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\chapter{Le raisonnement à partir de cas (RàPC) pour la régression}	1	1	\chapter{Le raisonnement à partir de cas (RàPC) pour la régression}
\chaptermark{RàPC POUR RÉGRESSION}	2	2	\chaptermark{RàPC POUR RÉGRESSION}
\label{ChapESCBR}	3	3	\label{ChapESCBR}
	4	4
\section{Introduction}	5	5	\section{Introduction}
	6	6
Ce chapitre est divisé en deux parties. La première partie présente un algorithme fondé sur le raisonnement à partir de cas et les méthodes d'ensemble avec un double empilement itératif. Nous l'avons baptisé \textit{ESCBR} (\textit{Ensemble Stacking Case Based Reasoning}). Ce processus se fait en deux étapes pour trouver des solutions approximatives à des problèmes de régression unidimensionnels et multidimensionnels. Une partie de cette proposition est publiée dans \cite{10.1007/978-3-031-63646-2_11}. La seconde partie montre la conception et l'implémentation d'un SMA intégré à l'ESCBR présenté dans la première partie. Nous considérons dans ce chapitre que le choix des exercices les plus adaptés revient à résoudre un problème de régression. C'est la raison pour laquelle nous testons notre approche sur des jeux de données classiques de régression.	7	7	Ce chapitre est divisé en deux parties. La première partie présente un algorithme fondé sur le raisonnement à partir de cas et les méthodes d'ensemble avec un double empilement itératif. Nous l'avons baptisé \textit{ESCBR} (\textit{Ensemble Stacking Case Based Reasoning}). Ce processus se fait en deux étapes pour trouver des solutions approximatives à des problèmes de régression unidimensionnels et multidimensionnels. Une partie de cette proposition est publiée dans \cite{10.1007/978-3-031-63646-2_11}. La seconde partie montre la conception et l'implémentation d'un SMA intégré à l'ESCBR présenté dans la première partie. Nous considérons dans ce chapitre que le choix des exercices les plus adaptés revient à résoudre un problème de régression. C'est la raison pour laquelle nous testons notre approche sur des jeux de données classiques de régression.
L'algorithme présenté dans cette seconde partie associe un raisonnement à partir de cas à des systèmes multi-agents cognitifs implémentant un raisonnement Bayésien. Cette association, combinant échange d'informations entre agents et apprentissage par renforcement, permet l'émergence de prédictions plus précises et améliore ainsi les performances d'ESCBR \cite{10.1007/978-3-031-63646-2_11}.\\	8	8	L'algorithme présenté dans cette seconde partie associe un raisonnement à partir de cas à des systèmes multi-agents cognitifs implémentant un raisonnement Bayésien. Cette association, combinant échange d'informations entre agents et apprentissage par renforcement, permet l'émergence de prédictions plus précises et améliore ainsi les performances d'ESCBR \cite{10.1007/978-3-031-63646-2_11}.\\
	9	9
Avant de présenter nos propositions, rappelons quelques caractéristiques importantes des outils combinés dans notre approche.	10	10	Avant de présenter nos propositions, rappelons quelques caractéristiques importantes des outils combinés dans notre approche.
	11	11
Le système de raisonnement à partir de cas ne nécessite pas d'entrainement, et peut fonctionner avec des données dynamiques au moment de l'exécution. Les solutions proposées par notre système de RàPC sont générées à l'aide d'algorithmes stochastiques guidant l'exploration de l'espace des solutions. L'évaluation des solutions possibles est effectuée en transformant le problème de régression en un problème d'optimisation avec une fonction objectif associée. La fonction objectif calcule un rapport de la distance entre la solution générée et les solutions connues avec les problèmes à résoudre et les problèmes connus. La définition formelle se trouve dans la section 6.2.1.3. Les prédictions de ce nouvel algorithme ont été comparées à celles de neuf algorithmes de régression classiques sur dix jeux de données pour la régression extraits du site de l'UCI \cite{UCI}. En évaluant les résultats obtenus selon la métrique RMSE (Erreur quadratique moyenne - \textit{Root Mean Squared Error}), ce nouvel algorithme se classe parmi les six meilleurs. Selon la métrique MAE (Erreur moyenne absolue - \textit{Mean Absolute Error}) il est le troisième meilleur algorithme des dix évalués, ce qui suggère que les résultats produits par ESCBR sont raisonnablement satisfaisants.	12	12	Le système de raisonnement à partir de cas ne nécessite pas d'entrainement, et peut fonctionner avec des données dynamiques au moment de l'exécution. Les solutions proposées par notre système de RàPC sont générées à l'aide d'algorithmes stochastiques guidant l'exploration de l'espace des solutions. L'évaluation des solutions possibles est effectuée en transformant le problème de régression en un problème d'optimisation avec une fonction objectif associée. La fonction objectif calcule un rapport de la distance entre la solution générée et les solutions connues avec les problèmes à résoudre et les problèmes connus. La définition formelle se trouve dans la section 6.2.1.3. Les prédictions de ce nouvel algorithme ont été comparées à celles de neuf algorithmes de régression classiques sur dix jeux de données pour la régression extraits du site de l'UCI \cite{UCI}. En évaluant les résultats obtenus selon la métrique RMSE (Erreur quadratique moyenne - \textit{Root Mean Squared Error}), ce nouvel algorithme se classe parmi les six meilleurs. Selon la métrique MAE (Erreur moyenne absolue - \textit{Mean Absolute Error}) il est le troisième meilleur algorithme des dix évalués, ce qui suggère que les résultats produits par ESCBR sont raisonnablement satisfaisants.
	13	13
La technique d'ensemble permet de résoudre des problèmes de classification et de régression en combinant les résultats de plusieurs algorithmes exécutés indépendamment. Certaines de ces méthodes utilisent des algorithmes différents et des ensembles de données différents tandis que d'autres utilisent les mêmes algorithmes avec des paramètres différents. La combinaison des résultats provenant de multiples algorithmes peut être réalisée selon différentes stratégies comme l'application de règles simples ou des approches plus complexes \cite{BAKUROV2021100913}. Plusieurs travaux de recherche explorent la possibilité d'utiliser cette technique d'ensemble en la combinant à des outils d'apprentissage automatique.	14	14	La technique d'ensemble permet de résoudre des problèmes de classification et de régression en combinant les résultats de plusieurs algorithmes exécutés indépendamment. Certaines de ces méthodes utilisent des algorithmes différents et des ensembles de données différents tandis que d'autres utilisent les mêmes algorithmes avec des paramètres différents. La combinaison des résultats provenant de multiples algorithmes peut être réalisée selon différentes stratégies comme l'application de règles simples ou des approches plus complexes \cite{BAKUROV2021100913}. Plusieurs travaux de recherche explorent la possibilité d'utiliser cette technique d'ensemble en la combinant à des outils d'apprentissage automatique.
	15	15
Les méthodes d'apprentissage automatique appliquées à la régression permettent quant à elles de prédire des valeurs pour différents types de problèmes en construisant, évaluant et formant des algorithmes linéaires et non linéaires complexes. Mais il est possible d'en améliorer la précision en les associant. Les stratégies d'intégration les plus courantes utilisées pour l'apprentissage d'ensemble sont le \textit{Stacking} (empilement), le \textit{Boosting} (stimulation) et le \textit{Bagging} (ensachage) \cite{Liang}. Le \textit{Stacking} est une technique d'apprentissage profond d'ensemble dont l'objectif est d'utiliser diverses algorithmes d'apprentissage automatique pour surmonter les limites des algorithmes individuels. Plusieurs études démontrent que l'association de ces algorithmes permet d'améliorer la précision des résultats \cite{cmc.2023.033417}. Dans ces méthodes d'empilement, les algorithmes de base sont appelés \textit{niveau-0}. Il s'agit généralement d'algorithmes d'apprentissage automatique hétérogènes qui travaillent tous avec les mêmes données. Le méta-algorithme (appelé \textit{niveau-1}) qui unifie les résultats peut être une autre technique d'apprentissage automatique ou un ensemble de règles qui reçoit en entrée les résultats des algorithmes de \textit{niveau-0} \cite{10.3389/fgene.2021.600040}.	16	16	Les méthodes d'apprentissage automatique appliquées à la régression permettent quant à elles de prédire des valeurs pour différents types de problèmes en construisant, évaluant et formant des algorithmes linéaires et non linéaires complexes. Mais il est possible d'en améliorer la précision en les associant. Les stratégies d'intégration les plus courantes utilisées pour l'apprentissage d'ensemble sont le \textit{Stacking} (empilement), le \textit{Boosting} (stimulation) et le \textit{Bagging} (ensachage) \cite{Liang}. Le \textit{Stacking} est une technique d'apprentissage profond d'ensemble dont l'objectif est d'utiliser diverses algorithmes d'apprentissage automatique pour surmonter les limites des algorithmes individuels. Plusieurs études démontrent que l'association de ces algorithmes permet d'améliorer la précision des résultats \cite{cmc.2023.033417}. Dans ces méthodes d'empilement, les algorithmes de base sont appelés \textit{niveau-0}. Il s'agit généralement d'algorithmes d'apprentissage automatique hétérogènes qui travaillent tous avec les mêmes données. Le méta-algorithme (appelé \textit{niveau-1}) qui unifie les résultats peut être une autre technique d'apprentissage automatique ou un ensemble de règles qui reçoit en entrée les résultats des algorithmes de \textit{niveau-0} \cite{10.3389/fgene.2021.600040}.
	17	17
La modélisation de systèmes implémentant différentes techniques d'apprentissage nous amène tout naturellement à considérer les avantages et inconvénients proposés par un système multi-agents. Un SMA est un système décentralisé composé de plusieurs entités appelées agents qui ont la capacité d'effectuer des actions spécifiques et de réagir à l'environnement en fonction des informations partielles à leur disposition. Ils peuvent également collaborer les uns avec les autres et coopérer pour atteindre un objectif spécifique. À partir des informations qu'ils perçoivent et échangent, les agents peuvent apprendre de manière autonome et atteindre leurs objectifs efficacement \cite{KAMALI2023110242}. Les actions d'un système multi-agents peuvent être exécutées en parallèle grâce à l'indépendance des agents. Ils sont également robustes aux problèmes présentant une incertitude \cite{DIDDEN2023338}.	18	18	La modélisation de systèmes implémentant différentes techniques d'apprentissage nous amène tout naturellement à considérer les avantages et inconvénients proposés par un système multi-agents. Un SMA est un système décentralisé composé de plusieurs entités appelées agents qui ont la capacité d'effectuer des actions spécifiques et de réagir à l'environnement en fonction des informations partielles à leur disposition. Ils peuvent également collaborer les uns avec les autres et coopérer pour atteindre un objectif spécifique. À partir des informations qu'ils perçoivent et échangent, les agents peuvent apprendre de manière autonome et atteindre leurs objectifs efficacement \cite{KAMALI2023110242}. Les actions d'un système multi-agents peuvent être exécutées en parallèle grâce à l'indépendance des agents. Ils sont également robustes aux problèmes présentant une incertitude \cite{DIDDEN2023338}.
	19	19
Le raisonnement Bayésien clos ce premier tour d'horizon des techniques implémentées dans l'approche présentée dans ce chapitre. Celui-ci est fondé sur l'observation du raisonnement humain et la relation de l'humain avec l'environnement. Son principe repose sur le postulat que les expériences passées permettent de déduire les états futurs, guidant ainsi ses actions et ses décisions \cite{HIPOLITO2023103510}. Avec le raisonnement Bayésien certaines informations peuvent également être déduites à partir d'informations incomplètes \cite{ZHANG2023110564}.	20	20	Le raisonnement Bayésien clos ce premier tour d'horizon des techniques implémentées dans l'approche présentée dans ce chapitre. Celui-ci est fondé sur l'observation du raisonnement humain et la relation de l'humain avec l'environnement. Son principe repose sur le postulat que les expériences passées permettent de déduire les états futurs, guidant ainsi ses actions et ses décisions \cite{HIPOLITO2023103510}. Avec le raisonnement Bayésien certaines informations peuvent également être déduites à partir d'informations incomplètes \cite{ZHANG2023110564}.
	21	21
\section{Apprentissage par empilement et raisonnement à partir de cas}	22	22	\section{Apprentissage par empilement et raisonnement à partir de cas}
	23	23
Cette section présente la première version de l'algorithme que nous avons conçu pour résoudre des problèmes de régression. Celui-ci est fondé sur le raisonnement à partir de cas et l'empilement.	24	24	Cette section présente la première version de l'algorithme que nous avons conçu pour résoudre des problèmes de régression. Celui-ci est fondé sur le raisonnement à partir de cas et l'empilement.
	25	25
\subsection{Algorithme Proposé}	26	26	\subsection{Algorithme Proposé}
	27	27
L'algorithme proposé, ESCBR (\textit{Ensemble Stacking Case-Based Reasoning}), est fondé sur le paradigme générique du RàPC combiné à plusieurs algorithmes de recherche de voisins et de génération de solutions. Ces algorithmes ont été intégrés selon une variation de l'empilement en deux étapes itératives. Cette intégration donne à l'algorithme la capacité de s'adapter à différents types de problèmes, d'éviter les biais et le surentraînement. Les résultats de l'exécution des niveaux d'empilement stockent dans la mémoire des conteneurs de connaissances du système de RàPC des informations qui aident non seulement à l'apprentissage de l'algorithme au fil des itérations, mais facilitent également la génération de solutions à divers problèmes sur différents ensembles de données sans nécessité d'entraînement préalable. La conception itérative en deux cycles améliore la capacité du système de RàPC à travailler et à s'adapter à des problèmes dynamiques en cours d'exécution, comme le montre la figure \ref{figNCBR1}.	28	28	L'algorithme proposé, ESCBR (\textit{Ensemble Stacking Case-Based Reasoning}), est fondé sur le paradigme générique du RàPC combiné à plusieurs algorithmes de recherche de voisins et de génération de solutions. Ces algorithmes ont été intégrés selon une variation de l'empilement en deux étapes itératives. Cette intégration donne à l'algorithme la capacité de s'adapter à différents types de problèmes, d'éviter les biais et le surentraînement. Les résultats de l'exécution des niveaux d'empilement stockent dans la mémoire des conteneurs de connaissances du système de RàPC des informations qui aident non seulement à l'apprentissage de l'algorithme au fil des itérations, mais facilitent également la génération de solutions à divers problèmes sur différents ensembles de données sans nécessité d'entraînement préalable. La conception itérative en deux cycles améliore la capacité du système de RàPC à travailler et à s'adapter à des problèmes dynamiques en cours d'exécution, comme le montre la figure \ref{figNCBR1}.
	29	29
\begin{figure}[!ht]	30	30	\begin{figure}[!ht]
\centering	31	31	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/NCBR0.png}	32	32	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/NCBR0.png}
\caption{Les deux cycles proposés pour le RàPC}	33	33	\caption{Les deux cycles proposés pour le RàPC}
\label{figNCBR1}	34	34	\label{figNCBR1}
\end{figure}	35	35	\end{figure}
	36	36
L'étape de récupération utilise les algorithmes de recherche et le jeu de données de cas (conteneurs $C1$ et $C3$ de la figure \ref{figNCBR1}) pour trouver les voisins les plus proches d'un problème cible. Puis l'étape de réutilisation utilise les algorithmes de génération de solutions (conteneur $C2$). L'étape de révision évalue ensuite les solutions générées et permet d'en générer de nouvelles itérativement en fonction des paramètres stockés dans le conteneur $C4$. Vient ensuite l'étape de révision prenant en considération la solution sélectionnée. Faisant suite à cette révision, l'étape de renouvellement met à jour les paramètres et les données du conteneur. Enfin, dans l'étape de capitalisation, la base de cas est mise à jour avec l'intégration du nouveau cas. Les flux d'information de l'algorithme proposé sont présentés sur la figure~\ref{figFlowCBR0}, tandis que le tableau~\ref{tabVarPar} présente l'ensemble des variables et paramètres de l'algorithme proposé.	37	37	L'étape de récupération utilise les algorithmes de recherche et le jeu de données de cas (conteneurs $C1$ et $C3$ de la figure \ref{figNCBR1}) pour trouver les voisins les plus proches d'un problème cible. Puis l'étape de réutilisation utilise les algorithmes de génération de solutions (conteneur $C2$). L'étape de révision évalue ensuite les solutions générées et permet d'en générer de nouvelles itérativement en fonction des paramètres stockés dans le conteneur $C4$. Vient ensuite l'étape de révision prenant en considération la solution sélectionnée. Faisant suite à cette révision, l'étape de renouvellement met à jour les paramètres et les données du conteneur. Enfin, dans l'étape de capitalisation, la base de cas est mise à jour avec l'intégration du nouveau cas. Les flux d'information de l'algorithme proposé sont présentés sur la figure~\ref{figFlowCBR0}, tandis que le tableau~\ref{tabVarPar} présente l'ensemble des variables et paramètres de l'algorithme proposé.
