) / 2 $\; 58 58 $ m \leftarrow (e_{-} + e_{+} ) / 2 $\;
} 59 59 }
60 60
$ IMFs \leftarrow IMFs \cup \{m\} $\; 61 61 $ IMFs \leftarrow IMFs \cup \{m\} $\;
$ s \leftarrow s - m $\; 62 62 $ s \leftarrow s - m $\;
} 63 63 }
64 64
} 65 65 }
\end{algorithm} 66 66 \end{algorithm}
Bien que jamais mise en défaut en pratique, la convergence de la procédure d'extraction d'une IMF n'a jamais pu être démontrée, limitant de fait l'étude des propriétés mathématiques de l'EMD~\cite{ge2018theoretical}. Ces travaux précurseurs ont cependant donné lieu à de très nombreuses extensions, notamment dans les domaines complexes, multivariés et multidimensionnels~\cite{barbosh2020empirical}. L'EMD a été adoptée dans différents domaines d'application impliquant des signaux non-stationnaires et/ou des systèmes non-linéaires, de la sismologie~\cite{chen2022seismic} à l'étude d'électroencéphalogrammes~\cite{munoz2018localization}. En ce qui concerne l'analyse du signal de PIC, l'EMD a principalement été utilisée en tant que pré-traitement pour la suppression d'irrégularités ponctuelles~\cite{martinez2021empirical}~\cite{dai2020intracranial}. Certaines évolutions de l'algorithme original visent à contourner des limitations de l'EMD bien identifiées dans la littérature, publication originale comprise. Parmi les problématiques les plus saillantes~\cite{de2022survey}, il convient de citer: 67 67 Bien que jamais mise en défaut en pratique, la convergence de la procédure d'extraction d'une IMF n'a jamais pu être démontrée, limitant de fait l'étude des propriétés mathématiques de l'EMD~\cite{ge2018theoretical}. Ces travaux précurseurs ont cependant donné lieu à de très nombreuses extensions, notamment dans les domaines complexes, multivariés et multidimensionnels~\cite{barbosh2020empirical}. L'EMD a été adoptée dans différents domaines d'application impliquant des signaux non-stationnaires et/ou des systèmes non-linéaires, de la sismologie~\cite{chen2022seismic} à l'étude d'électroencéphalogrammes~\cite{munoz2018localization}. En ce qui concerne l'analyse du signal de PIC, l'EMD a principalement été utilisée en tant que pré-traitement pour la suppression d'irrégularités ponctuelles~\cite{martinez2021empirical}~\cite{dai2020intracranial}. Certaines évolutions de l'algorithme original visent à contourner des limitations de l'EMD bien identifiées dans la littérature, publication originale comprise. Parmi les problématiques les plus saillantes~\cite{de2022survey}, il convient de citer:
\begin{itemize} 68 68 \begin{itemize}
\item Le mélange des modes (\textit{mode mixing}) : ce problème correspond aux situations où deux composantes de fréquences distinctes sont contenues dans une même IMF. Rilling et Flandrin~\cite{rilling2007one} ont étudié formellement le problème pour deux composantes sinusoïdales en faisant varier les ratios des amplitudes et des fréquences entre deux signaux sinusoïdaux additionnés. Pour ce modèle en particulier, en notant $a$ le ratio des amplitudes et $f$ le ratio des fréquences, la capacité de séparation de l'EMD est limitée à des couples d'oscillations pour lesquelles $f$ < ~0.6 et $a < 1/f$. Différentes corrections ont été proposées pour limiter ce problème de façon empirique. En particulier, l'EMD d'ensemble (\textit{Ensemble EMD}, EEMD) consiste à répéter plusieurs fois l'algorithme de $sift$ en perturbant légèrement le signal initial au moyen d'un bruit aléatoire, et de prendre les IMFs médianes des différentes décompositions obtenues. 69 69 \item Le mélange des modes (\textit{mode mixing}) : ce problème correspond aux situations où deux composantes de fréquences distinctes sont contenues dans une même IMF. Rilling et Flandrin~\cite{rilling2007one} ont étudié formellement le problème pour deux composantes sinusoïdales en faisant varier les ratios des amplitudes et des fréquences entre deux signaux sinusoïdaux additionnés. Pour ce modèle en particulier, en notant $a$ le ratio des amplitudes et $f$ le ratio des fréquences, la capacité de séparation de l'EMD est limitée à des couples d'oscillations pour lesquelles $f$ < ~0.6 et $a < 1/f$. Différentes corrections ont été proposées pour limiter ce problème de façon empirique. En particulier, l'EMD d'ensemble (\textit{Ensemble EMD}, EEMD) consiste à répéter plusieurs fois l'algorithme de $sift$ en perturbant légèrement le signal initial au moyen d'un bruit aléatoire, et de prendre les IMFs médianes des différentes décompositions obtenues.
\item Le fractionnement des modes (\textit{mode splitting}) : une même composante fréquentielle peut être fractionnée sur plusieurs IMFs adjacentes si les conditions d'acceptation d'une IMF sont trop contraignantes~\cite{xu2016study}. De nombreux critères ont été proposés dans la littérature, comme la différence dans le nombre d'extrema entre deux itérations~\cite{huang2003confidence} ou l'orthogonalité avec le signal avant extraction~\cite{huang1998empirical}. Cependant, comme l'existence d'une limite explicite vers laquelle tendrait le processus d'extraction n'a pas été prouvée, il reste peu aisé d'exhiber un critère d'arrêt optimal. 70 70 \item Le fractionnement des modes (\textit{mode splitting}) : une même composante fréquentielle peut être fractionnée sur plusieurs IMFs adjacentes si les conditions d'acceptation d'une IMF sont trop contraignantes~\cite{xu2016study}. De nombreux critères ont été proposés dans la littérature, comme la différence dans le nombre d'extrema entre deux itérations~\cite{huang2003confidence} ou l'orthogonalité avec le signal avant extraction~\cite{huang1998empirical}. Cependant, comme l'existence d'une limite explicite vers laquelle tendrait le processus d'extraction n'a pas été prouvée, il reste peu aisé d'exhiber un critère d'arrêt optimal.
\item Les effets des extrémités : le calcul des enveloppes, reposant sur une interpolation entre les différents extrema, est perturbé au début et à la fin du signal. L'erreur introduite, difficile à quantifier, dépend des implémentations du calcul des enveloppes. Les différentes solutions proposées consistent globalement à étendre le signal à ses extrémités de manière plus ou moins complexe~\cite{zare2023end}. 71 71 \item Les effets des extrémités : le calcul des enveloppes, reposant sur une interpolation entre les différents extrema, est perturbé au début et à la fin du signal. L'erreur introduite, difficile à quantifier, dépend des implémentations du calcul des enveloppes. Les différentes solutions proposées consistent globalement à étendre le signal à ses extrémités de manière plus ou moins complexe~\cite{zare2023end}.
\end{itemize} 72 72 \end{itemize}
73 73
\paragraph{Fréquences instantanées.} Les propriétés vérifiées par les IMFs ont été choisies de façon à définir des fréquences instantanées par le biais de la transformée de Hilbert, s'affranchissant ainsi du principe d'incertitude temps-fréquence inhérent à l'analyse de Fourier et ses dérivés. La transformée de Hilbert $\mathcal{H}$ est définie telle que : 74 74 \paragraph{Fréquences instantanées.} Les propriétés vérifiées par les IMFs ont été choisies de façon à définir des fréquences instantanées par le biais de la transformée de Hilbert, s'affranchissant ainsi du principe d'incertitude temps-fréquence inhérent à l'analyse de Fourier et ses dérivés. La transformée de Hilbert $\mathcal{H}$ est définie telle que :
\begin{equation} 75 75 \begin{equation}
\mathcal{H}(s)(x) = \frac{1}{\pi} v.p. \int_{\mathbb{R}} \frac{s(\tau)}{x-\tau}\, d\tau 76 76 \mathcal{H}(s)(x) = \frac{1}{\pi} v.p. \int_{\mathbb{R}} \frac{s(\tau)}{x-\tau}\, d\tau
\end{equation} 77 77 \end{equation}
où $v.p.$ désigne la valeur principale de Cauchy. La transformée de Hilbert est plus facilement calculée dans le domaine fréquentiel, où celle-ci revient à multiplier par $i$ les termes de fréquences négatives et $-i$ les termes de fréquences positives: 78 78 où $v.p.$ désigne la valeur principale de Cauchy. La transformée de Hilbert est plus facilement calculée dans le domaine fréquentiel, où celle-ci revient à multiplier par $i$ les termes de fréquences négatives et $-i$ les termes de fréquences positives:
\begin{equation} 79 79 \begin{equation}
\mathcal{H}(\hat{s})(\xi) = -i\text{ sign}(\xi)\cdot \hat{s}({\xi}) 80 80 \mathcal{H}(\hat{s})(\xi) = -i\text{ sign}(\xi)\cdot \hat{s}({\xi})
\end{equation} 81 81 \end{equation}
La transformée de Hilbert permet de prolonger un signal réel $s$ en un signal analytique $Z$ dans le plan complexe tel que $Z : t \rightarrow s(t) + i\mathcal{H}(s)(t)$. En considérant la forme exponentielle du signal analytique $Z(t) = a(t)e^{i\theta(t)}$, l'amplitude instantanée correspond alors au terme $a(t)$, la phase instantanée au terme $\theta(t)$ et la fréquence instantanée $\omega(t)$ à la dérivée $\frac{d\theta(t)}{dt}$. Les propriétés des IMFs permettent de conserver certaines caractéristiques de la définition classique de la fréquence, par exemple d'obtenir une fréquence instantanée constante pour une IMF parfaitement sinusoïdale. 82 82 La transformée de Hilbert permet de prolonger un signal réel $s$ en un signal analytique $Z$ dans le plan complexe tel que $Z : t \rightarrow s(t) + i\mathcal{H}(s)(t)$. En considérant la forme exponentielle du signal analytique $Z(t) = a(t)e^{i\theta(t)}$, l'amplitude instantanée correspond alors au terme $a(t)$, la phase instantanée au terme $\theta(t)$ et la fréquence instantanée $\omega(t)$ à la dérivée $\frac{d\theta(t)}{dt}$. Les propriétés des IMFs permettent de conserver certaines caractéristiques de la définition classique de la fréquence, par exemple d'obtenir une fréquence instantanée constante pour une IMF parfaitement sinusoïdale.