	38	38
\begin{figure}[!ht]	39	39	\begin{figure}[!ht]
\centering	40	40	\centering
\includegraphics[scale=0.6]{./Figures/FlowCBR0.png}	41	41	\includegraphics[scale=0.6]{./Figures/FlowCBR0.png}
\caption{Flux du \textit{Stacking} RàPC}	42	42	\caption{Flux du \textit{Stacking} RàPC}
\label{figFlowCBR0}	43	43	\label{figFlowCBR0}
\end{figure}	44	44	\end{figure}
	45	45
\begin{table}[!ht]	46	46	\begin{table}[!ht]
\centering	47	47	\centering
\begin{tabular}{cccc}	48	48	\begin{tabular}{cccc}
ID&Type&Description&Domain\\	49	49	ID&Type&Description&Domain\\
\hline	50	50	\hline
$it$&p&Nombre d'itérations&$\mathbb{N}, it>0$\\	51	51	$it$&p&Nombre d'itérations&$\mathbb{N}, it>0$\\
$np$&p&Nombre de processus&$\mathbb{N}, np>2$\\	52	52	$np$&p&Nombre de processus&$\mathbb{N}, np>2$\\
$nl$&p&Nombre maximal de voisins locaux&$\mathbb{N}, nl>0$\\	53	53	$nl$&p&Nombre maximal de voisins locaux&$\mathbb{N}, nl>0$\\
$ng$&p&Nombre de voisins globaux&$\mathbb{N}, ng>2$\\	54	54	$ng$&p&Nombre de voisins globaux&$\mathbb{N}, ng>2$\\
$n$&v&Dimension de l'espace du problème&$\mathbb{N}, n>0$\\	55	55	$n$&v&Dimension de l'espace du problème&$\mathbb{N}, n>0$\\
$m$&v&Dimension de l'espace de solution&$\mathbb{N}, m>0$\\	56	56	$m$&v&Dimension de l'espace de solution&$\mathbb{N}, m>0$\\
$z$&v&Taille du jeu de données&$\mathbb{N}, z>0$\\	57	57	$z$&v&Taille du jeu de données&$\mathbb{N}, z>0$\\
$p$&v&Description du problème&$\mathbb{R} ^ n$\\	58	58	$p$&v&Description du problème&$\mathbb{R} ^ n$\\
$s$&v&Description de la solution&$\mathbb{R} ^ m$\\	59	59	$s$&v&Description de la solution&$\mathbb{R} ^ m$\\
$r_a$&v&Nombre d'algorithmes pour l'étape retrouver&$\mathbb{N}, r_a>2$\\	60	60	$r_a$&v&Nombre d'algorithmes pour l'étape retrouver&$\mathbb{N}, r_a>2$\\
$r_b$&v&Nombre d'algorithmes pour l'étape de réutilisation&$\mathbb{N}, r_b>2$\\	61	61	$r_b$&v&Nombre d'algorithmes pour l'étape de réutilisation&$\mathbb{N}, r_b>2$\\
$at$&v&Identificateur des actions&$[0,2] \in \mathbb{N}$\\	62	62	$at$&v&Identificateur des actions&$[0,2] \in \mathbb{N}$\\
$nl_i$&v&Nombre de voisins locaux pour l'algorithme $i$&$\mathbb{N}, nl_i \le nl$\\	63	63	$nl_i$&v&Nombre de voisins locaux pour l'algorithme $i$&$\mathbb{N}, nl_i \le nl$\\
$g$&v&Description de la meilleure solution globale&$\mathbb{R} ^ m$\\	64	64	$g$&v&Description de la meilleure solution globale&$\mathbb{R} ^ m$\\
$v$&v&Évaluation de la meilleure solution globale&$\mathbb{R}$\\	65	65	$v$&v&Évaluation de la meilleure solution globale&$\mathbb{R}$\\
$d(x_1,x_2)$&f&Fonction de distance entre $x_1$ et $x_2$ &$\mathbb{R}$\\	66	66	$d(x_1,x_2)$&f&Fonction de distance entre $x_1$ et $x_2$ &$\mathbb{R}$\\
$MP(x_1^z,x_2,a)$&f&Fonction pour retrouver entre $x_1$ et $x_2$&$\mathbb{R}^{a \times z}$\\	67	67	$MP(x_1^z,x_2,a)$&f&Fonction pour retrouver entre $x_1$ et $x_2$&$\mathbb{R}^{a \times z}$\\
$MS(x_1^m)$&f&Fonction pour réutiliser avec $x_1$ &$\mathbb{R}^m$\\	68	68	$MS(x_1^m)$&f&Fonction pour réutiliser avec $x_1$ &$\mathbb{R}^m$\\
$f_s(p^n,s^m)$&f&Évaluation des solutions&$\mathbb{R}$\\	69	69	$f_s(p^n,s^m)$&f&Évaluation des solutions&$\mathbb{R}$\\
\end{tabular}	70	70	\end{tabular}
\caption{Variables et paramètres de l'algorithme proposé (Type: p - paramètre, v - variable, f - fonction)}	71	71	\caption{Variables et paramètres de l'algorithme proposé (Type: p - paramètre, v - variable, f - fonction)}
\label{tabVarPar}	72	72	\label{tabVarPar}
\end{table}	73	73	\end{table}
	74	74
\subsubsection{Rechercher}	75	75	\subsubsection{Rechercher}
La première étape de l'algorithme consiste à trouver les cas les plus similaires à un nouveau cas (appelé \textit{cas cible}). Pour ce faire, l'empilement de différents processus présenté sur la figure \ref{figSta1} est utilisé. Au niveau-0, chaque processus sélectionne et exécute un algorithme de recherche de voisins différents choisi parmi $r_a$ algorithmes dans le conteneur $C3$, avec un nombre de voisins $nl_i$ choisi aléatoirement dans l'intervalle $[0,nl]$. Puis au niveau-1, les résultats sont unifiés en construisant un ensemble global de cas similaires. Cinq algorithmes pour le niveau-0 ont été mis en œuvre pour l'étape de récupération : KNN (\textit{K Nearest Neighbors} - K plus proches voisins), KMeans, GMM (\textit{Gaussian Mixture Model}), FuzzyC et KNN Ponderation.	76	76	La première étape de l'algorithme consiste à trouver les cas les plus similaires à un nouveau cas (appelé \textit{cas cible}). Pour ce faire, l'empilement de différents processus présenté sur la figure \ref{figSta1} est utilisé. Au niveau-0, chaque processus sélectionne et exécute un algorithme de recherche de voisins différents choisi parmi $r_a$ algorithmes dans le conteneur $C3$, avec un nombre de voisins $nl_i$ choisi aléatoirement dans l'intervalle $[0,nl]$. Puis au niveau-1, les résultats sont unifiés en construisant un ensemble global de cas similaires. Cinq algorithmes pour le niveau-0 ont été mis en œuvre pour l'étape de récupération : KNN (\textit{K Nearest Neighbors} - K plus proches voisins), KMeans, GMM (\textit{Gaussian Mixture Model}), FuzzyC et KNN Ponderation.
	77	77
\begin{figure}	78	78	\begin{figure}
\centering	79	79	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/Stacking1.png}	80	80	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/Stacking1.png}
\caption{\textit{Stacking} pour chercher les plus proches voisins}	81	81	\caption{\textit{Stacking} pour chercher les plus proches voisins}
\label{figSta1}	82	82	\label{figSta1}
\end{figure}	83	83	\end{figure}
	84	84
Formellement, le premier empilement proposé fonctionne avec deux paramètres : %\textcolor{red}{quels sont les 2 paramètres?}	85	85	Formellement, le premier empilement proposé fonctionne avec deux paramètres : %\textcolor{red}{quels sont les 2 paramètres?}
un jeu de données de $z$ cas où un cas est composé de la description du problème et de la description de la solution ${(p^n,s^m)}^{z}$ et un nouveau cas sans solution $p_w^n$. Le but de tous les algorithmes de niveau-0 est de générer une liste locale de cas similaires au cas cible. Ainsi, pour chaque algorithme $j$ exécuté, l'ensemble $X_j=\{x_1,x_2,. ..,x_z \; \| \; x_i=MP_i((p^n)^z, p_w^n,nl_i) \}$ est généré. Au niveau-1, un ensemble global est créé à l'aide de tous les ensembles locaux $j$ $X_g=\cup_{n=1}^{ng} min \ ; ((\cup_{j=1}^{np} X_j)-X_g)$. Le résultat du premier empilement est l'ensemble $X_g$ avec les $ng$ voisins les plus proches.	86	86	un jeu de données de $z$ cas où un cas est composé de la description du problème et de la description de la solution ${(p^n,s^m)}^{z}$ et un nouveau cas sans solution $p_w^n$. Le but de tous les algorithmes de niveau-0 est de générer une liste locale de cas similaires au cas cible. Ainsi, pour chaque algorithme $j$ exécuté, l'ensemble $X_j=\{x_1,x_2,. ..,x_z \; \| \; x_i=MP_i((p^n)^z, p_w^n,nl_i) \}$ est généré. Au niveau-1, un ensemble global est créé à l'aide de tous les ensembles locaux $j$ $X_g=\cup_{n=1}^{ng} min \ ; ((\cup_{j=1}^{np} X_j)-X_g)$. Le résultat du premier empilement est l'ensemble $X_g$ avec les $ng$ voisins les plus proches.
	87	87
\subsubsection{Réutiliser}	88	88	\subsubsection{Réutiliser}
	89	89
Une fois la liste globale des cas similaires établie, les informations correspondant aux solutions de chacun de ces cas sont extraites et utilisées pour générer une nouvelle solution qui s'adapte au cas cible, en suivant le processus et les flux d'informations représentés sur la figure \ref{figAuto}. La génération est effectuée avec un deuxième empilement de différents processus. Cet empilement est représenté sur la figure \ref{figSta2}. Au niveau-0, chaque processus sélectionne et exécute un algorithme de génération différent à partir des algorithmes $r_b$ dans le conteneur $C2$. Au niveau-1, toutes les solutions générées sont stockées dans une mémoire globale. Toutes les solutions connues et générées sont représentées avec la même structure comme le montre la figure \ref{figSolRep}.	90	90	Une fois la liste globale des cas similaires établie, les informations correspondant aux solutions de chacun de ces cas sont extraites et utilisées pour générer une nouvelle solution qui s'adapte au cas cible, en suivant le processus et les flux d'informations représentés sur la figure \ref{figAuto}. La génération est effectuée avec un deuxième empilement de différents processus. Cet empilement est représenté sur la figure \ref{figSta2}. Au niveau-0, chaque processus sélectionne et exécute un algorithme de génération différent à partir des algorithmes $r_b$ dans le conteneur $C2$. Au niveau-1, toutes les solutions générées sont stockées dans une mémoire globale. Toutes les solutions connues et générées sont représentées avec la même structure comme le montre la figure \ref{figSolRep}.
	91	91
\begin{figure}[!ht]	92	92	\begin{figure}[!ht]
\centering	93	93	\centering
\includegraphics[scale=1]{./Figures/SolRep.png}	94	94	\includegraphics[scale=1]{./Figures/SolRep.png}
\caption{Représentation des solutions connues et générées}	95	95	\caption{Représentation des solutions connues et générées}
\label{figSolRep}	96	96	\label{figSolRep}
\end{figure}	97	97	\end{figure}
	98	98
Neuf algorithmes ont été mis en œuvre pour l'étape de réutilisation au niveau-0 : moyenne avec probabilité, moyenne sans probabilité, valeurs médianes, sélection aléatoire avec probabilité, copie et changement, vote, interpolation, PCA (analyse en composantes principales) et marche aléatoire. Tous les algorithmes proposés pour générer une nouvelle solution combinent et modifient l'ensemble de solutions construit dans l'étape de récupération.	99	99	Neuf algorithmes ont été mis en œuvre pour l'étape de réutilisation au niveau-0 : moyenne avec probabilité, moyenne sans probabilité, valeurs médianes, sélection aléatoire avec probabilité, copie et changement, vote, interpolation, PCA (analyse en composantes principales) et marche aléatoire. Tous les algorithmes proposés pour générer une nouvelle solution combinent et modifient l'ensemble de solutions construit dans l'étape de récupération.
	100	100
\begin{figure}[!ht]	101	101	\begin{figure}[!ht]
\centering	102	102	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/AutomaticS.png}	103	103	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/AutomaticS.png}
\caption{Génération et vérification automatique des solutions}	104	104	\caption{Génération et vérification automatique des solutions}
\label{figAuto}	105	105	\label{figAuto}
\end{figure}	106	106	\end{figure}
	107	107
La moyenne pondérée avec probabilité est construite en considérant les $nl$ cas les plus proches du cas cible. Ces $nl$ cas sont les cas sélectionnés par le premier empilement. Pour chacun de ces $nl$ cas, un ratio $\alpha_j$ est calculé en considérant la distance entre celui-ci et le cas cible, selon l'équation \ref{gen00}.	108	108	La moyenne pondérée avec probabilité est construite en considérant les $nl$ cas les plus proches du cas cible. Ces $nl$ cas sont les cas sélectionnés par le premier empilement. Pour chacun de ces $nl$ cas, un ratio $\alpha_j$ est calculé en considérant la distance entre celui-ci et le cas cible, selon l'équation \ref{gen00}.
Nous considérons alors l'ensemble de ces ratios comme une distribution de probabilité discrète. Chacune des composantes du vecteur solution est ensuite calculée selon l'équation \ref{gen01}. Cet algorithme permet de donner plus de poids aux solutions des cas les plus proches du cas cible.	109	109	Nous considérons alors l'ensemble de ces ratios comme une distribution de probabilité discrète. Chacune des composantes du vecteur solution est ensuite calculée selon l'équation \ref{gen01}. Cet algorithme permet de donner plus de poids aux solutions des cas les plus proches du cas cible.
	110	110
\begin{equation}	111	111	\begin{equation}
\alpha_j=1-\left(\frac{d(p_j^n,p_w^n)}{\sum_{i=0}^{nl} d(p_i^n,p_w^n)}\right)	112	112	\alpha_j=1-\left(\frac{d(p_j^n,p_w^n)}{\sum_{i=0}^{nl} d(p_i^n,p_w^n)}\right)
\label{gen00}	113	113	\label{gen00}
\end{equation}	114	114	\end{equation}
	115	115
\begin{equation}	116	116	\begin{equation}
s^m_{j,w}=\sum_{i=0}^{nl-1} \alpha_j s_{i,j}	117	117	s^m_{j,w}=\sum_{i=0}^{nl-1} \alpha_j s_{i,j}
\label{gen01}	118	118	\label{gen01}
\end{equation}	119	119	\end{equation}
	120	120
La moyenne sans probabilité génère la nouvelle solution où la valeur de chaque composante est la moyenne calculée avec une distribution de probabilité uniforme (attribuant la même probabilité à toutes les composantes de toutes les solutions associées aux cas les plus proches du cas cible). Formellement la génération de la solution est calculée selon l'équation \ref{gen2}.	121	121	La moyenne sans probabilité génère la nouvelle solution où la valeur de chaque composante est la moyenne calculée avec une distribution de probabilité uniforme (attribuant la même probabilité à toutes les composantes de toutes les solutions associées aux cas les plus proches du cas cible). Formellement la génération de la solution est calculée selon l'équation \ref{gen2}.