83 83
\paragraph{Spectre de Hilbert.} En appliquant la transformée de Hilbert à chacune des $n$ IMFs extraites d'un signal $s$, on obtient la relation 84 84 \paragraph{Spectre de Hilbert.} En appliquant la transformée de Hilbert à chacune des $n$ IMFs extraites d'un signal $s$, on obtient la relation
\begin{equation} 85 85 \begin{equation}
s(t) = \text{Re}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}(t)e^{i\theta(t)}} 86 86 s(t) = \text{Re}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}(t)e^{i\theta(t)}}
\end{equation} 87 87 \end{equation}
où Re désigne la fonction partie réelle. Par analogie avec la transformée de Fourier, il est possible de définir un spectre bivarié temps-fréquence, ou spectre de Hilbert, tel que pour une temps $t$ et une fréquence $\omega$ : 88 88 où Re désigne la fonction partie réelle. Par analogie avec la transformée de Fourier, il est possible de définir un spectre bivarié temps-fréquence, ou spectre de Hilbert, tel que pour une temps $t$ et une fréquence $\omega$ :
\begin{equation} 89 89 \begin{equation}
H(\omega, t) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}(t)e^{i\int\omega_{k}(t)\,dt} 90 90 H(\omega, t) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}(t)e^{i\int\omega_{k}(t)\,dt}
\end{equation} 91 91 \end{equation}
En divisant le plan (temps, fréquences) en rectangles de dimensions $\delta t, \delta \xi$, la densité spectrale $S$ est définie pour le rectangle de coordonnées $a,b$ par: 92 92 En divisant le plan (temps, fréquences) en rectangles de dimensions $\delta t, \delta \xi$, la densité spectrale $S$ est définie pour le rectangle de coordonnées $a,b$ par:
\begin{equation} 93 93 \begin{equation}
S_{a,b} = \frac{1}{\Delta t \times \Delta \omega} ( \sum a_k^2(t) : t \in ( t_a - \frac{\Delta t}{2}, t_a + \frac{\Delta t}{2}), \omega \in ( \omega_b - \frac{\Delta \omega}{2}, \omega_b + \frac{\Delta \omega}{2})) 94 94 S_{a,b} = \frac{1}{\Delta t \times \Delta \omega} ( \sum a_k^2(t) : t \in ( t_a - \frac{\Delta t}{2}, t_a + \frac{\Delta t}{2}), \omega \in ( \omega_b - \frac{\Delta \omega}{2}, \omega_b + \frac{\Delta \omega}{2}))
\end{equation} 95 95 \end{equation}
Les graphiques obtenus à partir du spectre de Hilbert permettent ainsi de suivre l'évolution du contenu fréquentiel d'un signal non-stationnaire. 96 96 Les graphiques obtenus à partir du spectre de Hilbert permettent ainsi de suivre l'évolution du contenu fréquentiel d'un signal non-stationnaire.
97 97
\subsubsection{Filtrage itératif} 98 98 \subsubsection{Filtrage itératif}
\label{FIF} 99 99 \label{FIF}
100 100
\paragraph{Formulation.} Pour pallier aux différents manquements théoriques de l'EMD, la méthode du filtrage itératif (\textit{Iterative Filtering}, IF) a été proposée en 2009~\cite{lin2009iterative}. Cette décomposition reprend le principe de construction itérative d'IMFs, en utilisant cette fois des moyennes glissantes à la place des enveloppes pour le processus d'extraction. L'algorithme est présenté ici dans sa version rapide (\textit{Fast Iterative Filtering}, FIF, voir algorithme~\ref{algo:FIF}), accélérée en effectuant les opérations de convolution dans le domaine fréquentiel. Le processus de FIF est d'une complexité en temps comparable à l'EMD, en $O(Nlog(N))$, où $N$ est la taille du signal décomposé, contre $O(N^{2})$ pour la effectuant les moyennes glissantes dans le domaine temporel. 101 101 \paragraph{Formulation.} Pour pallier aux différents manquements théoriques de l'EMD, la méthode du filtrage itératif (\textit{Iterative Filtering}, IF) a été proposée en 2009~\cite{lin2009iterative}. Cette décomposition reprend le principe de construction itérative d'IMFs, en utilisant cette fois des moyennes glissantes à la place des enveloppes pour le processus d'extraction. L'algorithme est présenté ici dans sa version rapide (\textit{Fast Iterative Filtering}, FIF, voir algorithme~\ref{algo:FIF}), accélérée en effectuant les opérations de convolution dans le domaine fréquentiel. Le processus de FIF est d'une complexité en temps comparable à l'EMD, en $O(Nlog(N))$, où $N$ est la taille du signal décomposé, contre $O(N^{2})$ pour la effectuant les moyennes glissantes dans le domaine temporel.
102 102
\begin{algorithm}[h!] 103 103 \begin{algorithm}[h!]
\label{algo:FIF} 104 104 \label{algo:FIF}
\caption{Filtrage itératif rapide (FIF)} 105 105 \caption{Filtrage itératif rapide (FIF)}
\Entree{signal \textit{s}} 106 106 \Entree{signal \textit{s}}
\Sortie{ensemble d'IMFs} 107 107 \Sortie{ensemble d'IMFs}
IMFs = \{\}\; 108 108 IMFs = \{\}\;
\Tq{le nombre d'extrema de $s \leq 2$}{ 109 109 \Tq{le nombre d'extrema de $s \leq 2$}{
{ 110 110 {
Déterminer un filtre $w$ de taille $L$; 111 111 Déterminer un filtre $w$ de taille $L$;
$\hat{s} \leftarrow dft(s)$\; 112 112 $\hat{s} \leftarrow dft(s)$\;
$\hat{w} \leftarrow dft(w)$\; 113 113 $\hat{w} \leftarrow dft(w)$\;
$m \leftarrow 1$\; 114 114 $m \leftarrow 1$\;
$\hat{s}_{m} \leftarrow \hat{s}$\; 115 115 $\hat{s}_{m} \leftarrow \hat{s}$\;
\Tq{$s_{m}$ n'est pas accepté comme IMF}{ 116 116 \Tq{$s_{m}$ n'est pas accepté comme IMF}{
$\hat{s}_{m} = I - \text{diag}(\hat{w})^{m}\hat{s}$\; 117 117 $\hat{s}_{m} = I - \text{diag}(\hat{w})^{m}\hat{s}$\;
$ m \leftarrow m+ 1 $\; 118 118 $ m \leftarrow m+ 1 $\;
} 119 119 }
120 120
$ IMFs \leftarrow IMFs \cup \{s_{m}\} $\; 121 121 $ IMFs \leftarrow IMFs \cup \{s_{m}\} $\;
$ s \leftarrow s - idft(s_{m}) $\; 122 122 $ s \leftarrow s - idft(s_{m}) $\;
} 123 123 }
124 124
} 125 125 }
\end{algorithm} 126 126 \end{algorithm}
Le processus de (F)IF peut être adapté au signal étudié en jouant sur les coefficients des moyennes glissantes -c'est à dire les filtres- utilisés. Une analyse théorique poussée du processus de (F)IF est rendue possible par l'existence d'une limite explicite au processus d'extraction $\mathcal{M}$ de la première IMF: 127 127 Le processus de (F)IF peut être adapté au signal étudié en jouant sur les coefficients des moyennes glissantes -c'est à dire les filtres- utilisés. Une analyse théorique poussée du processus de (F)IF est rendue possible par l'existence d'une limite explicite au processus d'extraction $\mathcal{M}$ de la première IMF:
\begin{equation} 128 128 \begin{equation}
\label{eq:IMF} 129 129 \label{eq:IMF}
IMF_{1} = \underset{n \rightarrow \infty}{M^{n}}(s)(x) = 130 130 IMF_{1} = \underset{n \rightarrow \infty}{M^{n}}(s)(x) =
\int_{\mathbb{R}} \hat{s}(\xi)\chi_{\{\hat{w}(\xi=0)\}}e^{i2\pi\xi x} \,d\xi 131 131 \int_{\mathbb{R}} \hat{s}(\xi)\chi_{\{\hat{w}(\xi=0)\}}e^{i2\pi\xi x} \,d\xi
\end{equation} 132 132 \end{equation}
où $\hat{s}$ désigne la transformée de Fourier du signal $s$ et $\hat{w}$ la transformée de Fourier du filtre $w$. La limite décrite dans l'équation \ref{eq:IMF} est garantie pour un filtre pair, positif, à support compact dans $\mathbb{R}$ et de somme 1. 133 133 où $\hat{s}$ désigne la transformée de Fourier du signal $s$ et $\hat{w}$ la transformée de Fourier du filtre $w$. La limite décrite dans l'équation \ref{eq:IMF} est garantie pour un filtre pair, positif, à support compact dans $\mathbb{R}$ et de somme 1.
La décomposition est rendue non-linéaire par la définition d'un nouveau filtre à chaque début d'extraction d'une IMF. Si le choix des coefficients et de la taille du filtre revient à l'utilisateur, les auteurs recommandent de calculer la taille $L$ d'un filtre à partir de l'espacement moyen entre deux extrema consécutifs selon la formule : $L = 2\lfloor \nu \frac{\text{taille du signal}}{\text{nombre d'extrema}} \rfloor$, où $\nu$ est un paramètre à déterminer, généralement entre 1 et 2~\cite{cicone2022multivariate}. Différentes propriétés du processus de (F)IF ont pu être étudiées théoriquement. En particulier~: 134 134 La décomposition est rendue non-linéaire par la définition d'un nouveau filtre à chaque début d'extraction d'une IMF. Si le choix des coefficients et de la taille du filtre revient à l'utilisateur, les auteurs recommandent de calculer la taille $L$ d'un filtre à partir de l'espacement moyen entre deux extrema consécutifs selon la formule : $L = 2\lfloor \nu \frac{\text{taille du signal}}{\text{nombre d'extrema}} \rfloor$, où $\nu$ est un paramètre à déterminer, généralement entre 1 et 2~\cite{cicone2022multivariate}. Différentes propriétés du processus de (F)IF ont pu être étudiées théoriquement. En particulier~:
\begin{itemize} 135 135 \begin{itemize}
\item Séparation des fréquences : pourvu que la taille du filtre soit choisie de façon appropriée, le procédure de FIF peut séparer deux signaux sinusoïdaux purs de fréquences aussi proches que souhaité tant que $f < 1 - \frac{1}{\nu}$, où $f$ est le ratio des fréquences et $\nu$ la longueur des signaux en nombre de périodes. 136 136 \item Séparation des fréquences : pourvu que la taille du filtre soit choisie de façon appropriée, le procédure de FIF peut séparer deux signaux sinusoïdaux purs de fréquences aussi proches que souhaité tant que $f < 1 - \frac{1}{\nu}$, où $f$ est le ratio des fréquences et $\nu$ la longueur des signaux en nombre de périodes.