	122	122
\begin{equation}	123	123	\begin{equation}
s^m_{w,j}= \frac{1}{nl} \sum_{i=0}^{nl-1} s_{i,j}	124	124	s^m_{w,j}= \frac{1}{nl} \sum_{i=0}^{nl-1} s_{i,j}
\label{gen2}	125	125	\label{gen2}
\end{equation}	126	126	\end{equation}
	127	127
La génération par valeurs médianes (équation \ref{eqgen3}) construit la solution en utilisant la valeur médiane de toutes les solutions pour chaque composante $j$. $X_j$ représente l'ensemble des valeurs ordonnées des $j$-ièmes composantes de toutes solutions $S$.	128	128	La génération par valeurs médianes (équation \ref{eqgen3}) construit la solution en utilisant la valeur médiane de toutes les solutions pour chaque composante $j$. $X_j$ représente l'ensemble des valeurs ordonnées des $j$-ièmes composantes de toutes solutions $S$.
	129	129
\begin{equation}	130	130	\begin{equation}
s_{j,w}^m=	131	131	s_{j,w}^m=
\begin{cases}	132	132	\begin{cases}
x_{j,\frac{m+1}{2}}, \; si \; m \in \{{2k+1 : k \in \mathbb{Z}}\}\\	133	133	x_{j,\frac{m+1}{2}}, \; si \; m \in \{{2k+1 : k \in \mathbb{Z}}\}\\
\frac{x_{j,\frac{m}{2}}+x_{j,\frac{m}{2}+1}}{2}, \; sinon\\	134	134	\frac{x_{j,\frac{m}{2}}+x_{j,\frac{m}{2}+1}}{2}, \; sinon\\
\end{cases}	135	135	\end{cases}
\label{eqgen3}	136	136	\label{eqgen3}
\end{equation}	137	137	\end{equation}
	138	138
La sélection aléatoire avec probabilité (équation \ref{eqgen4}) génère une solution en copiant la $j$-ième composante de l'une des solutions tirée au sort. Le tirage au sort suit une loi donnée par une distribution de probabilité discrète. Cette distribution de probabilité est identique à celle de la moyenne pondérée avec probabilité.	139	139	La sélection aléatoire avec probabilité (équation \ref{eqgen4}) génère une solution en copiant la $j$-ième composante de l'une des solutions tirée au sort. Le tirage au sort suit une loi donnée par une distribution de probabilité discrète. Cette distribution de probabilité est identique à celle de la moyenne pondérée avec probabilité.
	140	140
\begin{equation}	141	141	\begin{equation}
s_{j,w}^m=s_{j,k}^m; k \sim \left(1-\left(\frac{d(p_k,p_w)}{\sum_{i=1}^nl(p_k,p_i)} \right)\right)	142	142	s_{j,w}^m=s_{j,k}^m; k \sim \left(1-\left(\frac{d(p_k,p_w)}{\sum_{i=1}^nl(p_k,p_i)} \right)\right)
\label{eqgen4}	143	143	\label{eqgen4}
\end{equation}	144	144	\end{equation}
	145	145
"Copie/changement" copie les informations d'une solution aléatoire et en remplace une partie par celles d'une autre solution sélectionnée aléatoirement selon l'équation \ref{eqgen5}.	146	146	"Copie/changement" copie les informations d'une solution aléatoire et en remplace une partie par celles d'une autre solution sélectionnée aléatoirement selon l'équation \ref{eqgen5}.
	147	147
\begin{equation}	148	148	\begin{equation}
s_{j,w}^m=s_{j,k}^m; k \sim \left(\frac{1}{nl} \right)	149	149	s_{j,w}^m=s_{j,k}^m; k \sim \left(\frac{1}{nl} \right)
\label{eqgen5}	150	150	\label{eqgen5}
\end{equation}	151	151	\end{equation}
	152	152
Le vote permet de copier l'information la plus fréquente de toutes \ref{eqgen6}.	153	153	Le vote permet de copier l'information la plus fréquente de toutes \ref{eqgen6}.
	154	154
\begin{equation}	155	155	\begin{equation}
s_{j,w}^m=s_{j,k}^m; k=argmax_i \; \mathbb{P}(X=s_{j,i}^m), 1\le i \le nl	156	156	s_{j,w}^m=s_{j,k}^m; k=argmax_i \; \mathbb{P}(X=s_{j,i}^m), 1\le i \le nl
\label{eqgen6}	157	157	\label{eqgen6}
\end{equation}	158	158	\end{equation}
	159	159
L'interpolation construit une distribution de probabilité continue pour chaque composante $j$. Chaque probabilité de ces distributions est le résultat d'une fonction d'interpolation linéaire à une composante. La valeur de la $j$-ième composante de la solution est calculée selon l'équation \ref{eqgen7}.	160	160	L'interpolation construit une distribution de probabilité continue pour chaque composante $j$. Chaque probabilité de ces distributions est le résultat d'une fonction d'interpolation linéaire à une composante. La valeur de la $j$-ième composante de la solution est calculée selon l'équation \ref{eqgen7}.
	161	161
\begin{equation}	162	162	\begin{equation}
s_{w,j}^m \sim \left( \left( \frac{y_i-y_{i+1}}{x_i-x_{i+1}} \right) (x-x_i)+y_i \right), \forall i \; 0 \le i < nl	163	163	s_{w,j}^m \sim \left( \left( \frac{y_i-y_{i+1}}{x_i-x_{i+1}} \right) (x-x_i)+y_i \right), \forall i \; 0 \le i < nl
\label{eqgen7}	164	164	\label{eqgen7}
\end{equation}	165	165	\end{equation}
	166	166
L'analyse en composantes principales (PCA) consiste à établir une transformation de la description du problème en description de la solution associée. La moyenne de la distance entre toutes les paires problème-solution est calculée et permet de générer une solution par transposition.	167	167	L'analyse en composantes principales (PCA) consiste à établir une transformation de la description du problème en description de la solution associée. La moyenne de la distance entre toutes les paires problème-solution est calculée et permet de générer une solution par transposition.
	168	168
La PCA permet donc de générer une matrice de transformation $\mathcal{M}$ d'un vecteur de l'espace des problèmes en vecteur de l'espace des solutions. Pour chaque cas source, la distance entre le vecteur solution obtenu et le vecteur solution stocké est calculée. Une moyenne de ces distances $md$ est ensuite considérée.	169	169	La PCA permet donc de générer une matrice de transformation $\mathcal{M}$ d'un vecteur de l'espace des problèmes en vecteur de l'espace des solutions. Pour chaque cas source, la distance entre le vecteur solution obtenu et le vecteur solution stocké est calculée. Une moyenne de ces distances $md$ est ensuite considérée.
	170	170
L'application de $\mathcal{M}$ au vecteur problème du cas cible donne donc dans un premier temps un vecteur solution. La solution cible est alors le vecteur $md \times \mathcal{M}$.	171	171	L'application de $\mathcal{M}$ au vecteur problème du cas cible donne donc dans un premier temps un vecteur solution. La solution cible est alors le vecteur $md \times \mathcal{M}$.
	172	172
La marche aléatoire consiste à choisir une solution et à changer la valeur de l'une de ses composantes. Cette composante est tirée au sort et un pas $\Delta$ est ajouté à sa valeur. La valeur de $\Delta$ est générée en suivant une distribution de probabilité normale de moyenne $0$ et de variance $1$.	173	173	La marche aléatoire consiste à choisir une solution et à changer la valeur de l'une de ses composantes. Cette composante est tirée au sort et un pas $\Delta$ est ajouté à sa valeur. La valeur de $\Delta$ est générée en suivant une distribution de probabilité normale de moyenne $0$ et de variance $1$.
	174	174
\begin{equation}	175	175	\begin{equation}
k \sim \left(\frac{1}{nl}\right)	176	176	k \sim \left(\frac{1}{nl}\right)
\end{equation}	177	177	\end{equation}
	178	178
\begin{equation}	179	179	\begin{equation}
s_{w,j}^m=\begin{cases}	180	180	s_{w,j}^m=\begin{cases}
s_{j,k}^m+\mathcal{N}(0,1)& si \; (\mathcal{U}_{int}(0,10))\%2=0\\	181	181	s_{j,k}^m+X_1& si \; (X_2)\%2=0\\
s_{j,k}^m-\mathcal{N}(0,1)&sinon	182	182	s_{j,k}^m-X_1&sinon
\end{cases}	183	183	\end{cases};X_1 \sim \mathcal{N}(0,1), X_2 \sim \mathcal{U}_{int}(0,10)
\end{equation}	184	184	\end{equation}
	185	185
\begin{figure}	186	186	\begin{figure}
\centering	187	187	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/Stacking2.png}	188	188	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/Stacking2.png}
\caption{\textit{Stacking} pour la génération de solutions}	189	189	\caption{\textit{Stacking} pour la génération de solutions}
\label{figSta2}	190	190	\label{figSta2}
\end{figure}	191	191	\end{figure}
	192	192
La description des solutions $s$ et l'ensemble $(s^m)^{ng}$ sont les paramètres du deuxième empilement. Chaque algorithme décrit ci-dessus génère une solution candidate $s_{i,c}=MS_i((s^m)^{ng})$. Vient ensuite la construction de l'ensemble d'unification de toutes les solutions candidates $Y_g= \cup_{i=1}^{np} s_{i,c}$ (niveau-1). Cet ensemble est évalué à l'aide d'une fonction permettant de déterminer la qualité de la solution.	193	193	La description des solutions $s$ et l'ensemble $(s^m)^{ng}$ sont les paramètres du deuxième empilement. Chaque algorithme décrit ci-dessus génère une solution candidate $s_{i,c}=MS_i((s^m)^{ng})$. Vient ensuite la construction de l'ensemble d'unification de toutes les solutions candidates $Y_g= \cup_{i=1}^{np} s_{i,c}$ (niveau-1). Cet ensemble est évalué à l'aide d'une fonction permettant de déterminer la qualité de la solution.
	194	194
\subsubsection{Révision}	195	195	\subsubsection{Révision}
	196	196
Dans cette phase, le problème de l'évaluation automatique d'une solution candidate est transformé en un problème d'optimisation, où la fonction objectif est \ref{eqOpt}. Ce problème revient à calculer la moyenne géométrique ou encore à résoudre le problème de "Fermat-Weber". Dans le cas d'un espace multidimensionnel, résoudre ce problème revient à calculer la moyenne spatiale \cite{doi:10.1137/23M1592420}. La figure \ref{fig:FW} montre un exemple de la formulation du problème en deux dimensions. Sur cette figure, le point rouge représente une solution possible minimisant la somme des distances entre ce point et tous les autres points définis dans l'espace.	197	197	Dans cette phase, le problème de l'évaluation automatique d'une solution candidate est transformé en un problème d'optimisation, où la fonction objectif est \ref{eqOpt}. Ce problème revient à calculer la moyenne géométrique ou encore à résoudre le problème de "Fermat-Weber". Dans le cas d'un espace multidimensionnel, résoudre ce problème revient à calculer la moyenne spatiale \cite{doi:10.1137/23M1592420}. La figure \ref{fig:FW} montre un exemple de la formulation du problème en deux dimensions. Sur cette figure, le point rouge représente une solution possible minimisant la somme des distances entre ce point et tous les autres points définis dans l'espace.
	198	198
La fonction objectif \ref{eqOpt} établit un rapport entre la distance de la solution générée $s^m_w$ et les $x$ solutions connues $s^m_x$ avec un facteur aléatoire de \textit{drift} d'une part, et la distance entre le problème cible $p^n_w$ et les $x$ problèmes connus $p^n_x$ d'autre part. Ici, la difficulté à trouver le point optimal réside dans le fait que les points de l'espace ne peuvent pas tous convenir en tant que solution cible. La solution cible finale dépend donc des informations des solutions connues. L'objectif est d'utiliser les informations disponibles de chaque cas (problème et solution) pour valider et générer l'ensemble de solutions proposées.\\	199	199	La fonction objectif \ref{eqOpt} établit un rapport entre la distance de la solution générée $s^m_w$ et les $x$ solutions connues $s^m_x$ avec un facteur aléatoire de \textit{drift} d'une part, et la distance entre le problème cible $p^n_w$ et les $x$ problèmes connus $p^n_x$ d'autre part. Ici, la difficulté à trouver le point optimal réside dans le fait que les points de l'espace ne peuvent pas tous convenir en tant que solution cible. La solution cible finale dépend donc des informations des solutions connues. L'objectif est d'utiliser les informations disponibles de chaque cas (problème et solution) pour valider et générer l'ensemble de solutions proposées.\\
	200	200
\begin{equation}	201	201	\begin{equation}
\lambda_x(p_w, s_w) = \left( \frac{d(s_w^m,(s_x^m+rn(0,d(p_w^n, p_i^n))))}{d(p_w^n,p_x^n)^2} \right)	202	202	\lambda_x(p_w, s_w) = \left( \frac{d(s_w^m,(s_x^m+X)))}{d(p_w^n,p_x^n)^2} \right); \; X \sim \mathcal{N}(0,d(p_w^n, p_x^n)
\label{eqOpt0}	203	203	\label{eqOpt0}
\end{equation}	204	204	\end{equation}
	205	205
\begin{equation}	206	206	\begin{equation}
min \; \left( f_s(p_w^n, s_w^m) \right) = min \left( \sum_{i=1}^{ng} \lambda_i (p_w, s_w) \right)	207	207	min \; \left( f_s(p_w^n, s_w^m) \right) = min \left( \sum_{i=1}^{ng} \lambda_i (p_w, s_w) \right)
\label{eqOpt}	208	208	\label{eqOpt}
\end{equation}	209	209	\end{equation}
	210	210
\begin{figure}[!ht]	211	211	\begin{figure}[!ht]
\centering	212	212	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/FW.png}	213	213	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/FW.png}
\caption{Représentation graphique en deux dimensions du problème de moyenne géométrique. (Points associés au problème ($\lambda_1,..,\lambda_7$) et point rouge solution au problème)}	214	214	\caption{Représentation graphique en deux dimensions du problème de moyenne géométrique. (Points associés au problème ($\lambda_1,..,\lambda_7$) et point rouge solution au problème)}
\label{fig:FW}	215	215	\label{fig:FW}
\end{figure}	216	216	\end{figure}
	217	217
Le cycle d'optimisation permet d'exécuter les phases de récupération et de réutilisation en fonction de l'action sélectionnée selon une distribution de probabilité parmi $[0,at]$ à chaque itération $it$. À chaque itération, la valeur minimale évaluée par la fonction objectif est sauvegardée.	218	218	Le cycle d'optimisation permet d'exécuter les phases de récupération et de réutilisation en fonction de l'action sélectionnée selon une distribution de probabilité parmi $[0,at]$ à chaque itération $it$. À chaque itération, la valeur minimale évaluée par la fonction objectif est sauvegardée.
	219	219
\subsubsection{Mémorisation}	220	220	\subsubsection{Mémorisation}
	221	221
L'étape de mémorisation consiste simplement à prendre la meilleure solution proposée et à déterminer s'il s'agit d'une solution nouvelle ou existante. S'il s'agit d'une nouvelle solution, elle est enregistrée dans la base de connaissances.	222	222	L'étape de mémorisation consiste simplement à prendre la meilleure solution proposée et à déterminer s'il s'agit d'une solution nouvelle ou existante. S'il s'agit d'une nouvelle solution, elle est enregistrée dans la base de connaissances.
	223	223
\subsection{Résultats}	224	224	\subsection{Résultats}
	225	225
Les performances de prédiction de l'algorithme proposé ont été comparées à celles de neuf autres algorithmes sur dix jeux de données classiquement utilisés pour évaluer des méthodes de régression. Ces jeux de données présentent des caractéristiques différentes. Les jeux de données et leurs caractéristiques sont consignées dans le tableau \ref{tabBases2}. Les valeurs des paramètres de l'algorithme sont les suivantes : $it=100$, $np=50$, $nl=10$ et $ng=10$.	226	226	Les performances de prédiction de l'algorithme proposé ont été comparées à celles de neuf autres algorithmes sur dix jeux de données classiquement utilisés pour évaluer des méthodes de régression. Ces jeux de données présentent des caractéristiques différentes. Les jeux de données et leurs caractéristiques sont consignées dans le tableau \ref{tabBases2}. Les valeurs des paramètres de l'algorithme sont les suivantes : $it=100$, $np=50$, $nl=10$ et $ng=10$.
	227	227
\begin{table}[!ht]	228	228	\begin{table}[!ht]
\tiny	229	229	\tiny
\centering	230	230	\centering
\begin{tabular}{llccccc}	231	231	\begin{tabular}{llccccc}
ID&DataSet&Features&Instances&Output Dimension&Input Domain&Output Domain\\	232	232	ID&DataSet&Features&Instances&Output Dimension&Input Domain&Output Domain\\
\hline	233	233	\hline
DS1&Yatch Hydrodynamics&6&308&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\	234	234	DS1&Yatch Hydrodynamics&6&308&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\
DS2&Electrical Grid Stability&12&10000&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\	235	235	DS2&Electrical Grid Stability&12&10000&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\
DS3&Real State Valuation&6&414&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	236	236	DS3&Real State Valuation&6&414&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS4&Wine Quality (Red)&11&1598&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\	237	237	DS4&Wine Quality (Red)&11&1598&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\
DS5&Wine Quality (White)&11&4897&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\	238	238	DS5&Wine Quality (White)&11&4897&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\
DS6&Concrete Compressive Strength&8&1030&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	239	239	DS6&Concrete Compressive Strength&8&1030&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS7&Energy Efficiency&8&768&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	240	240	DS7&Energy Efficiency&8&768&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS8&Gas Turbine CO, NOx Emission (2015)&9&7384&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	241	241	DS8&Gas Turbine CO, NOx Emission (2015)&9&7384&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS9&Student Performace Portuguese&30&649&3&$\mathbb{N}$&$\mathbb{N}$\\	242	242	DS9&Student Performace Portuguese&30&649&3&$\mathbb{N}$&$\mathbb{N}$\\
DS10&Student Performance Math&30&395&3&$\mathbb{N}$&$\mathbb{N}$\\	243	243	DS10&Student Performance Math&30&395&3&$\mathbb{N}$&$\mathbb{N}$\\
\end{tabular}	244	244	\end{tabular}
\caption{Description des jeux de données évaluées.}	245	245	\caption{Description des jeux de données évaluées.}
\label{tabBases2}	246	246	\label{tabBases2}
\end{table}	247	247	\end{table}
	248	248
L'algorithme proposé est comparé à neuf algorithmes de régression largement utilisés dans divers travaux de recherche et problèmes appliqués. La liste des algorithmes est présentée dans le tableau \ref{tabAlgs2}. Tous les algorithmes ont été exécutés cent fois, et les algorithmes qui nécessitent un entraînement et des validations croisées sont exécutés avec $k=10$ blocs.	249	249	L'algorithme proposé est comparé à neuf algorithmes de régression largement utilisés dans divers travaux de recherche et problèmes appliqués. La liste des algorithmes est présentée dans le tableau \ref{tabAlgs2}. Tous les algorithmes ont été exécutés cent fois, et les algorithmes qui nécessitent un entraînement et des validations croisées sont exécutés avec $k=10$ blocs.
	250	250
\begin{table}[!ht]	251	251	\begin{table}[!ht]
\centering	252	252	\centering
\footnotesize	253	253	\footnotesize
\begin{tabular}{ll\|ll}	254	254	\begin{tabular}{ll\|ll}
ID&Algorithme&ID&Algorithme\\	255	255	ID&Algorithme&ID&Algorithme\\
\hline	256	256	\hline
A1&Linear Regression&A6&Polinomial Regression\\	257	257	A1&Linear Regression&A6&Polinomial Regression\\
A2&K-Nearest Neighbor&A7&Ridge Regression\\	258	258	A2&K-Nearest Neighbor&A7&Ridge Regression\\
A3&Decision Tree&A8&Lasso Regression\\	259	259	A3&Decision Tree&A8&Lasso Regression\\
A4&Random Forest (Ensemble)&A9&Gradient Boosting (Ensemble)\\	260	260	A4&Random Forest (Ensemble)&A9&Gradient Boosting (Ensemble)\\
A5&Multi Layer Perceptron&A10&Proposed Case Based Reasoning\\	261	261	A5&Multi Layer Perceptron&A10&Proposed Case Based Reasoning\\
\end{tabular}	262	262	\end{tabular}
\caption{Liste des algorithmes évalués}	263	263	\caption{Liste des algorithmes évalués}
\label{tabAlgs2}	264	264	\label{tabAlgs2}
\end{table}	265	265	\end{table}
	266	266
Le tableau \ref{tabRes1_2} présente l'erreur quadratique moyenne (RMSE) obtenue par chaque algorithme pour chaque jeu de données. Le tableau \ref{tabRes2_2} présente l'erreur absolue médiane (MAE) obtenue par chaque algorithme pour chaque jeu de données.	267	267	Le tableau \ref{tabRes1_2} présente l'erreur quadratique moyenne (RMSE) obtenue par chaque algorithme pour chaque jeu de données. Le tableau \ref{tabRes2_2} présente l'erreur absolue médiane (MAE) obtenue par chaque algorithme pour chaque jeu de données.
	268	268
\begin{table}[!ht]	269	269	\begin{table}[!ht]
\footnotesize	270	270	\footnotesize
\centering	271	271	\centering
\begin{tabular}{c\|ccccccccccc}	272	272	\begin{tabular}{c\|ccccccccccc}
Dataset&A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\	273	273	Dataset&A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\
\hline	274	274	\hline
DS1&9.010&10.780&1.224&0.982&3.369&9.009&8.985&9.629&\textbf{0.668}&5.871\\	275	275	DS1&9.010&10.780&1.224&0.982&3.369&9.009&8.985&9.629&\textbf{0.668}&5.871\\
DS2&0.022&0.025&0.020&0.012&0.017&0.022&0.022&0.037&\textbf{0.011}&0.015\\	276	276	DS2&0.022&0.025&0.020&0.012&0.017&0.022&0.022&0.037&\textbf{0.011}&0.015\\
DS3&8.633&8.033&9.334&\textbf{7.203}&8.470&8.705&8.842&9.009&7.324&8.491\\	277	277	DS3&8.633&8.033&9.334&\textbf{7.203}&8.470&8.705&8.842&9.009&7.324&8.491\\
DS4&0.651&0.746&0.782&\textbf{0.571}&0.694&0.651&0.651&0.792&0.617&0.762\\	278	278	DS4&0.651&0.746&0.782&\textbf{0.571}&0.694&0.651&0.651&0.792&0.617&0.762\\
DS5&0.753&0.806&0.820&\textbf{0.599}&0.853&0.754&0.757&0.863&0.688&0.748\\	279	279	DS5&0.753&0.806&0.820&\textbf{0.599}&0.853&0.754&0.757&0.863&0.688&0.748\\
DS6&10.439&8.871&6.144&\textbf{4.738}&6.553&10.423&10.422&10.428&5.053&8.766\\	280	280	DS6&10.439&8.871&6.144&\textbf{4.738}&6.553&10.423&10.422&10.428&5.053&8.766\\
DS7&2.948&2.116&0.541&\textbf{0.465}&3.726&2.949&2.979&4.094&0.467&1.973\\	281	281	DS7&2.948&2.116&0.541&\textbf{0.465}&3.726&2.949&2.979&4.094&0.467&1.973\\
DS8&1.315&1.161&1.513&\textbf{1.109}&1.566&1.303&1.308&1.318&1.125&2.157\\	282	282	DS8&1.315&1.161&1.513&\textbf{1.109}&1.566&1.303&1.308&1.318&1.125&2.157\\
DS9&\textbf{2.304}&2.624&3.217&2.315&2.898&\textbf{2.304}&\textbf{2.304}&2.551&2.342&2.802\\	283	283	DS9&\textbf{2.304}&2.624&3.217&2.315&2.898&\textbf{2.304}&\textbf{2.304}&2.551&2.342&2.802\\
DS10&3.052&3.404&4.158&\textbf{3.014}&3.607&3.061&3.061&3.150&3.020&3.874\\	284	284	DS10&3.052&3.404&4.158&\textbf{3.014}&3.607&3.061&3.061&3.150&3.020&3.874\\
\hline	285	285	\hline
Avg. Rank&5.7&6.3&7.2&2.1&6.6&5.6&5.5&8.6&1.8&5.6\\	286	286	Avg. Rank&5.7&6.3&7.2&2.1&6.6&5.6&5.5&8.6&1.8&5.6\\
\end{tabular}	287	287	\end{tabular}
\caption{RMSE calculée sur les dix jeux de données sélectionnés obtenue après exécution des dix algorithmes de régression considérés}	288	288	\caption{RMSE calculée sur les dix jeux de données sélectionnés obtenue après exécution des dix algorithmes de régression considérés}
\label{tabRes1_2}	289	289	\label{tabRes1_2}
\end{table}	290	290	\end{table}
	291	291
\begin{table}[!ht]	292	292	\begin{table}[!ht]
\footnotesize	293	293	\footnotesize
\centering	294	294	\centering
\begin{tabular}{c\|ccccccccccc}	295	295	\begin{tabular}{c\|ccccccccccc}
Dataset&A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\	296	296	Dataset&A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\
\hline	297	297	\hline
DS1&6.776&2.385&0.231&0.207&3.632&6.778&6.307&5.186&\textbf{0.162}&1.193\\	298	298	DS1&6.776&2.385&0.231&0.207&3.632&6.778&6.307&5.186&\textbf{0.162}&1.193\\
DS2&0.015&0.017&0.012&0.008&0.012&0.015&0.015&0.030&\textbf{0.007}&0.011\\	299	299	DS2&0.015&0.017&0.012&0.008&0.012&0.015&0.015&0.030&\textbf{0.007}&0.011\\
DS3&5.092&4.320&4.1&3.632&4.435&5.092&5.20&5.132&\textbf{3.504}&3.90\\	300	300	DS3&5.092&4.320&4.1&3.632&4.435&5.092&5.20&5.132&\textbf{3.504}&3.90\\
DS4&0.413&0.495&0.18&0.325&0.451&0.413&0.412&0.544&0.387&\textbf{0.154}\\	301	301	DS4&0.413&0.495&0.18&0.325&0.451&0.413&0.412&0.544&0.387&\textbf{0.154}\\
DS5&0.509&0.548&0.285&0.374&0.550&0.509&0.509&0.633&0.456&\textbf{0.113}\\	302	302	DS5&0.509&0.548&0.285&0.374&0.550&0.509&0.509&0.633&0.456&\textbf{0.113}\\
DS6&6.989&5.709&3.134&\textbf{2.839}&4.306&6.989&6.989&6.986&3.084&5.439\\	303	303	DS6&6.989&5.709&3.134&\textbf{2.839}&4.306&6.989&6.989&6.986&3.084&5.439\\
DS7&1.393&1.372&\textbf{0.217}&0.218&2.523&1.393&1.529&2.346&0.243&1.008\\	304	304	DS7&1.393&1.372&\textbf{0.217}&0.218&2.523&1.393&1.529&2.346&0.243&1.008\\
DS8&0.549&0.297&0.365&\textbf{0.289}&0.742&0.549&0.549&0.540&0.309&0.861\\	305	305	DS8&0.549&0.297&0.365&\textbf{0.289}&0.742&0.549&0.549&0.540&0.309&0.861\\
DS9&\textbf{1.496}&1.788&2.080&1.612&2.005&\textbf{1.496}&\textbf{1.496}&1.714&1.538&1.721\\	306	306	DS9&\textbf{1.496}&1.788&2.080&1.612&2.005&\textbf{1.496}&\textbf{1.496}&1.714&1.538&1.721\\
DS10&2.344&2.534&2.910&2.331&2.543&2.344&2.344&2.481&\textbf{2.258}&2.602\\	307	307	DS10&2.344&2.534&2.910&2.331&2.543&2.344&2.344&2.481&\textbf{2.258}&2.602\\
\hline	308	308	\hline
Avg. Rank&6.45&6.4&4.35&2.3&7.35&6.55&6.6&7.9&2.4&4.7\\	309	309	Avg. Rank&6.45&6.4&4.35&2.3&7.35&6.55&6.6&7.9&2.4&4.7\\
\end{tabular}	310	310	\end{tabular}
\caption{MAE calculée sur les dix jeux de données sélectionnés obtenue après exécution des dix algorithmes de régression considérés}	311	311	\caption{MAE calculée sur les dix jeux de données sélectionnés obtenue après exécution des dix algorithmes de régression considérés}
\label{tabRes2_2}	312	312	\label{tabRes2_2}
\end{table}	313	313	\end{table}
	314	314
La dispersion globale, la médiane et les valeurs aberrantes pour quatre jeux de données représentatifs sont présentées sur la figure \ref{figBox2}. Nous pouvons voir que l'algorithme ESCBR proposé génère plus de valeurs aberrantes que les autres algorithmes. Ceci peut être expliqué par le fait que les algorithmes de niveau-0 de ESCBR tendent à privilégier l'exploration de l'espace des solutions. Toutefois, nous pouvons observer que ESCBR est plus stable (la variance est plus faible) et converge mieux que la plupart des autres algorithmes testés.	315	315	La dispersion globale, la médiane et les valeurs aberrantes pour quatre jeux de données représentatifs sont présentées sur la figure \ref{figBox2}. Nous pouvons voir que l'algorithme ESCBR proposé génère plus de valeurs aberrantes que les autres algorithmes. Ceci peut être expliqué par le fait que les algorithmes de niveau-0 de ESCBR tendent à privilégier l'exploration de l'espace des solutions. Toutefois, nous pouvons observer que ESCBR est plus stable (la variance est plus faible) et converge mieux que la plupart des autres algorithmes testés.
	316	316
\begin{figure}	317	317	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/boxplot.png}	318	318	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/boxplot.png}
\caption{Résultats de la métrique MAE (\textit{Median Absolute Error}) pour les dix algorithmes et quatre bases de données représentatives}	319	319	\caption{Résultats de la métrique MAE (\textit{Median Absolute Error}) pour les dix algorithmes et quatre bases de données représentatives}
\label{figBox2}	320	320	\label{figBox2}
\end{figure}	321	321	\end{figure}
	322	322
\subsection{Discussion}	323	323	\subsection{Discussion}
	324	324
De par ses performances, ESCBR se révèle compétitif par rapport à certains des neuf autres algorithmes testés pour la prédiction dans les problèmes de régression. En particulier, dans ce travail, nous avons effectué les tests sur dix jeux de données aux caractéristiques variées, telles que le nombre d'instances, le nombre de caractéristiques, le domaine des variables d'entrée, les dimensions de la variable de sortie et le domaine d'application. Cela démontre la polyvalence de l'algorithme proposé et son applicabilité à différentes configurations. Étant donné la nature exploratoire et stochastique d'ESCBR, il présente une grande diversité de solutions générant plusieurs valeurs aberrantes. Malgré cela, dans la plupart des cas, il est possible d'atteindre une solution approximative convergeant vers la solution optimale. Pour cette raison, les valeurs de la moyenne sont parfois élevées, mais celles de la médiane restent faibles, la médiane atténuant les disparités.	325	325	De par ses performances, ESCBR se révèle compétitif par rapport à certains des neuf autres algorithmes testés pour la prédiction dans les problèmes de régression. En particulier, dans ce travail, nous avons effectué les tests sur dix jeux de données aux caractéristiques variées, telles que le nombre d'instances, le nombre de caractéristiques, le domaine des variables d'entrée, les dimensions de la variable de sortie et le domaine d'application. Cela démontre la polyvalence de l'algorithme proposé et son applicabilité à différentes configurations. Étant donné la nature exploratoire et stochastique d'ESCBR, il présente une grande diversité de solutions générant plusieurs valeurs aberrantes. Malgré cela, dans la plupart des cas, il est possible d'atteindre une solution approximative convergeant vers la solution optimale. Pour cette raison, les valeurs de la moyenne sont parfois élevées, mais celles de la médiane restent faibles, la médiane atténuant les disparités.