\item Conservation de l'énergie : la transformée de Fourier vérifie, dans le cas discret, la propriété $\sum_{n=0}^{N-1} \|s(n)\|^{2} = \frac{1}{N}\sum_{\xi} \|\hat{s}(\xi)\|^{2}$ (Théorème de Parseval-Plancherel). En comparaison, la procédure de (F)IF conserve l'énergie de Fourier de norme 1: $E_{1}(s) = \sum_{\xi}\hat{s}(\xi)$ \cite{cicone2024new}. 137 137 \item Conservation de l'énergie : la transformée de Fourier vérifie, dans le cas discret, la propriété $\sum_{n=0}^{N-1} \|s(n)\|^{2} = \frac{1}{N}\sum_{\xi} \|\hat{s}(\xi)\|^{2}$ (Théorème de Parseval-Plancherel). En comparaison, la procédure de (F)IF conserve l'énergie de Fourier de norme 1: $E_{1}(s) = \sum_{\xi}\hat{s}(\xi)$ \cite{cicone2024new}.
\item Orthogonalité des IMFs : comme pour l'EMD et ses dérivées, l'exacte orthogonalité ne peut pas être garantie dans le cas général, les IMFs n'étant pas générées dans un espace vectoriel prédéfini. Différentes analyses numériques montrent cependant qu'en pratique, les IMFs extraites par EMD comme par IMFs sont quasi-orthogonales, le choix de la taille des filtres pouvant même faire l'objet d'une optimisation à ce sujet~\cite{chen2023filter}. 138 138 \item Orthogonalité des IMFs : comme pour l'EMD et ses dérivées, l'exacte orthogonalité ne peut pas être garantie dans le cas général, les IMFs n'étant pas générées dans un espace vectoriel prédéfini. Différentes analyses numériques montrent cependant qu'en pratique, les IMFs extraites par EMD comme par IMFs sont quasi-orthogonales, le choix de la taille des filtres pouvant même faire l'objet d'une optimisation à ce sujet~\cite{chen2023filter}.
\item Effets des extrémités : la procédure de FIF suppose une périodicité du signal à ses extrémités~\cite{cicone2021numerical}. Dans le cas contraire, des artefacts de calcul apparaissent de façon quantifiable aux bornes des IMFs extraites, en particulier dans les basses fréquences. Les auteurs préconisent d'étendre le signal à ses extrémités en jouant sur des symétries de façon à introduire une périodicité aux bornes du signal traité~\cite{cicone2020study}. 139 139 \item Effets des extrémités : la procédure de FIF suppose une périodicité du signal à ses extrémités~\cite{cicone2021numerical}. Dans le cas contraire, des artefacts de calcul apparaissent de façon quantifiable aux bornes des IMFs extraites, en particulier dans les basses fréquences. Les auteurs préconisent d'étendre le signal à ses extrémités en jouant sur des symétries de façon à introduire une périodicité aux bornes du signal traité~\cite{cicone2020study}.
\end{itemize} 140 140 \end{itemize}
141 141
\paragraph{IMFogramme.} 142 142 \paragraph{IMFogramme.}
Les méthodes de calcul de fréquences instantanées basées sur la transformée de Hilbert peuvent également s'appliquer aux IMFs extraites par (F)IF, les auteurs proposent une autre représentation temps-fréquence n'impliquant pas de prolongation du signal dans le plan complexe~\cite{cicone2024new}. Celle-ci suppose cependant l'absence de modulation du signal à l'échelle d'une période. 143 143 Les méthodes de calcul de fréquences instantanées basées sur la transformée de Hilbert peuvent également s'appliquer aux IMFs extraites par (F)IF, les auteurs proposent une autre représentation temps-fréquence n'impliquant pas de prolongation du signal dans le plan complexe~\cite{cicone2024new}. Celle-ci suppose cependant l'absence de modulation du signal à l'échelle d'une période.
\begin{itemize} 144 144 \begin{itemize}
\item amplitude instantanée : soit $g$ une interpolation (linéaire par exemple) des maxima locaux de la valeur absolue d'une IMF. L'amplitude instantanée de cette IMF est alors définie telle que $A : t \rightarrow max(g(t), IMF(t))$. 145 145 \item amplitude instantanée : soit $g$ une interpolation (linéaire par exemple) des maxima locaux de la valeur absolue d'une IMF. L'amplitude instantanée de cette IMF est alors définie telle que $A : t \rightarrow max(g(t), IMF(t))$.
\item fréquence instantanée : soient $(z_{k})_{k=1}^{p}$ les positions des $p$ croisements d'une IMF avec l'axe des abscisses. On note $y_{k} = \frac{1}{z_{k+1}}$ l'inverse de la durée de la $k$-ème demi-oscillation. La fréquence instantanée de cette IMF de taille $N$ est définie par l'interpolation (linéaire par exemple) de la fonction $f : k \rightarrow 2y_{k}$ sur l'intervalle $[0, N-1]$. 146 146 \item fréquence instantanée : soient $(z_{k})_{k=1}^{p}$ les positions des $p$ croisements d'une IMF avec l'axe des abscisses. On note $y_{k} = \frac{1}{z_{k+1}}$ l'inverse de la durée de la $k$-ème demi-oscillation. La fréquence instantanée de cette IMF de taille $N$ est définie par l'interpolation (linéaire par exemple) de la fonction $f : k \rightarrow 2y_{k}$ sur l'intervalle $[0, N-1]$.
\end{itemize} 147 147 \end{itemize}
L'IMFogramme (\textit{IMFogram}) est une représentation obtenue sur le plan (temps, fréquences) séparé en rectangles de dimensions $\Delta t \times \Delta f$. La valeur de chaque rectangle correspond à la somme des amplitudes moyennes de chacune des IMFs sur ce rectangle. 148 148 L'IMFogramme (\textit{IMFogram}) est une représentation obtenue sur le plan (temps, fréquences) séparé en rectangles de dimensions $\Delta t \times \Delta f$. La valeur de chaque rectangle correspond à la somme des amplitudes moyennes de chacune des IMFs sur ce rectangle.
149 149
À titre d'exemple, une comparaison entre différentes représentations temps-fréquences d'un enregistrement de 5 minutes de PIC est présentée figure~\ref{comp}. 150 150 À titre d'exemple, une comparaison entre différentes représentations temps-fréquences d'un enregistrement de 5 minutes de PIC est présentée figure~\ref{comp}.
\begin{figure}[h!] 151 151 \begin{figure}[h!]