	326	326
On constate également que l'intégration des algorithmes de recherche produit de meilleurs résultats que les algorithmes simples (tels que le KNN ou la régression linéaire).	327	327	On constate également que l'intégration des algorithmes de recherche produit de meilleurs résultats que les algorithmes simples (tels que le KNN ou la régression linéaire).
	328	328
Globalement, si l'on observe les RMSE obtenues, les algorithmes d'ensemble (\textit{Random forest} et \textit{Gradient Boosting}) sont globalement plus performants que les algorithmes classiques, même si les performances sont variables. Les performances calculées selon la RMSE classent notre algorithme ESCBR à la sixième place. En revanche, en considérant les performances mesurées selon la MAE, ESCBR est classé en première place pour trois des dix jeux de données et il se classe globalement à la troisième place.	329	329	Globalement, si l'on observe les RMSE obtenues, les algorithmes d'ensemble (\textit{Random forest} et \textit{Gradient Boosting}) sont globalement plus performants que les algorithmes classiques, même si les performances sont variables. Les performances calculées selon la RMSE classent notre algorithme ESCBR à la sixième place. En revanche, en considérant les performances mesurées selon la MAE, ESCBR est classé en première place pour trois des dix jeux de données et il se classe globalement à la troisième place.
	330	330
Un aspect important de l'algorithme proposé est la fonction objectif, qui peut être modifiée dynamiquement en fonction des caractéristiques du problème évalué. L'une des perspectives envisagées serait de modifier le fonctionnement du paramètre de \textit{drift} dans la fonction objectif en rendant sa valeur dynamique.	331	331	Un aspect important de l'algorithme proposé est la fonction objectif, qui peut être modifiée dynamiquement en fonction des caractéristiques du problème évalué. L'une des perspectives envisagées serait de modifier le fonctionnement du paramètre de \textit{drift} dans la fonction objectif en rendant sa valeur dynamique.
	332	332
De plus, ESCBR peut intégrer des algorithmes différents et des règles spécifiques à certaines problèmes dans chaque empilement et, grâce à la conception en deux cycles, il peut travailler avec des problèmes dynamiques en cours d'exécution. Par ailleurs, la variance faible obtenue lors des tests sur les dix jeux de données montrent qu'ESCBR fournit des résultats stables.	333	333	De plus, ESCBR peut intégrer des algorithmes différents et des règles spécifiques à certaines problèmes dans chaque empilement et, grâce à la conception en deux cycles, il peut travailler avec des problèmes dynamiques en cours d'exécution. Par ailleurs, la variance faible obtenue lors des tests sur les dix jeux de données montrent qu'ESCBR fournit des résultats stables.
	334	334
\subsection{Conclusion}	335	335	\subsection{Conclusion}
	336	336
Ce chapitre propose une technique de régression générique utilisant le raisonnement à partir de cas et une technique d'empilement que nous avons baptisé ESCBR. Cet algorithme ne nécessite pas d'entrainement préalable et grâce au cycle itératif interne, il peut s'adapter à des problèmes dynamiques en temps réel. Les résultats numériques obtenus lors des tests effectués montrent le potentiel de l'algorithme avec des données variées et des jeux de données de différentes tailles. Les tests effectués dans cette première partie de chapitre montrent ainsi la compétitivité d'ESCBR par rapport à d'autres algorithmes standards et robustes couramment utilisés pour résoudre des problèmes de régression.\\	337	337	Ce chapitre propose une technique de régression générique utilisant le raisonnement à partir de cas et une technique d'empilement que nous avons baptisé ESCBR. Cet algorithme ne nécessite pas d'entrainement préalable et grâce au cycle itératif interne, il peut s'adapter à des problèmes dynamiques en temps réel. Les résultats numériques obtenus lors des tests effectués montrent le potentiel de l'algorithme avec des données variées et des jeux de données de différentes tailles. Les tests effectués dans cette première partie de chapitre montrent ainsi la compétitivité d'ESCBR par rapport à d'autres algorithmes standards et robustes couramment utilisés pour résoudre des problèmes de régression.\\
	338	338
\section{ESCBR-SMA : Introduction des systèmes multi-agents dans ESCBR}	339	339	\section{ESCBR-SMA : Introduction des systèmes multi-agents dans ESCBR}
	340	340
La méthode ESCBR que nous avons proposée dans la section précédente est fondée sur une technique d'apprentissage d'ensemble par empilement. Cette technique mettant en oeuvre plusieurs solutions proposées par des processus intelligents et concurrents pour en générer une, nous nous sommes tout naturellement tournés vers la possibilité d'inclure des agents dans le processus de décision. L'une des ambitions des systèmes multi-agents consiste en effet à faire émerger une intelligence collective capable de fournir une solution. Cette section présente donc l'évolution d'ESCBR en ESCBR-SMA.	341	341	La méthode ESCBR que nous avons proposée dans la section précédente est fondée sur une technique d'apprentissage d'ensemble par empilement. Cette technique mettant en oeuvre plusieurs solutions proposées par des processus intelligents et concurrents pour en générer une, nous nous sommes tout naturellement tournés vers la possibilité d'inclure des agents dans le processus de décision. L'une des ambitions des systèmes multi-agents consiste en effet à faire émerger une intelligence collective capable de fournir une solution. Cette section présente donc l'évolution d'ESCBR en ESCBR-SMA.
	342	342
\subsection{Algorithme Proposé}	343	343	\subsection{Algorithme Proposé}
	344	344
L'algorithme ESCBR-SMA est fondé sur le paradigme du RàPC et incorpore divers algorithmes de recherche de voisins et de génération de solutions. Ceux-ci sont intégrés à l'aide d'une variante de la technique d'empilement en deux étapes itératives, exécutées par des agents qui exploitent indépendamment les algorithmes définis dans les conteneurs de connaissances de la révision et de la réutilisation du cycle classique du RàPC. Les agents possèdent une mémoire locale qui leur permet d'ajuster et de développer leur recherche de voisins, en générant des solutions à chaque itération. Chaque agent a un comportement individuel autorisant l'échange d'informations avec les autres agents. La figure \ref{figNCBR} décrit le processus de décision et les comportements des agents au sein du système élargi.	345	345	L'algorithme ESCBR-SMA est fondé sur le paradigme du RàPC et incorpore divers algorithmes de recherche de voisins et de génération de solutions. Ceux-ci sont intégrés à l'aide d'une variante de la technique d'empilement en deux étapes itératives, exécutées par des agents qui exploitent indépendamment les algorithmes définis dans les conteneurs de connaissances de la révision et de la réutilisation du cycle classique du RàPC. Les agents possèdent une mémoire locale qui leur permet d'ajuster et de développer leur recherche de voisins, en générant des solutions à chaque itération. Chaque agent a un comportement individuel autorisant l'échange d'informations avec les autres agents. La figure \ref{figNCBR} décrit le processus de décision et les comportements des agents au sein du système élargi.
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\begin{figure}[!ht]	347	347	\begin{figure}[!ht]
\centering	348	348	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/NCBR.png}	349	349	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/NCBR.png}
\caption{Deux cycles du système ESCBR-SMA proposé}	350	350	\caption{Deux cycles du système ESCBR-SMA proposé}
\label{figNCBR}	351	351	\label{figNCBR}
\end{figure}	352	352	\end{figure}
	353	353
Dans ESCBR-SMA, chaque agent effectue un algorithme de recherche des voisins du problème au cours de la première étape puis, au cours de la seconde, génère une solution en se référant à la liste des solutions obtenues au cours de la première étape. À chaque itération, les agents peuvent choisir parmi trois comportements programmés : la recherche de problèmes voisins, la génération de solutions ou l'échange d'informations avec un autre agent. L'exécution de ces trois comportements programmés est asynchrone. En revanche, la création et la sélection de la liste des voisins se font de manière synchronisée.	354	354	Dans ESCBR-SMA, chaque agent effectue un algorithme de recherche des voisins du problème au cours de la première étape puis, au cours de la seconde, génère une solution en se référant à la liste des solutions obtenues au cours de la première étape. À chaque itération, les agents peuvent choisir parmi trois comportements programmés : la recherche de problèmes voisins, la génération de solutions ou l'échange d'informations avec un autre agent. L'exécution de ces trois comportements programmés est asynchrone. En revanche, la création et la sélection de la liste des voisins se font de manière synchronisée.
	355	355
Les étapes d'extraction, de réutilisation, de révision et de conservation restent conformes au RàPC conventionnel. En revanche, ESCBR-SMA comprend trois nouvelles étapes :	356	356	Les étapes d'extraction, de réutilisation, de révision et de conservation restent conformes au RàPC conventionnel. En revanche, ESCBR-SMA comprend trois nouvelles étapes :
\begin{itemize}	357	357	\begin{itemize}
\item durant la phase de reconfiguration, les agents mettent à jour les valeurs de leurs paramètres locaux afin d'améliorer la qualité de la solution proposée lors de l'itération suivante,	358	358	\item durant la phase de reconfiguration, les agents mettent à jour les valeurs de leurs paramètres locaux afin d'améliorer la qualité de la solution proposée lors de l'itération suivante,
\item durant la phase d'échange, les agents échangent des informations pour améliorer leurs processus internes de recherche et de génération,	359	359	\item durant la phase d'échange, les agents échangent des informations pour améliorer leurs processus internes de recherche et de génération,
\item enfin, l'étape de révision met à jour les valeurs des paramètres globaux de l'algorithme.	360	360	\item enfin, l'étape de révision met à jour les valeurs des paramètres globaux de l'algorithme.
\end{itemize}	361	361	\end{itemize}
	362	362
Le flux complet de l'algorithme proposé est décrit sur la figure \ref{figFlowCBR}.	363	363	Le flux complet de l'algorithme proposé est décrit sur la figure \ref{figFlowCBR}.
	364	364
En premier lieu, ESCBR-SMA crée $n$ agents. Lors de l'initialisation, les agents sélectionnent au hasard un algorithme de récupération et un algorithme de réutilisation, et initialisent également les vecteurs bayésiens correspondants. Tous les agents travaillent avec le même ensemble de données.	365	365	En premier lieu, ESCBR-SMA crée $n$ agents. Lors de l'initialisation, les agents sélectionnent au hasard un algorithme de récupération et un algorithme de réutilisation, et initialisent également les vecteurs bayésiens correspondants. Tous les agents travaillent avec le même ensemble de données.
	366	366
Les agents exécutent en parallèle l'algorithme de récupération sélectionné, à partir des problèmes similaires trouvés ; chaque agent extrait les solutions et exécute l'algorithme spécifique de génération d'une nouvelle solution.	367	367	Les agents exécutent en parallèle l'algorithme de récupération sélectionné, à partir des problèmes similaires trouvés ; chaque agent extrait les solutions et exécute l'algorithme spécifique de génération d'une nouvelle solution.
Toutes les solutions proposées par les agents sont évaluées à l'aide d'une fonction objectif : la solution qui minimise la fonction objectif est la meilleure solution trouvée à ce stade.	368	368	Toutes les solutions proposées par les agents sont évaluées à l'aide d'une fonction objectif : la solution qui minimise la fonction objectif est la meilleure solution trouvée à ce stade.
	369	369
Au cours de l'étape suivante, les agents sélectionnent au hasard un algorithme de récupération et un algorithme de réutilisation, puis ils mettent à jour les vecteurs bayésiens en fonction des résultats obtenus avec la fonction objectif.	370	370	Au cours de l'étape suivante, les agents sélectionnent au hasard un algorithme de récupération et un algorithme de réutilisation, puis ils mettent à jour les vecteurs bayésiens en fonction des résultats obtenus avec la fonction objectif.
	371	371
Lors de l'itération suivante, chaque agent peut choisir l'une des trois actions possibles : changer les algorithmes de récupération et de réutilisation, ne changer que l'algorithme de réutilisation ou échanger des informations avec un autre agent choisi au hasard. De plus, l'agent choisit aléatoirement une action pour tenter d'améliorer la solution candidate.	372	372	Lors de l'itération suivante, chaque agent peut choisir l'une des trois actions possibles : changer les algorithmes de récupération et de réutilisation, ne changer que l'algorithme de réutilisation ou échanger des informations avec un autre agent choisi au hasard. De plus, l'agent choisit aléatoirement une action pour tenter d'améliorer la solution candidate.
	373	373
ESCBR-SMA utilise l'ensemble des variables et paramètres du tableau \ref{tabVarPar} ainsi que ceux consignés dans le tableau \ref{tabVarPar2}. Le système multi-agents est composé d'un nombre variable d'agents, tous homogènes mais dotés de processus cognitifs internes indépendants et stochastiques.	374	374	ESCBR-SMA utilise l'ensemble des variables et paramètres du tableau \ref{tabVarPar} ainsi que ceux consignés dans le tableau \ref{tabVarPar2}. Le système multi-agents est composé d'un nombre variable d'agents, tous homogènes mais dotés de processus cognitifs internes indépendants et stochastiques.
	375	375
\begin{figure}[!ht]	376	376	\begin{figure}[!ht]
\centering	377	377	\centering
\includegraphics[scale=0.6]{Figures/FlowCBR.png}	378	378	\includegraphics[scale=0.6]{Figures/FlowCBR.png}
\caption{Flux du \textit{Stacking} du RàPC (* : tâche effectuée par chaque agent)}	379	379	\caption{Flux du \textit{Stacking} du RàPC (* : tâche effectuée par chaque agent)}
\label{figFlowCBR}	380	380	\label{figFlowCBR}
\end{figure}	381	381	\end{figure}
	382	382
\begin{table}[!ht]	383	383	\begin{table}[!ht]
\footnotesize	384	384	\footnotesize
\centering	385	385	\centering
\begin{tabular}{cccc}	386	386	\begin{tabular}{cccc}
ID&Type&Description&Domain\\	387	387	ID&Type&Description&Domain\\
\hline	388	388	\hline
$p_w$&v&Description du nouveau problème&$\mathbb{R} ^ n$\\	389	389	$p_w$&v&Description du nouveau problème&$\mathbb{R} ^ n$\\
$s_w$&v&Description de la nouvelle solution&$\mathbb{R} ^ m$\\	390	390	$s_w$&v&Description de la nouvelle solution&$\mathbb{R} ^ m$\\
$n_{rt}$&v&Nombre d'algorithmes pour l'étape de rétrouver&$\mathbb{Z}$\\	391	391	$n_{rt}$&v&Nombre d'algorithmes pour l'étape de rétrouver&$\mathbb{Z}$\\
$n_{rs}$&v&Nombre d'algorithmes de réutilisation&$\mathbb{Z}$\\	392	392	$n_{rs}$&v&Nombre d'algorithmes de réutilisation&$\mathbb{Z}$\\
$rn(x,y)$&f&	393	393	$rn(x,y)$&f&
	394	394
\begin{tabular}{@{}c@{}}Valeur aléatoire avec distribution normale\\ $x$ moyenne, $y$ écart-type	395	395	\begin{tabular}{@{}c@{}}Valeur aléatoire avec distribution normale\\ $x$ moyenne, $y$ écart-type
\end{tabular}	396	396	\end{tabular}
	397	397
&$\mathbb{R}_+$\\	398	398	&$\mathbb{R}_+$\\
$rnp(x,y)$&f&	399	399	$rnp(x,y)$&f&
	400	400
\begin{tabular}{@{}c@{}}Valeur aléatoire discrète, $x$ nombre d'options \\ $y$ vecteur discret de probabilités	401	401	\begin{tabular}{@{}c@{}}Valeur aléatoire discrète, $x$ nombre d'options \\ $y$ vecteur discret de probabilités
\end{tabular}	402	402	\end{tabular}
&$\mathbb{Z}$\\	403	403	&$\mathbb{Z}$\\
\end{tabular}	404	404	\end{tabular}
\caption{Variables et paramètres supplémentaires du ESCBR-SMA (Type: p - paramètre, v - variable, f - fonction)}	405	405	\caption{Variables et paramètres supplémentaires du ESCBR-SMA (Type: p - paramètre, v - variable, f - fonction)}
\label{tabVarPar2}	406	406	\label{tabVarPar2}
\end{table}	407	407	\end{table}
	408	408
\subsubsection{Algorithmes}	409	409	\subsubsection{Algorithmes}
	410	410
Cette section présente de manière plus détaillée les comportements des agents d'ESCBR-SMA.	411	411	Cette section présente de manière plus détaillée les comportements des agents d'ESCBR-SMA.
	412	412
Lors de la première étape de l'empilement, chaque agent peut sélectionner l'un des algorithmes suivants pour rechercher des problèmes similaires au problème cible : KNN (\textit{K-Nearest Neighbor}), \textit{KMeans}, GMM (\textit{Gaussian Mixture Model}), \textit{FuzzyC} et KNN pondéré.	413	413	Lors de la première étape de l'empilement, chaque agent peut sélectionner l'un des algorithmes suivants pour rechercher des problèmes similaires au problème cible : KNN (\textit{K-Nearest Neighbor}), \textit{KMeans}, GMM (\textit{Gaussian Mixture Model}), \textit{FuzzyC} et KNN pondéré.
	414	414
Lors de la deuxième étape de l'empilement, les agents peuvent choisir un algorithme parmi les algorithmes explicités dans la section 6.2.1.2.	415	415	Lors de la deuxième étape de l'empilement, les agents peuvent choisir un algorithme parmi les algorithmes explicités dans la section 6.2.1.2.
	416	416
\subsubsection{Structure des agents}	417	417	\subsubsection{Structure des agents}
	418	418
Tous les agents ont une structure similaire, mais chaque agent suit un processus cognitif individuel qui lui permet d'adopter un comportement indépendant et différent de tous les autres. La figure \ref{figAgent} montre les actions et les variables nécessaires à l'exécution de l'ensemble du processus.	419	419	Tous les agents ont une structure similaire, mais chaque agent suit un processus cognitif individuel qui lui permet d'adopter un comportement indépendant et différent de tous les autres. La figure \ref{figAgent} montre les actions et les variables nécessaires à l'exécution de l'ensemble du processus.
	420	420
Chaque agent peut exécuter trois actions différentes :	421	421	Chaque agent peut exécuter trois actions différentes :
\begin{itemize}	422	422	\begin{itemize}
\item « Récupérer et réutiliser »,	423	423	\item « Récupérer et réutiliser »,
\item « Réutiliser » et	424	424	\item « Réutiliser » et
\item « Échanger ».	425	425	\item « Échanger ».
\end{itemize}	426	426	\end{itemize}
	427	427
Chaque agent accède aux valeurs de huit variables qui lui sont propres :	428	428	Chaque agent accède aux valeurs de huit variables qui lui sont propres :
\begin{itemize}	429	429	\begin{itemize}
\item le nombre de voisins définissant le nombre de problèmes similaires au nouveau problème posé que l'agent doit rechercher dans la base de connaissances,	430	430	\item le nombre de voisins définissant le nombre de problèmes similaires au nouveau problème posé que l'agent doit rechercher dans la base de connaissances,
\item la liste des voisins les plus proches consigne les agents avec lesquels des informations peuvent être échangées,	431	431	\item la liste des voisins les plus proches consigne les agents avec lesquels des informations peuvent être échangées,
\item l'identifiant de l'algorithme de récupération que l'agent exécutera pour trouver les problèmes similaires au problème cible,	432	432	\item l'identifiant de l'algorithme de récupération que l'agent exécutera pour trouver les problèmes similaires au problème cible,
\item l'identifiant de l'algorithme de réutilisation que l'agent exécutera pour générer une solution candidate au cas cible,	433	433	\item l'identifiant de l'algorithme de réutilisation que l'agent exécutera pour générer une solution candidate au cas cible,
\item la description de la solution générée,	434	434	\item la description de la solution générée,
\item l'évaluation de la solution renseignant sur la qualité de la solution générée et calculée selon une fonction d'optimisation (équations \ref{eqOpt1} et \ref{eqOpt2}),	435	435	\item l'évaluation de la solution renseignant sur la qualité de la solution générée et calculée selon une fonction d'optimisation (équations \ref{eqOpt1} et \ref{eqOpt2}),
\item le vecteur bayésien nécessaire aux algorithmes de récupération contenant les valeurs de probabilité, et	436	436	\item le vecteur bayésien nécessaire aux algorithmes de récupération contenant les valeurs de probabilité, et
\item le vecteur bayésien nécessaire aux algorithmes de réutilisation contenant les valeurs de probabilité.	437	437	\item le vecteur bayésien nécessaire aux algorithmes de réutilisation contenant les valeurs de probabilité.
\end{itemize}	438	438	\end{itemize}
	439	439
\begin{equation}	440	440	\begin{equation}
min \; \left( f_s(p_w^n, s_w^m) \right) = min \left( \sum_{i=1}^{ng} \frac{d(s_w^m,s_i^t)}{d(p_w^n,p_i^n)^2} \right)	441	441	min \; \left( f_s(p_w^n, s_w^m) \right) = min \left( \sum_{i=1}^{ng} \frac{d(s_w^m,s_i^t)}{d(p_w^n,p_i^n)^2} \right)
\label{eqOpt1}	442	442	\label{eqOpt1}
\end{equation}	443	443	\end{equation}
	444	444
\begin{equation}	445	445	\begin{equation}
s_i^t=s_i^m+rn(0,d(p_w^n,p_i^n))	446	446	s_i^t=s_i^m+rn(0,d(p_w^n,p_i^n))
\label{eqOpt2}	447	447	\label{eqOpt2}
\end{equation}	448	448	\end{equation}
	449	449
\begin{figure}[!ht]	450	450	\begin{figure}[!ht]
\centering	451	451	\centering
\includegraphics[scale=0.7]{Figures/agent.png}	452	452	\includegraphics[scale=0.7]{Figures/agent.png}
\caption{Structure interne des agents}	453	453	\caption{Structure interne des agents}
\label{figAgent}	454	454	\label{figAgent}
\end{figure}	455	455	\end{figure}
	456	456
\subsubsection{Apprentissage des agents}	457	457	\subsubsection{Apprentissage des agents}
	458	458
Tous les agents considèrent un vecteur bayésien de probabilité pour la phase de récupération (conteneur $C3$ de la figure \ref{figNCBR}) et un vecteur bayésien de probabilité pour la phase de réutilisation (conteneur $C2$). Initialement, ces vecteurs sont configurés avec une probabilité uniforme pour tous les algorithmes de récupération et de réutilisation (probabilité \textit{a priori}). À chaque itération, les vecteurs sont mis à jour selon l'équation bayésienne \ref{eqBay} en utilisant les meilleurs résultats du même agent comme paramètre de vraisemblance. L'agent apprend ainsi de son expérience et sélectionne les algorithmes les plus aptes à fournir les meilleures réponses au regard de l'objectif défini.	459	459	Tous les agents considèrent un vecteur bayésien de probabilité pour la phase de récupération (conteneur $C3$ de la figure \ref{figNCBR}) et un vecteur bayésien de probabilité pour la phase de réutilisation (conteneur $C2$). Initialement, ces vecteurs sont configurés avec une probabilité uniforme pour tous les algorithmes de récupération et de réutilisation (probabilité \textit{a priori}). À chaque itération, les vecteurs sont mis à jour selon l'équation bayésienne \ref{eqBay} en utilisant les meilleurs résultats du même agent comme paramètre de vraisemblance. L'agent apprend ainsi de son expérience et sélectionne les algorithmes les plus aptes à fournir les meilleures réponses au regard de l'objectif défini.
	460	460
Par conséquent, d'un point de vue plus global au niveau du SMA, l'apprentissage est fondé sur un raisonnement bayésien où les vecteurs de récupération et de réutilisation évoluent. Un exemple d'évolution est présenté sur la figure \ref{fig:bayev}. Au cours d'une itération, si un algorithme a contribué à la construction de la meilleure solution, il reçoit un point pour chaque agent qui l'a utilisé. Ces informations sont stockées dans un vecteur normalisé qui est ensuite utilisé comme vecteur de vraisemblance $P(A)$ pour calculer les nouvelles probabilités dans l'équation bayésienne \ref{eqBay} (dans cette équation, $P(B)$ est le terme de normalisation global).	461	461	Par conséquent, d'un point de vue plus global au niveau du SMA, l'apprentissage est fondé sur un raisonnement bayésien où les vecteurs de récupération et de réutilisation évoluent. Un exemple d'évolution est présenté sur la figure \ref{fig:bayev}. Au cours d'une itération, si un algorithme a contribué à la construction de la meilleure solution, il reçoit un point pour chaque agent qui l'a utilisé. Ces informations sont stockées dans un vecteur normalisé qui est ensuite utilisé comme vecteur de vraisemblance $P(A)$ pour calculer les nouvelles probabilités dans l'équation bayésienne \ref{eqBay} (dans cette équation, $P(B)$ est le terme de normalisation global).
	462	462
\begin{figure}	463	463	\begin{figure}
\centering	464	464	\centering
\includegraphics[scale=0.5]{Figures/BayesianEvolution.png}	465	465	\includegraphics[scale=0.5]{Figures/BayesianEvolution.png}
\caption{Exemple d'évolution Bayésienne des vecteurs pour un agent. a) Initialisation des probabilités $P(B\|A)$ vecteurs pour Retrieve et Reuse, b) Probabilités après quelques itérations $P(A\|B)$ vecteurs pour Retrieve et Reuse}	466	466	\caption{Exemple d'évolution Bayésienne des vecteurs pour un agent. a) Initialisation des probabilités $P(B\|A)$ vecteurs pour Retrieve et Reuse, b) Probabilités après quelques itérations $P(A\|B)$ vecteurs pour Retrieve et Reuse}
\label{fig:bayev}	467	467	\label{fig:bayev}
\end{figure}	468	468	\end{figure}
	469	469
\begin{equation}	470	470	\begin{equation}
P(A\|B)=\frac{P(B\|A)P(A)}{P(B)}	471	471	P(A\|B)=\frac{P(B\|A)P(A)}{P(B)}
\label{eqBay}	472	472	\label{eqBay}
\end{equation}	473	473	\end{equation}
	474	474
La fonction $rnp$ de l'équation \ref{eqRta} choisit l'algorithme de recherche $a_{rt}$ de l'étape $rt$.	475	475	La fonction $rnp$ de l'équation \ref{eqRta} choisit l'algorithme de recherche $a_{rt}$ de l'étape $rt$.
Cette fonction prend en paramètres l'ensemble des algorithmes possibles $n_{rt}$ et une probabilité associée $P(A\|B)_{rt}$. $P(A\|B)_{rt}$ représente la probabilité que l'algorithme de recherche associé fournisse la solution optimale à l'étape $rt$.	476	476	Cette fonction prend en paramètres l'ensemble des algorithmes possibles $n_{rt}$ et une probabilité associée $P(A\|B)_{rt}$. $P(A\|B)_{rt}$ représente la probabilité que l'algorithme de recherche associé fournisse la solution optimale à l'étape $rt$.
	477	477
\begin{equation}	478	478	\begin{equation}
a_{rt}=rnp(n_{rt},P(A\|B)_{rt})	479	479	a_{rt}=rnp(n_{rt},P(A\|B)_{rt})
\label{eqRta}	480	480	\label{eqRta}
\end{equation}	481	481	\end{equation}
	482	482
La fonction $rnp$ est de nouveau utilisée pour choisir l'algorithme de réutilisation $a_{rs}$ (équation \ref{eqRsa}).	483	483	La fonction $rnp$ est de nouveau utilisée pour choisir l'algorithme de réutilisation $a_{rs}$ (équation \ref{eqRsa}).
	484	484
\begin{equation}	485	485	\begin{equation}
a_{rs}=rnp(n_{rs},P(A\|B)_{rs})	486	486	a_{rs}=rnp(n_{rs},P(A\|B)_{rs})
\label{eqRsa}	487	487	\label{eqRsa}
\end{equation}	488	488	\end{equation}
	489	489
Le processus d'apprentissage est réalisé individuellement par chaque agent, mais comporte un aspect collaboratif puisque les agents échangent les informations qu'ils ont calculées, les optimisations locales qu'ils ont réalisées, ainsi que les algorithmes et les paramètres qu'ils ont utilisés.	490	490	Le processus d'apprentissage est réalisé individuellement par chaque agent, mais comporte un aspect collaboratif puisque les agents échangent les informations qu'ils ont calculées, les optimisations locales qu'ils ont réalisées, ainsi que les algorithmes et les paramètres qu'ils ont utilisés.
	491	491
\subsubsection{Échanges entre les agents}	492	492	\subsubsection{Échanges entre les agents}
	493	493
Un agent peut modifier ses informations et leur affecter les valeurs de celles d'un voisin au cours de chaque itération en choisissant au hasard un voisin dans sa liste de voisins les plus proches. L'ensemble de ces changements permet de propager les paramètres menant aux meilleurs résultats et d'effectuer des actions rétrospectivement. Les informations modifables sont choisies aléatoirement : il peut s'agir du nombre de voisins, de la liste des voisins les plus proches, de l'algorithme de récupération, de l'algorithme de réutilisation ou même des vecteurs bayésiens.	494	494	Un agent peut modifier ses informations et leur affecter les valeurs de celles d'un voisin au cours de chaque itération en choisissant au hasard un voisin dans sa liste de voisins les plus proches. L'ensemble de ces changements permet de propager les paramètres menant aux meilleurs résultats et d'effectuer des actions rétrospectivement. Les informations modifables sont choisies aléatoirement : il peut s'agir du nombre de voisins, de la liste des voisins les plus proches, de l'algorithme de récupération, de l'algorithme de réutilisation ou même des vecteurs bayésiens.
	495	495
\subsection{Résultats}	496	496	\subsection{Résultats}
	497	497
Des expérimentations sur onze jeux de données relatifs à des problèmes de régression et présentant des caractéristiques différentes ont été réalisées. Les jeux de données et leurs caractéristiques sont consignés dans le tableau \ref{tabBases}. Les valeurs des paramètres d'ESCBR-SMA sont les suivantes : $it=100$ itérations, $np=50$ agents, $nl=10$ voisins par agent au maximum lors de l'étape de \textit{niveau-0} et $ng=10$ voisins par agent au maximum lors de l'étape de \textit{niveau-1}.	498	498	Des expérimentations sur onze jeux de données relatifs à des problèmes de régression et présentant des caractéristiques différentes ont été réalisées. Les jeux de données et leurs caractéristiques sont consignés dans le tableau \ref{tabBases}. Les valeurs des paramètres d'ESCBR-SMA sont les suivantes : $it=100$ itérations, $np=50$ agents, $nl=10$ voisins par agent au maximum lors de l'étape de \textit{niveau-0} et $ng=10$ voisins par agent au maximum lors de l'étape de \textit{niveau-1}.
	499	499
Le tableau \ref{AlgsPar} présente les valeurs des paramètres de tous les autres algorithmes.	500	500	Le tableau \ref{AlgsPar} présente les valeurs des paramètres de tous les autres algorithmes.