\centering 152 152 \centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/comp.png} 153 153 \includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/comp.png}
\caption{Trois représentations temps-fréquences d'un enregistrement de pression intracrânienne. EMD --- décomposition en modes empiriques, FIF --- filtrage itératif rapide.} 154 154 \caption{Trois représentations temps-fréquences d'un enregistrement de pression intracrânienne. EMD --- décomposition en modes empiriques, FIF --- filtrage itératif rapide.}
\label{fig:cppopt} 155 155 \label{fig:cppopt}
\end{figure} 156 156 \end{figure}
157 157
158 158
159 159
\section{Monitorage de la compliance cérébrale} 160 160 \section{Monitorage de la compliance cérébrale}
\label{CC} 161 161 \label{CC}
La compliance cérébrale correspond à la relation pression-volume régnant au sein de la boîte crânienne. En d'autre termes, la compliance cérébrale décrit la capacité du système à modérer l'augmentation de la PIC en réponse à une augmentation du volume cérébral ~\cite{ocamoto2021intracranial}. Ce concept est décrit dans la littérature scientifique par le biais de nombreux termes plus ou moins synonymes : différents auteurs parlent ainsi de "compliance intracrânienne" (\textit{intracranial compliance}), de "réserve compensatoire" (\textit{compensatory reserve}), ou simplement de "relation pression-volume" (\textit{pressure-volume relationship}). De plus, certaines études préfèrent travailler sur le concept inverse d'élastance intracrânienne (\textit{intracranial elastance}). Différents mécanismes de compliance cérébrale peuvent être mis en jeu selon l'échelle de temps, la gravité et le type d'atteinte du système cérébrospinal. \`A des échelles de temps courtes, les volumes de liquide cérébrospinal, de sang et de liquide interstitiel constituent des réserves de compliance rapidement disponibles \cite{kim2009monitoring}. Dans le cas de traumatismes graves et d'hématomes volumineux, la compensation est également effectuée par une diminution conjointe du volume des neurones et des astrocytes dans différentes régions du parenchyme cérébral~\cite{kalisvaart2020update}. Dans le cas d'HTIC chroniques, un amincissement de la voûte crânienne peut également survenir~\cite{benson2023monro}. Ce dernier mécanisme de compensation à longue échelle de temps contrevient donc à la doctrine de Monroe-Kellie, selon laquelle la boîte crânienne abrite un volume incompressible. Quant à la caractérisation de la compliance cérébrale à échelle macroscopique, la relation pression-volume issue du modèle de Marmarou~\cite{marmarou1975compartmental} fait aujourd'hui consensus dans la pratique clinique : 162 162 La compliance cérébrale correspond à la relation pression-volume régnant au sein de la boîte crânienne. En d'autre termes, la compliance cérébrale décrit la capacité du système à modérer l'augmentation de la PIC en réponse à une augmentation du volume cérébral ~\cite{ocamoto2021intracranial}. Ce concept est décrit dans la littérature scientifique par le biais de nombreux termes plus ou moins synonymes : différents auteurs parlent ainsi de "compliance intracrânienne" (\textit{intracranial compliance}), de "réserve compensatoire" (\textit{compensatory reserve}), ou simplement de "relation pression-volume" (\textit{pressure-volume relationship}). De plus, certaines études préfèrent travailler sur le concept inverse d'élastance intracrânienne (\textit{intracranial elastance}). Différents mécanismes de compliance cérébrale peuvent être mis en jeu selon l'échelle de temps, la gravité et le type d'atteinte du système cérébrospinal. \`A des échelles de temps courtes, les volumes de liquide cérébrospinal, de sang et de liquide interstitiel constituent des réserves de compliance rapidement disponibles \cite{kim2009monitoring}. Dans le cas de traumatismes graves et d'hématomes volumineux, la compensation est également effectuée par une diminution conjointe du volume des neurones et des astrocytes dans différentes régions du parenchyme cérébral~\cite{kalisvaart2020update}. Dans le cas d'HTIC chroniques, un amincissement de la voûte crânienne peut également survenir~\cite{benson2023monro}. Ce dernier mécanisme de compensation à longue échelle de temps contrevient donc à la doctrine de Monroe-Kellie, selon laquelle la boîte crânienne abrite un volume incompressible. Quant à la caractérisation de la compliance cérébrale à échelle macroscopique, la relation pression-volume issue du modèle de Marmarou~\cite{marmarou1975compartmental} fait aujourd'hui consensus dans la pratique clinique :
\begin{equation} 163 163 \begin{equation}
\label{exp} 164 164 \label{exp}
PIC = (p_{b} - p_{0})e^{E \Delta V}+p_{0} 165 165 PIC = (p_{b} - p_{0})e^{E \Delta V}+p_{0}
\end{equation} 166 166 \end{equation}
où $p_{b}$ et $p_{0}$ sont des constantes de référence, $E$ désigne l'élastance intracrânienne (soit l'inverse de la compliance), et $\Delta V$ désigne une variation de volume. Il est à noter que le modèle a historiquement été développé pour modéliser la pression du LCS lors de tests diagnostiques d'hydrocéphalie (voir section~\ref{direct}). Toutefois, l'équation~\eqref{exp} reste pertinente lorsqu'elle est appliquée à différents compartiments du système cérébrospinal~\cite{domogo2023mechanistic}. En pratique, la courbe pression-volume est classiquement divisée en trois zones (voir figure~\ref {fig:langfitt}). La première correspond à la zone de compensation (d'où l'appellation "réserve compensatoire"), où la PIC est quasi-invariante aux changements de volume. Au-delà d'un premier seuil, la PIC augmente de façon exponentielle avec le volume, tel que décrit par l'équation~\eqref{exp}. Cette relation devient caduque au-delà d'un second seuil, où l'hypertension provoque des dommages mécaniques irrémédiables aux tissus concernés. L'information de la compliance cérébrale peut être pertinente dans la prise en charge des deux grandes familles de pathologies où la mesure de la PIC est recommandable, à savoir les lésions cérébrales traumatiques et les hydrocéphalies. Dans le premier cas, la connaissance de la compliance cérébrale permet de caractériser plus précisément les atteintes du système cérébrospinal~\cite{zeiler2018impaired}, d'identifier les patients les plus à risque d'HTIC~\cite{shahsavari2011cerebrovascular}, et ainsi d'adapter la durée et le niveau de sédation. La compliance cérébrale est également un facteur pronostique~\cite{calviello2018compensatory}. Dans le cas de l'hydrocéphalie, l'information de la compliance cérébrale, en plus de sa valeur diagnostique, est un facteur de décision quant à la pose d'un dispositif de dérivation du LCS~\cite{gholampour2023intracranial}. 167 167 où $p_{b}$ et $p_{0}$ sont des constantes de référence, $E$ désigne l'élastance intracrânienne (soit l'inverse de la compliance), et $\Delta V$ désigne une variation de volume. Il est à noter que le modèle a historiquement été développé pour modéliser la pression du LCS lors de tests diagnostiques d'hydrocéphalie (voir section~\ref{direct}). Toutefois, l'équation~\eqref{exp} reste pertinente lorsqu'elle est appliquée à différents compartiments du système cérébrospinal~\cite{domogo2023mechanistic}. En pratique, la courbe pression-volume est classiquement divisée en trois zones (voir figure~\ref {fig:langfitt}). La première correspond à la zone de compensation (d'où l'appellation "réserve compensatoire"), où la PIC est quasi-invariante aux changements de volume. Au-delà d'un premier seuil, la PIC augmente de façon exponentielle avec le volume, tel que décrit par l'équation~\eqref{exp}. Cette relation devient caduque au-delà d'un second seuil, où l'hypertension provoque des dommages mécaniques irrémédiables aux tissus concernés. L'information de la compliance cérébrale peut être pertinente dans la prise en charge des deux grandes familles de pathologies où la mesure de la PIC est recommandable, à savoir les lésions cérébrales traumatiques et les hydrocéphalies. Dans le premier cas, la connaissance de la compliance cérébrale permet de caractériser plus précisément les atteintes du système cérébrospinal~\cite{zeiler2018impaired}, d'identifier les patients les plus à risque d'HTIC~\cite{shahsavari2011cerebrovascular}, et ainsi d'adapter la durée et le niveau de sédation. La compliance cérébrale est également un facteur pronostique~\cite{calviello2018compensatory}. Dans le cas de l'hydrocéphalie, l'information de la compliance cérébrale, en plus de sa valeur diagnostique, est un facteur de décision quant à la pose d'un dispositif de dérivation du LCS~\cite{gholampour2023intracranial}.
168 168
\begin{figure}[h!] 169 169 \begin{figure}[h!]
\centering 170 170 \centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/langfitt.png} 171 171 \includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/langfitt.png}
\caption{Relation pression-volume au sein de la boîte crânienne et morphologie des pulsations cardiaques associées. PIC~: pression intracrânienne} 172 172 \caption{Relation pression-volume au sein de la boîte crânienne et morphologie des pulsations cardiaques associées. PIC~: pression intracrânienne}
\label{fig:langfitt} 173 173 \label{fig:langfitt}
\end{figure} 174 174 \end{figure}
175 175
\subsection{Mesures directes} 176 176 \subsection{Mesures directes}
\label{direct} 177 177 \label{direct}
Les mesures directes de compliance cérébrale consistent à mesurer les variations de PIC en réaction à des variations de volume intracrânien, le plus souvent induites par des manipulations au niveau du LCS. Ces mesures, impliquant une intervention au bloc opératoire, se basent sur la relation~\ref{exp} pour calculer un coefficient de compliance (ou d'élastance) caractéristique du système cérébrospinal. Du fait de la lourdeur des manipulations nécessaires, ces méthodes sont quasi-exclusivement réservées aux patients hydrocéphales. Selon le protocole mis en place, la compliance cérébrale peut être expérimentalement mesurée à différentes échelles de temps caractéristiques. Deux principaux indices ont été proposés pour caractériser la réponse instantanée du système aux variations de volume. Le VPR (\textit{Volume-Pressure Volume}) proposé par Miller, Stanek et Langiftt en 1972 et exprimé en mmHg/mL, correspond à l'augmentation de la PIC induite par une variation de 1 mL~\cite{miller1972concepts}. Le PVI (\textit{Pressure-Volume Index}), introduit par Shulman et Marmarou en 1975, correspond au volume de solution saline nécessaire pour augmenter la PIC d'un facteur 10~\cite{marmarou1975compartmental}. Ce volume théorique, toujours utilisé aujourd'hui dans le cadre de tests diagnostiques, est calculé après injection de bolus de solution saline par voie lombaire. Des mesures de compliance cérébrale caractérisant la réponse à plus long terme peuvent également être effectuées. Un débit constant de solution saline est alors injecté dans le système. Si un PVI peut être calculé analytiquement sur la base d'une modélisation proposée par Avezaat et Eindhoven dans les années 1980~\cite{avezaat1984cerebrospinal}, ces tests d'infusion servent généralement à mesurer la résistance du système à l'écoulement du CSF. Cette propriété mécanique est classiquement caractérisée par le R\textsubscript{out}, exprimé en mmHg/(mL/min), directement issu du modèle de Marmarou. Quoiqu'il en soit, plusieurs études et méta-analyses montrent que les tests d'infusion et les injections de bolus mettent à l'épreuve des propriétés mécaniques différentes \cite{gholampour2023intracranial}. En pratique, réaliser les deux types de tests permet de caractériser au mieux les propriétés mécaniques du système cérébrospinal. 178 178 Les mesures directes de compliance cérébrale consistent à mesurer les variations de PIC en réaction à des variations de volume intracrânien, le plus souvent induites par des manipulations au niveau du LCS. Ces mesures, impliquant une intervention au bloc opératoire, se basent sur la relation~\ref{exp} pour calculer un coefficient de compliance (ou d'élastance) caractéristique du système cérébrospinal. Du fait de la lourdeur des manipulations nécessaires, ces méthodes sont quasi-exclusivement réservées aux patients hydrocéphales. Selon le protocole mis en place, la compliance cérébrale peut être expérimentalement mesurée à différentes échelles de temps caractéristiques. Deux principaux indices ont été proposés pour caractériser la réponse instantanée du système aux variations de volume. Le VPR (\textit{Volume-Pressure Volume}) proposé par Miller, Stanek et Langiftt en 1972 et exprimé en mmHg/mL, correspond à l'augmentation de la PIC induite par une variation de 1 mL~\cite{miller1972concepts}. Le PVI (\textit{Pressure-Volume Index}), introduit par Shulman et Marmarou en 1975, correspond au volume de solution saline nécessaire pour augmenter la PIC d'un facteur 10~\cite{marmarou1975compartmental}. Ce volume théorique, toujours utilisé aujourd'hui dans le cadre de tests diagnostiques, est calculé après injection de bolus de solution saline par voie lombaire. Des mesures de compliance cérébrale caractérisant la réponse à plus long terme peuvent également être effectuées. Un débit constant de solution saline est alors injecté dans le système. Si un PVI peut être calculé analytiquement sur la base d'une modélisation proposée par Avezaat et Eindhoven dans les années 1980~\cite{avezaat1984cerebrospinal}, ces tests d'infusion servent généralement à mesurer la résistance du système à l'écoulement du CSF. Cette propriété mécanique est classiquement caractérisée par le R\textsubscript{out}, exprimé en mmHg/(mL/min), directement issu du modèle de Marmarou. Quoiqu'il en soit, plusieurs études et méta-analyses montrent que les tests d'infusion et les injections de bolus mettent à l'épreuve des propriétés mécaniques différentes \cite{gholampour2023intracranial}. En pratique, réaliser les deux types de tests permet de caractériser au mieux les propriétés mécaniques du système cérébrospinal.