	501	501
\begin{table}[!ht]	502	502	\begin{table}[!ht]
\scriptsize	503	503	\scriptsize
\centering	504	504	\centering
\begin{tabular}{llccp{1.4cm}p{1.2cm}p{1.2cm}}	505	505	\begin{tabular}{llccp{1.4cm}p{1.2cm}p{1.2cm}}
ID&DataSet&Features&Instances&Output. Dimension&Input. Domain&Output Domain\\	506	506	ID&DataSet&Features&Instances&Output. Dimension&Input. Domain&Output Domain\\
\hline	507	507	\hline
DS1&Yatch Hydrodynamics&6&308&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\	508	508	DS1&Yatch Hydrodynamics&6&308&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\
DS2&Electrical Grid Stability&12&10000&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\	509	509	DS2&Electrical Grid Stability&12&10000&1&$\mathbb{R}$&$\mathbb{R}$\\
DS3&Real State Valuation&6&414&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	510	510	DS3&Real State Valuation&6&414&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS4&Wine Quality (Red)&11&1598&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\	511	511	DS4&Wine Quality (Red)&11&1598&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\
DS5&Wine Quality (White)&11&4897&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\	512	512	DS5&Wine Quality (White)&11&4897&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{N}$\\
DS6&Concrete Compressive Strength&8&1030&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	513	513	DS6&Concrete Compressive Strength&8&1030&1&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS7&Energy Efficiency&8&768&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	514	514	DS7&Energy Efficiency&8&768&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS8&Gas Turbine CO, NOx Emission (2015)&9&7384&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\	515	515	DS8&Gas Turbine CO, NOx Emission (2015)&9&7384&2&$\mathbb{R_+}$&$\mathbb{R_+}$\\
DS9&Student Performace Portuguese&30&649&3&$\mathbb{N*}$&$\mathbb{N}$\\	516	516	DS9&Student Performace Portuguese&30&649&3&$\mathbb{N*}$&$\mathbb{N}$\\
DS10&Student Performance Math&30&395&3&$\mathbb{N*}$&$\mathbb{N}$\\	517	517	DS10&Student Performance Math&30&395&3&$\mathbb{N*}$&$\mathbb{N}$\\
DS11&Generated Student Performance&5&1000&1&$\mathbb{R}_+$&$\mathbb{R}_+$\\	518	518	DS11&Generated Student Performance&5&1000&1&$\mathbb{R}_+$&$\mathbb{R}_+$\\
\end{tabular}	519	519	\end{tabular}
\caption{Description des jeux de données évalués.}	520	520	\caption{Description des jeux de données évalués.}
\label{tabBases}	521	521	\label{tabBases}
\end{table}	522	522	\end{table}
	523	523
\begin{table}[!ht]	524	524	\begin{table}[!ht]
\centering	525	525	\centering

\chapter{Système de Recommandation dans AI-VT}	1	1	\chapter{Système de Recommandation dans AI-VT}
	2	2
\section{Introduction}	3	3	\section{Introduction}
	4	4
L'un des principaux modules d'un EIAH est le système de recommandation visant à trouver les faiblesses et à réviser la séance d'entraînement proposée initialement par celui-ci. Ce type de module permet donc au système de personnaliser les contenus et les exercices en fonction des besoins et des résultats de chacun des apprenants. Certains auteurs n'hésitent pas à considérer que l'efficacité d'un EIAH dans l'acquisition des connaissances et l'adaptation aux différents types d'apprentissage dépend de ce type de module fondé sur la recommandation \cite{Liu2023}.	5	5	L'un des principaux modules d'un EIAH est le système de recommandation visant à trouver les faiblesses et à réviser la séance d'entraînement proposée initialement par celui-ci. Ce type de module permet donc au système de personnaliser les contenus et les exercices en fonction des besoins et des résultats de chacun des apprenants. Certains auteurs n'hésitent pas à considérer que l'efficacité d'un EIAH dans l'acquisition des connaissances et l'adaptation aux différents types d'apprentissage dépend de ce type de module fondé sur la recommandation \cite{Liu2023}.
	6	6
Les systèmes de recommandation dans les environnements d'apprentissage prennent en compte les exigences, les besoins, le profil, les acquis, compétences, les intérêts et l'évolution de l'apprenant pour adapter et recommander des ressources ou des exercices. Dans ces systèmes, l'adaptation peut être de deux types : l'adaptation de la présentation qui montre aux apprenants des ressources d'étude en fonction de leurs faiblesses et/ou l'adaptation du parcours qui change la structure du cours en fonction du niveau et du style d'apprentissage de chaque apprenant \cite{MUANGPRATHUB2020e05227}.	7	7	Les systèmes de recommandation dans les environnements d'apprentissage prennent en compte les exigences, les besoins, le profil, les acquis, compétences, les intérêts et l'évolution de l'apprenant pour adapter et recommander des ressources ou des exercices. Dans ces systèmes, l'adaptation peut être de deux types : l'adaptation de la présentation qui montre aux apprenants des ressources d'étude en fonction de leurs faiblesses et/ou l'adaptation du parcours qui change la structure du cours en fonction du niveau et du style d'apprentissage de chaque apprenant \cite{MUANGPRATHUB2020e05227}.
	8	8
Parmi les algorithmes les plus prometteurs pouvant aider à proposer des recommandations, nous avons identifié l'algorithme d'échantillonnage de Thompson (TS). Il s'agit d'un algorithme probabiliste appartenant à la catégorie des algorithmes d'apprentissage par renforcement. À l'instant $t$, TS choisit l'action $a_t$ d'un ensemble $A$ d'actions possibles, et obtient une récompense pour celle-ci. À $t+1$, une action $a_{t+1}$ est sélectionnée en tenant compte de la récompense précédente. L'objectif consiste à maximiser la récompense. Selon le principe bayésien, cette maximisation itérative est opérée en suivant une distribution de probabilité évoluant à chaque itération. Cette évolution peut être calculée selon la variante de Bernoulli où la récompense n'a que deux valeurs possibles 0 ou 1 (échec ou succès), ou selon une distribution \textit{Beta} définie sur l'intervalle $[0, 1]$ et calculée en fonction de deux valeurs $\alpha$ et $\beta$ \cite{9870279}.	9	9	Parmi les algorithmes les plus prometteurs pouvant aider à proposer des recommandations, nous avons identifié l'algorithme d'échantillonnage de Thompson (TS). Il s'agit d'un algorithme probabiliste appartenant à la catégorie des algorithmes d'apprentissage par renforcement. À l'instant $t$, TS choisit l'action $a_t$ d'un ensemble $A$ d'actions possibles, et obtient une récompense pour celle-ci. À $t+1$, une action $a_{t+1}$ est sélectionnée en tenant compte de la récompense précédente. L'objectif consiste à maximiser la récompense. Selon le principe bayésien, cette maximisation itérative est opérée en suivant une distribution de probabilité évoluant à chaque itération. Cette évolution peut être calculée selon la variante de Bernoulli où la récompense n'a que deux valeurs possibles 0 ou 1 (échec ou succès), ou selon une distribution \textit{Beta} définie sur l'intervalle $[0, 1]$ et calculée en fonction de deux valeurs $\alpha$ et $\beta$ \cite{9870279}.
	10	10
Ce chapitre est divisé en trois parties, la première partie présente un algorithme délivrant des recommandations en fonction des résultats produits par l'apprenant en temps réel. Une partie de cette proposition est publiée dans \cite{Soto2}. Cet algorithme permet l'adaptation automatique en temps réel d'une séance prédéterminée dans l'EIAH AI-VT. Nous considérons qu'elle intervient durant la phase de révision du cycle classique du raisonnement à partir de cas (RàPC). L'algorithme proposé est stochastique et il a été testé selon trois scénarios différents. Les résultats montrent de quelle manière AI-VT peut proposer des recommandations pertinentes selon les faiblesses identifiées de l'apprenant.	11	11	Ce chapitre est divisé en trois parties, la première partie présente un algorithme délivrant des recommandations en fonction des résultats produits par l'apprenant en temps réel. Une partie de cette proposition est publiée dans \cite{Soto2}. Cet algorithme permet l'adaptation automatique en temps réel d'une séance prédéterminée dans l'EIAH AI-VT. Nous considérons qu'elle intervient durant la phase de révision du cycle classique du raisonnement à partir de cas (RàPC). L'algorithme proposé est stochastique et il a été testé selon trois scénarios différents. Les résultats montrent de quelle manière AI-VT peut proposer des recommandations pertinentes selon les faiblesses identifiées de l'apprenant.
	12	12
La deuxième partie de ce chapitre montre l'intégration de tous les algorithmes présentés dans les chapitres précédents à AI-VT. L'algorithme intégré est appliqué au système AI-VT sur des données générées et des données réelles. Plusieurs types de test sont exécutés pour montrer que l'algorithme final permet en effet d'améliorer les capacités d'identification et d'adaptation. Les performances de ce nouveau algorithme sont comparées à celles d'autres algorithmes. Enfin, l'évolution de l'acquisition des connaissances induites par ces nouveaux algorithmes de recommandation stochastiques est analysée dans cette deuxième partie du présent chapitre.	13	13	La deuxième partie de ce chapitre montre l'intégration de tous les algorithmes présentés dans les chapitres précédents à AI-VT. L'algorithme intégré est appliqué au système AI-VT sur des données générées et des données réelles. Plusieurs types de test sont exécutés pour montrer que l'algorithme final permet en effet d'améliorer les capacités d'identification et d'adaptation. Les performances de ce nouveau algorithme sont comparées à celles d'autres algorithmes. Enfin, l'évolution de l'acquisition des connaissances induites par ces nouveaux algorithmes de recommandation stochastiques est analysée dans cette deuxième partie du présent chapitre.
	14	14
Pour terminer, dans la troisième partie de ce chapitre, nous présentons une évolution de ce système de recommandation intégrant le processus de Hawkes. L'intérêt de ce dernier réside dans le fait qu'il utilise une courbe d'oubli, nous permettant ainsi de tenir compte du fait que certaines connaissances et certains mécanismes doivent être rappelés aux apprenants. Cette troisième partie intègre une étude des performances du système de recommandation incluant ce processus stochastique de Hawkes.	15	15	Pour terminer, dans la troisième partie de ce chapitre, nous présentons une évolution de ce système de recommandation intégrant le processus de Hawkes. L'intérêt de ce dernier réside dans le fait qu'il utilise une courbe d'oubli, nous permettant ainsi de tenir compte du fait que certaines connaissances et certains mécanismes doivent être rappelés aux apprenants. Cette troisième partie intègre une étude des performances du système de recommandation incluant ce processus stochastique de Hawkes.
	16	16
\section{Système de recommandation stochastique fondé sur l'échantillonnage de Thompson}	17	17	\section{Système de recommandation stochastique fondé sur l'échantillonnage de Thompson}
\sectionmark{Système de recommandation fondé sur TS}	18	18	\sectionmark{Système de recommandation fondé sur TS}
	19	19
\subsection{Algorithme Proposé}	20	20	\subsection{Algorithme Proposé}
	21	21
L'algorithme proposé, en tant que système de recommandation, prend en compte les notes antérieures des apprenants pour estimer leurs connaissances et leur maîtrise des différentes compétences, sous-compétences et niveaux de complexité au sein du système AI-VT. Puis il adapte les séances pour maximiser l'acquisition des connaissances et la maîtrise des différents domaines contenus dans la même compétence définie.	22	22	L'algorithme proposé, en tant que système de recommandation, prend en compte les notes antérieures des apprenants pour estimer leurs connaissances et leur maîtrise des différentes compétences, sous-compétences et niveaux de complexité au sein du système AI-VT. Puis il adapte les séances pour maximiser l'acquisition des connaissances et la maîtrise des différents domaines contenus dans la même compétence définie.
	23	23
La famille de distributions de probabilité Beta est utilisée pour définir dynamiquement le niveau de complexité (équation \ref{eqBeta}) à proposer à l'apprenant. Cet algorithme permet de recommander des niveaux de complexité non contigus et dans lesquels des lacunes ont été détectées. Les paramètres initiaux des distributions de probabilité peuvent forcer le système à recommander des niveaux de complexité contigus (juste inférieur ou supérieur).	24	24	La famille de distributions de probabilité Beta est utilisée pour définir dynamiquement le niveau de complexité (équation \ref{eqBeta}) à proposer à l'apprenant. Cet algorithme permet de recommander des niveaux de complexité non contigus et dans lesquels des lacunes ont été détectées. Les paramètres initiaux des distributions de probabilité peuvent forcer le système à recommander des niveaux de complexité contigus (juste inférieur ou supérieur).
	25	25
\begin{equation}	26	26	\begin{equation}
B(x, \alpha, \beta) =	27	27	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\begin{cases}	28	28	\label{eqBeta}
\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta - 1}}{\int_0^1 u^{\alpha - 1}(1-u)^{\beta - 1}du} & si \; x \in [0, 1] \\	29
0&sinon	30
\end{cases}	31
\label{eqBeta}	32
\end{equation}	33	29	\end{equation}
	34	30
\begin{table}[!ht]	35	31	\begin{table}[!ht]
\centering	36	32	\centering
\begin{tabular}{ccc}	37	33	\begin{tabular}{ccc}
ID&Description&Domaine\\	38	34	ID&Description&Domaine\\
\hline	39	35	\hline
$c_n$&Niveaux de complexité&$\mathbb{N} \; \| \; c_n>0$\\	40	36	$c_n$&Niveaux de complexité&$\mathbb{N} \; \| \; c_n>0$\\
$g_m$&Valeur maximale dans l'échelle des notes& $\mathbb{N} \;\|\; g_m>0$ \\	41	37	$g_m$&Valeur maximale dans l'échelle des notes& $\mathbb{N} \;\|\; g_m>0$ \\
$g_t$&Seuil de notation &$(0, g_m) \in \mathbb{R}$\\	42	38	$g_t$&Seuil de notation &$(0, g_m) \in \mathbb{R}$\\
$s$&Nombre de parcours définis&$\mathbb{N} \; \| \; s>0$\\	43	39	$s$&Nombre de parcours définis&$\mathbb{N} \; \| \; s>0$\\
$s_c$&Parcours courant fixe défini&$[1, s] \in \mathbb{N}$\\	44	40	$s_c$&Parcours courant fixe défini&$[1, s] \in \mathbb{N}$\\
$\Delta s$&Pas pour les paramètres de la distribution bêta dans le parcours $s$ &$(0,1) \in \mathbb{R}$\\	45	41	$\Delta s$&Pas pour les paramètres de la distribution bêta dans le parcours $s$ &$(0,1) \in \mathbb{R}$\\
$t_m$&Valeur maximale du temps de réponse&$\mathbb{R} \; \| \; t_m>0$\\	46	42	$t_m$&Valeur maximale du temps de réponse&$\mathbb{R} \; \| \; t_m>0$\\
$g_{c}$&Note de l'apprenant à une question de complexité $c$&$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\	47	43	$g_{c}$&Note de l'apprenant à une question de complexité $c$&$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\
$ng_c$&Grade de l'apprenant avec pénalisation du temps &$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\	48	44	$ng_c$&Grade de l'apprenant avec pénalisation du temps &$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\
$t_{c}$&Le temps de réponse à une question de complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\	49	45	$t_{c}$&Le temps de réponse à une question de complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\
$ncl$&Nouveau niveau de complexité calculé&$\mathbb{N}$\\	50	46	$ncl$&Nouveau niveau de complexité calculé&$\mathbb{N}$\\
$\alpha_{c}$&Valeur de $\alpha$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \alpha_{c}>0$\\	51	47	$\alpha_{c}$&Valeur de $\alpha$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \alpha_{c}>0$\\
$\beta_{c}$&Valeur de $\beta$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \beta_{c}>0$\\	52	48	$\beta_{c}$&Valeur de $\beta$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \beta_{c}>0$\\
$\Delta \beta$&Pas initial du paramètre bêta&$\mathbb{N} \; \| \; \Delta \beta >0$\\	53	49	$\Delta \beta$&Pas initial du paramètre bêta&$\mathbb{N} \; \| \; \Delta \beta >0$\\
$\lambda$&Poids de la pénalisation temporelle&$(0,1) \in \mathbb{R}$\\	54	50	$\lambda$&Poids de la pénalisation temporelle&$(0,1) \in \mathbb{R}$\\
$G_c$&Ensemble de $d$ notes dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}^d \;, d\in \mathbb{N} \; \| \; d>0$\\	55	51	$G_c$&Ensemble de $d$ notes dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}^d \;, d\in \mathbb{N} \; \| \; d>0$\\
$x_c$&Notes moyennes normalisées&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\	56	52	$x_c$&Notes moyennes normalisées&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\
$n_c$&Nombre total de questions dans une séance&$\mathbb{N} \; \| \; n_c>0$\\	57	53	$n_c$&Nombre total de questions dans une séance&$\mathbb{N} \; \| \; n_c>0$\\
$ny_c$&Nombre de questions dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{N} \; \| \; 0<ny_c \le n_c$\\	58	54	$ny_c$&Nombre de questions dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{N} \; \| \; 0<ny_c \le n_c$\\
$y_c$&Proportion de questions dans le niveau de complexité $c$&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\	59	55	$y_c$&Proportion de questions dans le niveau de complexité $c$&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\
$r$&Valeur totale de la métrique définie pour l'adaptabilité&$[0, c_n] \in \mathbb{R}$\\	60	56	$r$&Valeur totale de la métrique définie pour l'adaptabilité&$[0, c_n] \in \mathbb{R}$\\
$sc$&Valeur totale de la métrique de similarité cosinus&$[-1, 1] \in \mathbb{R}$\\	61	57	$sc$&Valeur totale de la métrique de similarité cosinus&$[-1, 1] \in \mathbb{R}$\\
\end{tabular}	62	58	\end{tabular}
\caption{Variables et paramètres du système de recommandation proposé}	63	59	\caption{Variables et paramètres du système de recommandation proposé}
\label{tabPar}	64	60	\label{tabPar}
\end{table}	65	61	\end{table}
	66	62
Le tableau \ref{tabPar} présente les variables de l'algorithme de recommandation. Nous avons considéré que les notes $g_c$ obtenues au niveau de complexité $c$ tiennent compte du temps de réponse. C'est la raison pour laquelle, nous avons défini le grade de l'apprenant $ng_c$ au niveau de complexité $c$. Ce grade calculé selon l'équation \ref{eqsGT}, tient compte d'un poids de pénalisation temporelle $\lambda$.	67	63	Le tableau \ref{tabPar} présente les variables de l'algorithme de recommandation. Nous avons considéré que les notes $g_c$ obtenues au niveau de complexité $c$ tiennent compte du temps de réponse. C'est la raison pour laquelle, nous avons défini le grade de l'apprenant $ng_c$ au niveau de complexité $c$. Ce grade calculé selon l'équation \ref{eqsGT}, tient compte d'un poids de pénalisation temporelle $\lambda$.