179 179
\subsection{Caractérisations indirectes} 180 180 \subsection{Caractérisations indirectes}
181 181
\subsubsection{Indices spectraux} 182 182 \subsubsection{Indices spectraux}
Le signal de PIC a été étudié dans le domaine fréquentiel dès les années 1980 pour mesurer les amplitudes de ses différentes composantes phsyiologiques. Plusieurs caractérisations du spectre obtenu par transformée de Fourier ont été successivement proposées dans la littérature. 183 183 Le signal de PIC a été étudié dans le domaine fréquentiel dès les années 1980 pour mesurer les amplitudes de ses différentes composantes phsyiologiques. Plusieurs caractérisations du spectre obtenu par transformée de Fourier ont été successivement proposées dans la littérature.
\par Le \textit{Higher Frequency Centroid} (HFC) est défini comme la moyenne des fréquences entre 4 et 15 Hz pondérée par leurs amplitudes respectives dans la transformée de Fourier du signal. En 1986, ses auteurs rapportent une très bonne corrélation négative avec le PVI calculé sur une cohorte variée de 48 patients~\cite{bray1986development}. Le rationnel derrière sa définition est qu'une forme de pulsation plus arrondie contient moins de fréquences aiguës. De manière contradictoire, en 1989, une étude regroupant 55 patients cérébrolésés décrit le HFC moyen ainsi que le temps passé avec un HFC supérieur à 9 Hz comme des prédicteurs significatifs de la mortalité~\cite{robertson_clinical_1989}. En 2022, le calcul du HFC sur une cohorte de 184 patients cérébrolésés montre une corrélation positive entre HFC et PIC, jusqu'à un point de cassure à environ 31 mmHg. Sur cette population, les patients décédés présentaient un HFC moyen significativement plus élevé que les survivants~\cite{uryga_analysis_2023}. En plus de sa difficulté d'interprétation, le HFC a comme limite sa dépendance à la fréquence cardiaque du patient, du fait de la définition \textit{a priori} d'une bande de fréquence d'intérêt. 184 184 \par Le \textit{Higher Frequency Centroid} (HFC) est défini comme la moyenne des fréquences entre 4 et 15 Hz pondérée par leurs amplitudes respectives dans la transformée de Fourier du signal. En 1986, ses auteurs rapportent une très bonne corrélation négative avec le PVI calculé sur une cohorte variée de 48 patients~\cite{bray1986development}. Le rationnel derrière sa définition est qu'une forme de pulsation plus arrondie contient moins de fréquences aiguës. De manière contradictoire, en 1989, une étude regroupant 55 patients cérébrolésés décrit le HFC moyen ainsi que le temps passé avec un HFC supérieur à 9 Hz comme des prédicteurs significatifs de la mortalité~\cite{robertson_clinical_1989}. En 2022, le calcul du HFC sur une cohorte de 184 patients cérébrolésés montre une corrélation positive entre HFC et PIC, jusqu'à un point de cassure à environ 31 mmHg. Sur cette population, les patients décédés présentaient un HFC moyen significativement plus élevé que les survivants~\cite{uryga_analysis_2023}. En plus de sa difficulté d'interprétation, le HFC a comme limite sa dépendance à la fréquence cardiaque du patient, du fait de la définition \textit{a priori} d'une bande de fréquence d'intérêt.
\par Une façon de s'affranchir du choix de cette plage fréquentielle consiste à caractériser les harmoniques de la composante cardiaque du signal. Le $k$-ratio, défini en 1987~\cite{takizawa_changes_nodate}, propose de caractériser la puissance spectrale associée à la fréquence cardiaque $FW$ par rapport à celles de ses harmoniques n°2 à 4, respectivement notées $HW2$, $HW3$ et $HW4$ selon la formule suivante : $k = \frac{\sqrt{HW2^{2} + HW3^{2} + HW4^{2}}}{FW}$. Ses auteurs ont observé une corrélation négative entre $k$-ratio et la PIC sur modèle animal, indépendemment validée par la suite sur une cohorte de 109 patients traumatisés crâniens ~\cite{contant_intracranial_1995}. 185 185 \par Une façon de s'affranchir du choix de cette plage fréquentielle consiste à caractériser les harmoniques de la composante cardiaque du signal. Le $k$-ratio, défini en 1987~\cite{takizawa_changes_nodate}, propose de caractériser la puissance spectrale associée à la fréquence cardiaque $FW$ par rapport à celles de ses harmoniques n°2 à 4, respectivement notées $HW2$, $HW3$ et $HW4$ selon la formule suivante : $k = \frac{\sqrt{HW2^{2} + HW3^{2} + HW4^{2}}}{FW}$. Ses auteurs ont observé une corrélation négative entre $k$-ratio et la PIC sur modèle animal, indépendemment validée par la suite sur une cohorte de 109 patients traumatisés crâniens ~\cite{contant_intracranial_1995}.
186 186
\par En 2021, le \textit{Higher Harmonic Centroid} (HHC) est proposé comme une alternative au HFC. Celui-ci correspond au centroïde des harmoniques n°2 à 10 de la fréquence cardiaque, pondérées par leurs amplitudes respectives (voir figure~\ref{fig:fft}). Le HHC est donc un nombre adimensionnel compris entre 2 et 10. Les auteurs du HHC ont montré une baisse significative de celui-ci lors des ondes de plateau~\cite{zakrzewska_intracranial_2021}. De manière générale, le HHC pourrait être utilisé en pratique clinique comme prédicteur d'épisode d'HTIC~\cite{uryga_analysis_2023}. 187 187 \par En 2021, le \textit{Higher Harmonic Centroid} (HHC) est proposé comme une alternative au HFC. Celui-ci correspond au centroïde des harmoniques n°2 à 10 de la fréquence cardiaque, pondérées par leurs amplitudes respectives (voir figure~\ref{fig:fft}). Le HHC est donc un nombre adimensionnel compris entre 2 et 10. Les auteurs du HHC ont montré une baisse significative de celui-ci lors des ondes de plateau~\cite{zakrzewska_intracranial_2021}. De manière générale, le HHC pourrait être utilisé en pratique clinique comme prédicteur d'épisode d'HTIC~\cite{uryga_analysis_2023}.
188 188
\begin{figure}[h!] 189 189 \begin{figure}[h!]
\centering 190 190 \centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/FFT.png} 191 191 \includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/FFT.png}
\caption{Transformée de Fourier d'un signal de pression intracrânienne. F: fréquence fondamentale, composante cardiaque. H$n$: harmonique n°$n$ de la composante cardiaque. Les harmoniques encadrées sont prises en compte dans le calcul du \textit{Higher Harmonic Centroid}.} 192 192 \caption{Transformée de Fourier d'un signal de pression intracrânienne. F: fréquence fondamentale, composante cardiaque. H$n$: harmonique n°$n$ de la composante cardiaque. Les harmoniques encadrées sont prises en compte dans le calcul du \textit{Higher Harmonic Centroid}.}
\label{fig:fft} 193 193 \label{fig:fft}
\end{figure} 194 194 \end{figure}
195 195
Bien que faciles à implémenter, ces méthodes se heurtent à l'hypothèse de stationnarité du signal exigée par la transformée de Fourier. Celle-ci est contournée en décrivant l'évolution temporelle du contenu fréquentiel par le biais d'une fenêtre glissante, mais dont le choix de la taille peut être sujet à débat. Une autre limite mathématique réside dans les différentes interactions non-linéaires entre les déterminants du signal de PIC, alors que la transformée de Fourier est, par définition, une combinaison linéaire de différentes sinusoïdes. Enfin, il peut être malaisé de relier ces différents indices spectraux à des mécanismes physiologiques sous-jacents, rendant difficiles leur adoption par le corps médical. 196 196 Bien que faciles à implémenter, ces méthodes se heurtent à l'hypothèse de stationnarité du signal exigée par la transformée de Fourier. Celle-ci est contournée en décrivant l'évolution temporelle du contenu fréquentiel par le biais d'une fenêtre glissante, mais dont le choix de la taille peut être sujet à débat. Une autre limite mathématique réside dans les différentes interactions non-linéaires entre les déterminants du signal de PIC, alors que la transformée de Fourier est, par définition, une combinaison linéaire de différentes sinusoïdes. Enfin, il peut être malaisé de relier ces différents indices spectraux à des mécanismes physiologiques sous-jacents, rendant difficiles leur adoption par le corps médical.
197 197
\subsubsection{Amplitude du signal de PIC} 198 198 \subsubsection{Amplitude du signal de PIC}
\par En considérant que la fraction du volume sanguin d'éjection systolique (VES) transmise au cerveau reste constante, on peut montrer en utilisant le modèle de Marmarou que (i) l'amplitude des pulsations d'origine cardiaque (AMP) est inversement proportionnelle à la compliance cérébrale, et (ii) qu'il existe une relation linéaire entre amplitude et PIC, dont le coefficient est également proportionnel à la compliance cérébrale \cite{czosnyka2012modeling}. L'information apportée par l'AMP a donc été largement étudiée dès la fin des années 1970. Historiquement, le premier protocole proposé en 1977~\cite{szewczykowski1977fast} consistait à rechercher la limite des capacités de compensation (c'est-à-dire le passage de la zone I à II courbe de Langfitt, voir figure~\ref{fig:langfitt}) en la présence d'une cassure sur la droite AMP - PIC réalisée pour des patients hydrocéphales au bloc opératoire. Cependant, l'AMP peut être également utilisée comme un indicateur partiel de la compliance cérébrale dans le cadre d'un monitorage en continu~\cite{wagshul2011pulsating}. Du fait de la difficulté à découper algorithmiquement les pulsations cardiaques sur un signal de PIC univarié, les modalités de calcul de l'AMP ont donné lieu à un débat dans la littérature au milieu des années 2000 entre les partisans du domaine fréquentiel et du domaine temporel. Il a notamment été montré que l'utilisation d'une transformée de Fourier pouvait sous-estimer de 2 à 3 mmHg la véritable amplitude des pulsations, du fait de la non-vérification des hypothèses préalables à l'analyse de Fourier~\cite{holm2008frequency}. Depuis, l'algorithme de Scholkmann modifié publié en 2018 semble s'être imposé comme une méthode standard dans le domaine temporel~\cite{bishop2018multi}. Concernant la pratique clinique, il a été montré que l'AMP était un prédicteur de la mortalité chez le patient cérébrolésé~\cite{uryga_analysis_2023}. En 2011, une étude randomisée en simple aveugle sur 97 patients atteints de HSA a montré que les patients traités pour viser une AMP à 5 mmHg présentaient de meilleurs \textit{outcomes} que ceux traités pour maintenir la PIC inférieure à 20 mmHg~\cite{eide2011randomized}. En 2024, une étude portant sur 60 patients atteints de traumatisme crânien rapporte pour un tiers d'entre eux des épisodes de variations cycliques de l'AMP (nommées \textit{spindle waves}), positivement corrélées avec le devenir du patient~\cite{zhu2023spindle}. 199 199 \par En considérant que la fraction du volume sanguin d'éjection systolique (VES) transmise au cerveau reste constante, on peut montrer en utilisant le modèle de Marmarou que (i) l'amplitude des pulsations d'origine cardiaque (AMP) est inversement proportionnelle à la compliance cérébrale, et (ii) qu'il existe une relation linéaire entre amplitude et PIC, dont le coefficient est également proportionnel à la compliance cérébrale \cite{czosnyka2012modeling}. L'information apportée par l'AMP a donc été largement étudiée dès la fin des années 1970. Historiquement, le premier protocole proposé en 1977~\cite{szewczykowski1977fast} consistait à rechercher la limite des capacités de compensation (c'est-à-dire le passage de la zone I à II courbe de Langfitt, voir figure~\ref{fig:langfitt}) en la présence d'une cassure sur la droite AMP - PIC réalisée pour des patients hydrocéphales au bloc opératoire. Cependant, l'AMP peut être également utilisée comme un indicateur partiel de la compliance cérébrale dans le cadre d'un monitorage en continu~\cite{wagshul2011pulsating}. Du fait de la difficulté à découper algorithmiquement les pulsations cardiaques sur un signal de PIC univarié, les modalités de calcul de l'AMP ont donné lieu à un débat dans la littérature au milieu des années 2000 entre les partisans du domaine fréquentiel et du domaine temporel. Il a notamment été montré que l'utilisation d'une transformée de Fourier pouvait sous-estimer de 2 à 3 mmHg la véritable amplitude des pulsations, du fait de la non-vérification des hypothèses préalables à l'analyse de Fourier~\cite{holm2008frequency}. Depuis, l'algorithme de Scholkmann modifié publié en 2018 semble s'être imposé comme une méthode standard dans le domaine temporel~\cite{bishop2018multi}. Concernant la pratique clinique, il a été montré que l'AMP était un prédicteur de la mortalité chez le patient cérébrolésé~\cite{uryga_analysis_2023}. En 2011, une étude randomisée en simple aveugle sur 97 patients atteints de HSA a montré que les patients traités pour viser une AMP à 5 mmHg présentaient de meilleurs \textit{outcomes} que ceux traités pour maintenir la PIC inférieure à 20 mmHg~\cite{eide2011randomized}. En 2024, une étude portant sur 60 patients atteints de traumatisme crânien rapporte pour un tiers d'entre eux des épisodes de variations cycliques de l'AMP (nommées \textit{spindle waves}), positivement corrélées avec le devenir du patient~\cite{zhu2023spindle}.
200 200
\par L'AMP n'étant qu'au mieux proportionnelle à la véritable élastance cérébrale et sujette aux variations de la fraction du VES transmise au cerveau, d'autres indicateurs ont été proposés pour préciser l'information fournie par le calcul de l'amplitude. Le \textit{rise-time coefficient}, correspondant au coefficient directeur de la droite entre le début de la pulsation et son sommet, permet d'associer au calcul de l'amplitude la morphologie générale de la pulsation cardiaque~\cite{eide2016correlation}. L'indice RAP, proposé dans les années 1980, est défini comme la corrélation glissante entre l'AMP et la PIC moyenne \cite{czosnyka1988system}. Cet indice, positif et proche de 0 dans des conditions de compliance cérébrale préservée, tend vers 1 au fur et à mesure que la compliance se dégrade. \`A l'entrée de la zone critique d'hernie cérébrale, le RAP décroît brutalement jusqu'à devenir négatif. Historiquement proposé pour caractériser le résultat de tests d'infusion constante, le RAP a largement été étudié dans de nombreuses études rétrospectives impliquant de grandes cohortes de patients cérébrolésés~\cite{islam2024continuous}. Dans ce contexte, le RAP est alors calculé en continu. Ses auteurs préconisent de calculer la corrélation sur une fenêtre glissante de 40 échantillons de 6.4 secondes chacun, et de mesurer l'amplitude des pulsations dans le domaine fréquentiel~\cite{czosnyka2004monitoring}, mais ces valeurs ne sont pas systématiquement utilisées dans la littérature. Quoiqu'il en soit, les différentes études incluant une mesure du RAP ne parviennent pas à mettre clairement en évidence un lien avec le devenir du patient~\cite{uryga_analysis_2023}, et utilisent plutôt le RAP pour caractériser des périodes d'instabilité sujettes à des épisodes d'hypertension~\cite{donnelly2020observations, pineda2018assessing}. En parallèle, l'aire décrite par l'évolution du RAP au cours des 48 premières heures a été significativement corrélée avec certaines lésions corticales observables au scanner~\cite{zeiler2018impaired}. Le RAP est également à la base du concept de ''vraie PIC'' (\textit{true ICP}), définie telle que $true ICP = ICP(1 - RAP)$~\cite{czosnyka2005concept}. Les limitations du RAP résident principalement dans sa sensibilité à la ligne de base du signal de PIC et aux perturbations extérieures. Ainsi, les indices RAP obtenus par le biais de capteurs intraparenchymateux implantés dans des hémisphères différents peuvent dévier de plus de 0.2 dans plus de 20\% du temps~\cite{eide2013intracranial}. Conçu pour davantage de robustesse aux perturbations extérieures, l'indice RAQ (\textit{Respiratory Amplitude Quotient}), publié en 2020, propose d'étudier les variation d'amplitude induites par la vague respiratoire~\cite{spiegelberg2020raq}. Cependant, celui-ci n'a fait l'objet d'aucune étude impliquant un monitorage invasif de la PIC entre sa date de publication et 2025. 201 201 \par L'AMP n'étant qu'au mieux proportionnelle à la véritable élastance cérébrale et sujette aux variations de la fraction du VES transmise au cerveau, d'autres indicateurs ont été proposés pour préciser l'information fournie par le calcul de l'amplitude. Le \textit{rise-time coefficient}, correspondant au coefficient directeur de la droite entre le début de la pulsation et son sommet, permet d'associer au calcul de l'amplitude la morphologie générale de la pulsation cardiaque~\cite{eide2016correlation}. L'indice RAP, proposé dans les années 1980, est défini comme la corrélation glissante entre l'AMP et la PIC moyenne \cite{czosnyka1988system}. Cet indice, positif et proche de 0 dans des conditions de compliance cérébrale préservée, tend vers 1 au fur et à mesure que la compliance se dégrade. \`A l'entrée de la zone critique d'hernie cérébrale, le RAP décroît brutalement jusqu'à devenir négatif. Historiquement proposé pour caractériser le résultat de tests d'infusion constante, le RAP a largement été étudié dans de nombreuses études rétrospectives impliquant de grandes cohortes de patients cérébrolésés~\cite{islam2024continuous}. Dans ce contexte, le RAP est alors calculé en continu. Ses auteurs préconisent de calculer la corrélation sur une fenêtre glissante de 40 échantillons de 6.4 secondes chacun, et de mesurer l'amplitude des pulsations dans le domaine fréquentiel~\cite{czosnyka2004monitoring}, mais ces valeurs ne sont pas systématiquement utilisées dans la littérature. Quoiqu'il en soit, les différentes études incluant une mesure du RAP ne parviennent pas à mettre clairement en évidence un lien avec le devenir du patient~\cite{uryga_analysis_2023}, et utilisent plutôt le RAP pour caractériser des périodes d'instabilité sujettes à des épisodes d'hypertension~\cite{donnelly2020observations, pineda2018assessing}. En parallèle, l'aire décrite par l'évolution du RAP au cours des 48 premières heures a été significativement corrélée avec certaines lésions corticales observables au scanner~\cite{zeiler2018impaired}. Le RAP est également à la base du concept de ''vraie PIC'' (\textit{true ICP}), définie telle que $true ICP = ICP(1 - RAP)$~\cite{czosnyka2005concept}. Les limitations du RAP résident principalement dans sa sensibilité à la ligne de base du signal de PIC et aux perturbations extérieures. Ainsi, les indices RAP obtenus par le biais de capteurs intraparenchymateux implantés dans des hémisphères différents peuvent dévier de plus de 0.2 dans plus de 20\% du temps~\cite{eide2013intracranial}. Conçu pour davantage de robustesse aux perturbations extérieures, l'indice RAQ (\textit{Respiratory Amplitude Quotient}), publié en 2020, propose d'étudier les variation d'amplitude induites par la vague respiratoire~\cite{spiegelberg2020raq}. Cependant, celui-ci n'a fait l'objet d'aucune étude impliquant un monitorage invasif de la PIC entre sa date de publication et 2025.
202 202
\subsubsection{Morphologie des pulsations cardiaques} 203 203 \subsubsection{Morphologie des pulsations cardiaques}
204 204
\par À l'échelle du cycle cardiaque, la compliance cérébrale est un déterminant de l'allure générale des pulsations visibles sur le signal de PIC. Celle-ci peut être décrite de façon géométrique en prenant pour repères les positions et hauteurs relatives des pics P1, P2 et P3, ou bien de façon plus globale par un score déterminé par apprentissage supervisé. 205 205 \par À l'échelle du cycle cardiaque, la compliance cérébrale est un déterminant de l'allure générale des pulsations visibles sur le signal de PIC. Celle-ci peut être décrite de façon géométrique en prenant pour repères les positions et hauteurs relatives des pics P1, P2 et P3, ou bien de façon plus globale par un score déterminé par apprentissage supervisé.
206 206
\par Dans le premier cas, la reconnaissance automatique des pics P1, P2 et P3 représente un challenge technique, dont les solutions présentées dans la littérature font systématiquement appel à de l'apprentissage automatique \cite{lee2015morphological}~\cite{kalaiarasan2024novel}. En particulier, l'algorithme MOCAIP (\textit{MOrphological Clustering and Analysis of continuous Intracranial Pressure}), publié en 2008 \cite{hu2008morphological}, propose de calculer 24 métriques associées aux pics P1, P2 et P3. 207 207 \par Dans le premier cas, la reconnaissance automatique des pics P1, P2 et P3 représente un challenge technique, dont les solutions présentées dans la littérature font systématiquement appel à de l'apprentissage automatique \cite{lee2015morphological}~\cite{kalaiarasan2024novel}. En particulier, l'algorithme MOCAIP (\textit{MOrphological Clustering and Analysis of continuous Intracranial Pressure}), publié en 2008 \cite{hu2008morphological}, propose de calculer 24 métriques associées aux pics P1, P2 et P3.
% 208 208 %
Pour ce faire, la pulsation caractéristique d'une période de référence est déterminée par clustering. Les pics P1, P2 et P3 sont ensuite identifiés sur cette pulsation par un algorithme d'apprentissage supervisé. Différentes alternatives au modèle gaussien initial ont été successivement proposées dans la littérature par les auteurs de MOCAIP \cite{hu2010intracranial, scalzo2012bayesian, rashidinejad2020patient}. Quel que soit l'algorithme de détection choisi, celui-ci choisit les pics P1, P2 et P3 parmi un ensemble de candidats correspondant à des extrema de la fonction courbure, définie pour un vecteur $v \in {\mathcal{C}}^{2}(\mathbb{R})$ par l'application $v \rightarrow \frac{v''}{(1+ v'^{2})^{(3/2)}}$. 209 209 Pour ce faire, la pulsation caractéristique d'une période de référence est déterminée par clustering. Les pics P1, P2 et P3 sont ensuite identifiés sur cette pulsation par un algorithme d'apprentissage supervisé. Différentes alternatives au modèle gaussien initial ont été successivement proposées dans la littérature par les auteurs de MOCAIP \cite{hu2010intracranial, scalzo2012bayesian, rashidinejad2020patient}. Quel que soit l'algorithme de détection choisi, celui-ci choisit les pics P1, P2 et P3 parmi un ensemble de candidats correspondant à des extrema de la fonction courbure, définie pour un vecteur $v \in {\mathcal{C}}^{2}(\mathbb{R})$ par l'application $v \rightarrow \frac{v''}{(1+ v'^{2})^{(3/2)}}$.
% 210 210 %
Si l'algorithme MOCAIP n'a jamais été utilisé dans un contexte clinique en temps réel, sa conception prend en compte les différentes perturbations auxquelles le signal de PIC peut être sujet. En effet, l'étape de clustering permet d'éliminer les pulsations statistiquement anormales, au risque d'une perte d'information importante en cas de forte variabilité de la forme des pulsations. Quoiqu'il en soit, l'algorithme MOCAIP comme ses dérivés reposent sur un signal auxiliaire (pression artérielle et/ou électrocardiogramme) pour l'identification des pics et/ou des pulsations, pouvant compliquer son utilisation en temps réel dans les hôpitaux. Cette difficulté s'ajoute au coût calculatoire de l'étape de clustering dans un contexte de monitorage par un dispositif embarqué. 211 211 Si l'algorithme MOCAIP n'a jamais été utilisé dans un contexte clinique en temps réel, sa conception prend en compte les différentes perturbations auxquelles le signal de PIC peut être sujet. En effet, l'étape de clustering permet d'éliminer les pulsations statistiquement anormales, au risque d'une perte d'information importante en cas de forte variabilité de la forme des pulsations. Quoiqu'il en soit, l'algorithme MOCAIP comme ses dérivés reposent sur un signal auxiliaire (pression artérielle et/ou électrocardiogramme) pour l'identification des pics et/ou des pulsations, pouvant compliquer son utilisation en temps réel dans les hôpitaux. Cette difficulté s'ajoute au coût calculatoire de l'étape de clustering dans un contexte de monitorage par un dispositif embarqué.
212 212
213 213
%applications cliniques 214 214 %applications cliniques
\par Une solution pour s'affranchir de la détection exacte des positions de P1, P2 et P3 consiste à attribuer un score à l'allure générale des pulsations par apprentissage supervisé. Cette possibilité implique de définir rigoureusement des critères de classification, répétable et reproductible par des experts lors du processus d'annotation des exemples d'entraînement. La publication des premiers travaux liés au \textit{pulse shape index} (PSI) en 2021~\cite{mataczynski2021end} a permis d'affiner une première ébauche proposée en 2016~\cite{nucci2016intracranial}. Le PSI correspond à la moyenne d'un score de classification calculé indépendamment sur chacune des pulsations cardiaques d'une fenêtre cinq minutes mise à jour toutes les dix secondes. La classification retenue, appelée par la suite classification de Wroclaw, consiste en quatre classes de pulsations allant de "T1 - normal" à "T4 - pathologique", auxquelles s'ajoute une classe "A+E - Artefact / Erreur" (voir figure~\ref{fig:PSI}). La robustesse de la classification de Wroclaw a été validée par l'annotation indépendante de 3 médecins sur un échantillon de 20 000 exemples extraits de signaux de PIC acquis sur 49 patients. La réalisation d'un \textit{benchmark} parmi plus d'une dizaine d'algorithmes d'apprentissages supervisés, allant des forêts aléatoires à différentes architectures de réseaux récurrents, a permis de sélectionner une architecture de réseaux de neurones à résidus (\textit{Residual Neural Network}, RNN) comme référence pour le calcul du PSI. La précision revendiquée au moment de la publication est de 86.00\%. Un PSI plus élevé a été associé à la présence de lésions cérébrales visibles au scanner~\cite{kazimierska2023relationship} ainsi qu'avec une mortalité plus élevée~\cite{uryga_analysis_2023}. 215 215 \par Une solution pour s'affranchir de la détection exacte des positions de P1, P2 et P3 consiste à attribuer un score à l'allure générale des pulsations par apprentissage supervisé. Cette possibilité implique de définir rigoureusement des critères de classification, répétable et reproductible par des experts lors du processus d'annotation des exemples d'entraînement. La publication des premiers travaux liés au \textit{pulse shape index} (PSI) en 2021~\cite{mataczynski2021end} a permis d'affiner une première ébauche proposée en 2016~\cite{nucci2016intracranial}. Le PSI correspond à la moyenne d'un score de classification calculé indépendamment sur chacune des pulsations cardiaques d'une fenêtre cinq minutes mise à jour toutes les dix secondes. La classification retenue, appelée par la suite classification de Wroclaw, consiste en quatre classes de pulsations allant de "T1 - normal" à "T4 - pathologique", auxquelles s'ajoute une classe "A+E - Artefact / Erreur" (voir figure~\ref{fig:PSI}). La robustesse de la classification de Wroclaw a été validée par l'annotation indépendante de 3 médecins sur un échantillon de 20 000 exemples extraits de signaux de PIC acquis sur 49 patients. La réalisation d'un \textit{benchmark} parmi plus d'une dizaine d'algorithmes d'apprentissages supervisés, allant des forêts aléatoires à différentes architectures de réseaux récurrents, a permis de sélectionner une architecture de réseaux de neurones à résidus (\textit{Residual Neural Network}, RNN) comme référence pour le calcul du PSI. La précision revendiquée au moment de la publication est de 86.00\%. Un PSI plus élevé a été associé à la présence de lésions cérébrales visibles au scanner~\cite{kazimierska2023relationship} ainsi qu'avec une mortalité plus élevée~\cite{uryga_analysis_2023}.
216 216
\begin{figure}[h!] 217 217 \begin{figure}[h!]
\centering 218 218 \centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/PSI.png} 219 219 \includegraphics[width=1\linewidth]{mecanique/PSI.png}
\caption{Classification de Wroclaw, utilisée pour le calcul du \textit{Pulse Shape Index}. Traduit et adapté de~\cite{mataczynski2021end}.} 220 220 \caption{Classification de Wroclaw, utilisée pour le calcul du \textit{Pulse Shape Index}. Traduit et adapté de~\cite{mataczynski2021end}.}
\label{fig:PSI} 221 221 \label{fig:PSI}
\end{figure} 222 222 \end{figure}
223 223
\section{Autorégulation cérébrale} 224 224 \section{Autorégulation cérébrale}
\label{autoregulation} 225 225 \label{autoregulation}
226 226
La régulation du débit sanguin cérébral (DSC) est d'une importance toute particulière au bon fonctionnement du cerveau, dans la mesure où cet organe, pourvu de très faibles réserves en oxygène~\cite{powers1985cerebral}, absorbe au repos 15 à 20\% du volume d'éjection systolique~\cite{williams1989reference}. Le DSC peut être exprimé comme le ratio de la PPC et de la résistance vasculaire cérébrale (RVC), fonction de la vasoconstriction des artérioles cérébrales, selon la formule $DSC = \frac{PPC}{RVC}$. La littérature distingue généralement quatre grands mécanismes de régulation du DSC, fonctionnant de façon simultanée et redondante~: 227 227 La régulation du débit sanguin cérébral (DSC) est d'une importance toute particulière au bon fonctionnement du cerveau, dans la mesure où cet organe, pourvu de très faibles réserves en oxygène~\cite{powers1985cerebral}, absorbe au repos 15 à 20\% du volume d'éjection systolique~\cite{williams1989reference}. Le DSC peut être exprimé comme le ratio de la PPC et de la résistance vasculaire cérébrale (RVC), fonction de la vasoconstriction des artérioles cérébrales, selon la formule $DSC = \frac{PPC}{RVC}$. La littérature distingue généralement quatre grands mécanismes de régulation du DSC, fonctionnant de façon simultanée et redondante~:
228 228
\begin{itemize} 229 229 \begin{itemize}
\item Neurogénique. Le DSC peut être régulé par des neurotransmetteurs comme le NO$_{2}$, l'acétylcholine ou la sérotonine. Ce couplage neurovasculaire, largement médié par l'activité des astrocytes, permet une adaptation locale du DSC à l'activité neuronale~\cite{phillips2016neurovascular}. 230 230 \item Neurogénique. Le DSC peut être régulé par des neurotransmetteurs comme le NO$_{2}$, l'acétylcholine ou la sérotonine. Ce couplage neurovasculaire, largement médié par l'activité des astrocytes, permet une adaptation locale du DSC à l'activité neuronale~\cite{phillips2016neurovascular}.
\item Métabolique. La vasoconstriction des artérioles cérébrales est modulée par des marqueurs d'activité métabolique telles que la pression partielle en O$_{2}$ \cite{jackson2016arteriolar} ou en CO$_{2}$ \cite{dietvorst2024development}. 231 231 \item Métabolique. La vasoconstriction des artérioles cérébrales est modulée par des marqueurs d'activité métabolique telles que la pression partielle en O$_{2}$ \cite{jackson2016arteriolar} ou en CO$_{2}$ \cite{dietvorst2024development}.
\item Endothélial. Des cellules de l'endothélium vasculaire (cérébral comme périphérique) régulent le DSC en secrétant certains messagers chimiques comme NO$_{2}$ ou des prostaglandines~\cite{beaudin2017human}.\cite{ashby2021endothelial}. 232 232 \item Endothélial. Des cellules de l'endothélium vasculaire (cérébral comme périphérique) régulent le DSC en secrétant certains messagers chimiques comme NO$_{2}$ ou des prostaglandines~\cite{beaudin2017human}.\cite{ashby2021endothelial}.
\item Myogénique. Il s'agit du mécanismes prépondérant de la régulation du DSC~\cite{hamner2014relative}. Il correspond à la contraction graduelle des muscles lisses des parois artérielles en réaction à des changements de pression transmurale~\cite{willie2014integrative}. Seules les artérioles de diamètre compris entre 30 et 250 µm de diamètre sont capables de vasoconstriction pression-dépendante~\cite{lidington2018cerebral}. Le mécanisme moléculaire de vasoconstriction, médié par la concentration intracellulaire en ions Ca$^{2+}$, repose sur différentes protéines mécano-sensibles~\cite{jackson2021calcium}. Le délai de réponse à un changement rapide de pression est de l'ordre de 250 ms~\cite{halpern1984mechanical}. 233 233 \item Myogénique. Il s'agit du mécanismes prépondérant de la régulation du DSC~\cite{hamner2014relative}. Il correspond à la contraction graduelle des muscles lisses des parois artérielles en réaction à des changements de pression transmurale~\cite{willie2014integrative}. Seules les artérioles de diamètre compris entre 30 et 250 µm de diamètre sont capables de vasoconstriction pression-dépendante~\cite{lidington2018cerebral}. Le mécanisme moléculaire de vasoconstriction, médié par la concentration intracellulaire en ions Ca$^{2+}$, repose sur différentes protéines mécano-sensibles~\cite{jackson2021calcium}. Le délai de réponse à un changement rapide de pression est de l'ordre de 250 ms~\cite{halpern1984mechanical}.
\end{itemize} 234 234 \end{itemize}
235 235
Selon les auteurs, l'autorégulation cérébrale (AC) désigne soit la régulation du DSC dans son ensemble \cite{gomez2025individualized}\cite{rivera2017cerebral}, soit uniquement le mécanisme de protection d'origine myogénique \cite{claassen2021regulation}\cite{willie2014integrative}. Si ces différentes voies de régulation ne sont pas mutuellement exclusives, les études mentionnées dans le présent document s'intéressent principalement à la composante myogénique de l'AC. Historiquement, le concept est formalisé par Niels Lassen en 1959, dans un article agglomérant les résultats de protocoles très divers ayant pour point commun l'étude du DSC~\cite{lassen1959cerebral}. L'article contient un graphique où le DSC est décrit comme constant entre 50 et 150 mmHg de PPC, et chute brutalement en deçà de 50 mmHg. Si la méta-regression originale comporte différentes faiblesses méthodologiques, cette description du DSC comme fonction de la PPC est progressivement affinée pour former la courbe de Lassen consensuelle (figure~\ref{fig:lassen}). Les modifications apportées à la publication originale sont les suivantes : 236 236 Selon les auteurs, l'autorégulation cérébrale (AC) désigne soit la régulation du DSC dans son ensemble \cite{gomez2025individualized}\cite{rivera2017cerebral}, soit uniquement le mécanisme de protection d'origine myogénique \cite{claassen2021regulation}\cite{willie2014integrative}. Si ces différentes voies de régulation ne sont pas mutuellement exclusives, les études mentionnées dans le présent document s'intéressent principalement à la composante myogénique de l'AC. Historiquement, le concept est formalisé par Niels Lassen en 1959, dans un article agglomérant les résultats de protocoles très divers ayant pour point commun l'étude du DSC~\cite{lassen1959cerebral}. L'article contient un graphique où le DSC est décrit comme constant entre 50 et 150 mmHg de PPC, et chute brutalement en deçà de 50 mmHg. Si la méta-regression originale comporte différentes faiblesses méthodologiques, cette description du DSC comme fonction de la PPC est progressivement affinée pour former la courbe de Lassen consensuelle (figure~\ref{fig:lassen}). Les modifications apportées à la publication originale sont les suivantes :
\begin{itemize} 237 237 \begin{itemize}
\item En abscisse, la pression veineuse en sortie de l'arbre vasculaire cérébral est généralement négligée. La PPC peut alors être approximée par la pression artérielle systémique, sauf dans le cas de pathologies où la PIC doit être prise en compte (TC, HSA, \textit{etc.}). Dans ce cas, le différentiel de pression est approximé par la formule $PPC = PA - PIC$. 238 238 \item En abscisse, la pression veineuse en sortie de l'arbre vasculaire cérébral est généralement négligée. La PPC peut alors être approximée par la pression artérielle systémique, sauf dans le cas de pathologies où la PIC doit être prise en compte (TC, HSA, \textit{etc.}). Dans ce cas, le différentiel de pression est approximé par la formule $PPC = PA - PIC$.
\item Le plateau d'autorégulation n'est pas parfaitement horizontal ; les mécanismes d'AC ne compensent qu'une partie des variations de PPC. Ses limites ne correspondent pas à des cassures nettes. Par rapport à la publication originale de Lassen, sa largeur est fortement réduite (de l'ordre de la dizaine de mmHg). Il est à noter que la largeur ainsi que la position du plateau sont très variables d'un patient à l'autre, mais aussi d'une pathologie à l'autre~\cite{howells2025vasomotion}. 239 239 \item Le plateau d'autorégulation n'est pas parfaitement horizontal ; les mécanismes d'AC ne compensent qu'une partie des variations de PPC. Ses limites ne correspondent pas à des cassures nettes. Par rapport à la publication originale de Lassen, sa largeur est fortement réduite (de l'ordre de la dizaine de mmHg). Il est à noter que la largeur ainsi que la position du plateau sont très variables d'un patient à l'autre, mais aussi d'une pathologie à l'autre~\cite{howells2025vasomotion}.
\item La limite inférieure du plateau correspond à la pression où les mécanismes de vasoconstriction ne permettent plus de compenser le faible différentiel de pression : le DSC dépend alors directement de la PPC. Cette limite inférieure d'autorégulation est généralement désignée sous le nom de LLA (\textit{Lower Limit of Autoregulation}). 240 240 \item La limite inférieure du plateau correspond à la pression où les mécanismes de vasoconstriction ne permettent plus de compenser le faible différentiel de pression : le DSC dépend alors directement de la PPC. Cette limite inférieure d'autorégulation est généralement désignée sous le nom de LLA (\textit{Lower Limit of Autoregulation}).
\item Une limite supérieure est progressivement introduite~\cite{paulson1990cerebral}. Celle-ci correspond à la PPC où les sphincters responsables de la vasoconstriction n'exercent pas une force suffisante pour diminuer l'écoulement du sang. Cette limite supérieure d'autorégulation est généralement désignée sous le nom de ULA (\textit{Upper Limit of Autoregulation}). 241 241 \item Une limite supérieure est progressivement introduite~\cite{paulson1990cerebral}. Celle-ci correspond à la PPC où les sphincters responsables de la vasoconstriction n'exercent pas une force suffisante pour diminuer l'écoulement du sang. Cette limite supérieure d'autorégulation est généralement désignée sous le nom de ULA (\textit{Upper Limit of Autoregulation}).
\item Une seconde cassure inférieure, située en-dessous de la LLA, est parfois mentionnée dans la littérature~\cite{czosnyka2022pro}. Il s'agit de la pression de fermeture critique (\textit{critical closing pressure}, CrCP), correspondant à une PPC où le différentiel de pression s'annule au sein même de l'arbre vasculaire cérébral. 242 242 \item Une seconde cassure inférieure, située en-dessous de la LLA, est parfois mentionnée dans la littérature~\cite{czosnyka2022pro}. Il s'agit de la pression de fermeture critique (\textit{critical closing pressure}, CrCP), correspondant à une PPC où le différentiel de pression s'annule au sein même de l'arbre vasculaire cérébral.
\end{itemize} 243 243 \end{itemize}
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