	68	64
\begin{equation}	69	65	\begin{equation}
ng_c=g_c- \left(g_c * \lambda * \frac{t_c}{t_m} \right)	70	66	ng_c=g_c- \left(g_c * \lambda * \frac{t_c}{t_m} \right)
\label{eqsGT}	71	67	\label{eqsGT}
\end{equation}	72	68	\end{equation}
	73	69
Dans cet algorithme, la variable de seuil de grade $g_t$ détermine la variabilité de la distribution de probabilité pour chaque niveau de complexité. Les niveaux de complexité des exercices proposés à l'apprenant sont calculés par récompense inverse selon les équations \ref{eqgtc} et \ref{eqltc}. Chaque niveau de complexité est associé à une distribution de probabilité Beta avec des valeurs initiales $\alpha$ et $\beta$ prédéfinies.	74	70	Dans cet algorithme, la variable de seuil de grade $g_t$ détermine la variabilité de la distribution de probabilité pour chaque niveau de complexité. Les niveaux de complexité des exercices proposés à l'apprenant sont calculés par récompense inverse selon les équations \ref{eqgtc} et \ref{eqltc}. Chaque niveau de complexité est associé à une distribution de probabilité Beta avec des valeurs initiales $\alpha$ et $\beta$ prédéfinies.
	75	71
\begin{equation}	76	72	\begin{equation}
ng_c \ge g_t \rightarrow	77	73	ng_c \ge g_t \rightarrow
\begin{cases}	78	74	\begin{cases}
\beta_c=\beta_c+\Delta_s\\	79	75	\beta_c=\beta_c+\Delta_s\\
\beta_{c-1}=\beta_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\	80	76	\beta_{c-1}=\beta_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\
\alpha_{c+1}=\alpha_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}	81	77	\alpha_{c+1}=\alpha_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}
\end{cases}	82	78	\end{cases}
\label{eqgtc}	83	79	\label{eqgtc}
\end{equation}	84	80	\end{equation}
	85	81
\begin{equation}	86	82	\begin{equation}
ng_c < g_t \rightarrow	87	83	ng_c < g_t \rightarrow
\begin{cases}	88	84	\begin{cases}
\alpha_c=\alpha_c+\Delta_s\\	89	85	\alpha_c=\alpha_c+\Delta_s\\
\alpha_{c-1}=\alpha_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\	90	86	\alpha_{c-1}=\alpha_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\
\beta_{c+1}=\beta_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}	91	87	\beta_{c+1}=\beta_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}
\end{cases}	92	88	\end{cases}
\label{eqltc}	93	89	\label{eqltc}
\end{equation}	94	90	\end{equation}
	95	91
Pour chaque niveau de complexité $c$, $Beta(\alpha_c, \beta_c)$ fournit une distribution de probabilité $\theta_c$ dont nous calculons l'espérance $\mathbb{E}[\theta_c]$. Le nouveau niveau de complexité $ncl$ correspond à l'espérance maximale obtenue.	96	92	Pour chaque niveau de complexité $c$, $Beta(\alpha_c, \beta_c)$ fournit une distribution de probabilité $\theta_c$ dont nous calculons l'espérance $\mathbb{E}[\theta_c]$. Le nouveau niveau de complexité $ncl$ correspond à l'espérance maximale obtenue.
	97	93
Le détail des pas d'exécution de l'algorithme proposé sont dans l'algorithme \ref{alg2}.	98	94	Le détail des pas d'exécution de l'algorithme proposé sont dans l'algorithme \ref{alg2}.
	99	95
\begin{algorithm}	100	96	\begin{algorithm}
\caption{Algorithme de recommandation stochastique}	101	97	\caption{Algorithme de recommandation stochastique}
\begin{algorithmic}	102	98	\begin{algorithmic}
\State Initialisation de la distribution de probabilité	103	99	\State Initialisation de la distribution de probabilité
\For {\textbf{each} question $q$}	104	100	\For {\textbf{each} question $q$}
\State Soit le niveau de complexité $i$	105	101	\State Soit le niveau de complexité $i$
\State $ng_i=g_i- \left(g_i * \lambda * \frac{t_i}{t_m} \right)$ \Comment{eq \ref{eqsGT}}	106	102	\State $ng_i=g_i- \left(g_i * \lambda * \frac{t_i}{t_m} \right)$ \Comment{eq \ref{eqsGT}}
\State Calculs des paramètres $\alpha_i$ et $\beta_i$ \Comment{eq \ref{eqgtc} et eq \ref{eqltc}}	107	103	\State Calculs des paramètres $\alpha_i$ et $\beta_i$ \Comment{eq \ref{eqgtc} et eq \ref{eqltc}}
\State Choisir $\theta_c$ selon la distribution de probabilité Beta \Comment{$\forall c, \theta_c = Beta(\alpha_c, \beta_c)$}	108	104	\State Choisir $\theta_c$ selon la distribution de probabilité Beta \Comment{$\forall c, \theta_c = Beta(\alpha_c, \beta_c)$}
\State $ncl = max(\mathbb{E}[\theta_c]), \forall c$	109	105	\State $ncl = max(\mathbb{E}[\theta_c]), \forall c$
\EndFor	110	106	\EndFor
\end{algorithmic}	111	107	\end{algorithmic}
\label{alg2}	112	108	\label{alg2}
\end{algorithm}	113	109	\end{algorithm}
	114	110
\subsection{Résultats}	115	111	\subsection{Résultats}
	116	112
Le comportement du module de recommandation a été testé avec des données générées contenant les notes et les temps de réponse de mille apprenants pour cinq niveaux de complexité différents. Ces données sont décrites dans le tableau \ref{tabDataSet}. Les notes des apprenants sont générées selon la loi de probabilité logit-normale considérée comme la plus fidèle dans ce contexte par \cite{Arthurs}.	117	113	Le comportement du module de recommandation a été testé avec des données générées contenant les notes et les temps de réponse de mille apprenants pour cinq niveaux de complexité différents. Ces données sont décrites dans le tableau \ref{tabDataSet}. Les notes des apprenants sont générées selon la loi de probabilité logit-normale considérée comme la plus fidèle dans ce contexte par \cite{Arthurs}.
	118	114
L'ensemble de données générées résulte d'une simulation des notes obtenues par des apprenants virtuels ayant répondu à quinze questions réparties sur cinq niveaux de complexité. L'ensemble de données simule, via la distribution de probabilité logit-normale, une faiblesse dans chaque niveau de complexité pour 70\% des apprenants sur les dix premières questions. La difficulté de la complexité est quant à elle simulée en réduisant le score moyen et en augmentant la variance. La figure \ref{figData} montre la manière dont sont réparties les notes selon le niveau de complexité.	119	115	L'ensemble de données générées résulte d'une simulation des notes obtenues par des apprenants virtuels ayant répondu à quinze questions réparties sur cinq niveaux de complexité. L'ensemble de données simule, via la distribution de probabilité logit-normale, une faiblesse dans chaque niveau de complexité pour 70\% des apprenants sur les dix premières questions. La difficulté de la complexité est quant à elle simulée en réduisant le score moyen et en augmentant la variance. La figure \ref{figData} montre la manière dont sont réparties les notes selon le niveau de complexité.
	120	116
\begin{figure}	121	117	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/dataset.png}	122	118	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/dataset.png}
\caption{Répartition des notes générées selon le niveau de complexité.}	123	119	\caption{Répartition des notes générées selon le niveau de complexité.}
\label{figData}	124	120	\label{figData}
\end{figure}	125	121	\end{figure}
	126	122
\begin{table}[!ht]	127	123	\begin{table}[!ht]
\centering	128	124	\centering
\begin{tabular}{ccc}	129	125	\begin{tabular}{ccc}
ID&Description&Domaine\\	130	126	ID&Description&Domaine\\
\hline	131	127	\hline
$q_{c}$&Niveau de complexité de une question $q$&$[0, c_n] \in \mathbb{N}$\\	132	128	$q_{c}$&Niveau de complexité de une question $q$&$[0, c_n] \in \mathbb{N}$\\
$q_{g,c}$&Note obtenue $g$ pour la question $q$ avec complexité $c$ &$[0,g_m] \in \mathbb{R}$\\	133	129	$q_{g,c}$&Note obtenue $g$ pour la question $q$ avec complexité $c$ &$[0,g_m] \in \mathbb{R}$\\
$q_{t,c}$&Temps employé $t$ pour une question $q$ avec complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\	134	130	$q_{t,c}$&Temps employé $t$ pour une question $q$ avec complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\
\end{tabular}	135	131	\end{tabular}
\caption{Description des données utilisées pour l'évaluation.}	136	132	\caption{Description des données utilisées pour l'évaluation.}
\label{tabDataSet}	137	133	\label{tabDataSet}
\end{table}	138	134	\end{table}
	139	135
Toutes les valeurs des paramètres pour tester l'algorithme sont dans le tableau \ref{tabgm1}.	140	136	Toutes les valeurs des paramètres pour tester l'algorithme sont dans le tableau \ref{tabgm1}.
	141	137
\begin{table}[!ht]	142	138	\begin{table}[!ht]
\centering	143	139	\centering
\begin{tabular}{c\|cccccccccccccc}	144	140	\begin{tabular}{c\|cccccccccccccc}
ID&$c_n$&$g_m$&$t_m$&$s$&$s_c$&$\lambda$&$g_t$&$\alpha_{x,1}$&$\alpha_{x,y}$&$\beta_{x,1}$&$\Delta \beta_{x,y}$&$\Delta_1$&$\Delta_2$&$\Delta_3$\\	145	141	ID&$c_n$&$g_m$&$t_m$&$s$&$s_c$&$\lambda$&$g_t$&$\alpha_{x,1}$&$\alpha_{x,y}$&$\beta_{x,1}$&$\Delta \beta_{x,y}$&$\Delta_1$&$\Delta_2$&$\Delta_3$\\
\hline	146	142	\hline
Valeur&5&10&120&3&2&0.25&6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0.3 & 0.5 & 0.7\\	147	143	Valeur&5&10&120&3&2&0.25&6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0.3 & 0.5 & 0.7\\
\end{tabular}	148	144	\end{tabular}
\caption{Valeurs des paramètres pour les scénarios évalués}	149	145	\caption{Valeurs des paramètres pour les scénarios évalués}
\label{tabgm1}	150	146	\label{tabgm1}
\end{table}	151	147	\end{table}
	152	148
La figure \ref{figCmp2} permet de comparer les résultats obtenus par le module proposé, un système de recommandation déterministe et le système AI-VT initial lors d'un \textit{démarrage à froid} (c'est-à-dire sans données historiques ni informations préalables sur le profil de l'apprenant). Sur les graphiques de cette figure, les numéros des questions posées sont reportées en abscisse selon l'ordre chronologique d'apparition durant la séance d’entraînement, le niveau de complexité de chaque question posée est représenté par une couleur différente, et le nombre d'apprenants ayant eu des questions de ce niveau de complexité sont reportés en ordonnées. Ainsi, le système AI-VT initial (premier graphique de la figure) et le système de recommandation déterministe (deuxième graphique) ont tous deux proposé trois questions de niveau de complexité 0 (le plus faible) à tous les apprenants au démarrage de la séance d'entrainement. Nous pouvons remarquer que le système initial est resté sur ce niveau de complexité durant toute la séance (pour les 15 questions du test), tandis que le système de recommandation déterministe a progressivement mixé les complexités des questions posées. Le système de recommandation stochastique décrit dans ce chapitre a quant à lui mixé ces niveaux de complexité dès la première question.	153	149	La figure \ref{figCmp2} permet de comparer les résultats obtenus par le module proposé, un système de recommandation déterministe et le système AI-VT initial lors d'un \textit{démarrage à froid} (c'est-à-dire sans données historiques ni informations préalables sur le profil de l'apprenant). Sur les graphiques de cette figure, les numéros des questions posées sont reportées en abscisse selon l'ordre chronologique d'apparition durant la séance d’entraînement, le niveau de complexité de chaque question posée est représenté par une couleur différente, et le nombre d'apprenants ayant eu des questions de ce niveau de complexité sont reportés en ordonnées. Ainsi, le système AI-VT initial (premier graphique de la figure) et le système de recommandation déterministe (deuxième graphique) ont tous deux proposé trois questions de niveau de complexité 0 (le plus faible) à tous les apprenants au démarrage de la séance d'entrainement. Nous pouvons remarquer que le système initial est resté sur ce niveau de complexité durant toute la séance (pour les 15 questions du test), tandis que le système de recommandation déterministe a progressivement mixé les complexités des questions posées. Le système de recommandation stochastique décrit dans ce chapitre a quant à lui mixé ces niveaux de complexité dès la première question.
	154	150
Ainsi, les systèmes de recommandation permettent de proposer une adaptation progressive du niveau de complexité en fonction des notes obtenues. L'algorithme déterministe génère quatre grandes transitions avec un grand nombre d'apprenants dans les questions 5, 6, 8 et 12, toutes entre des niveaux de complexité contigus. La tendance est à la baisse pour les niveaux 0, 1 et 2 après la huitième question et à la hausse pour les niveaux 1 et 3. L'algorithme stochastique commence par proposer tous les niveaux de complexité possibles tout en privilégiant le niveau 0. Avec ce système, les transitions sont constantes mais pour un petit nombre d'apprenants. La tendance après la dixième question est à la baisse pour les niveaux 0 et 4 et à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3.	155	151	Ainsi, les systèmes de recommandation permettent de proposer une adaptation progressive du niveau de complexité en fonction des notes obtenues. L'algorithme déterministe génère quatre grandes transitions avec un grand nombre d'apprenants dans les questions 5, 6, 8 et 12, toutes entre des niveaux de complexité contigus. La tendance est à la baisse pour les niveaux 0, 1 et 2 après la huitième question et à la hausse pour les niveaux 1 et 3. L'algorithme stochastique commence par proposer tous les niveaux de complexité possibles tout en privilégiant le niveau 0. Avec ce système, les transitions sont constantes mais pour un petit nombre d'apprenants. La tendance après la dixième question est à la baisse pour les niveaux 0 et 4 et à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3.
	156	152
\begin{figure}	157	153	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp2.png}	158	154	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp2.png}
\caption{Niveaux de complexité des questions posées aux apprenants par les trois systèmes testés lors de la première séance avec un démarrage à froid (sans données initiales sur les apprenants). Gauche - RàPC, centre - recommandation déterministe (DM), droite - moyenne de 100 exécutions de recommandation stochastique (SM)}	159	155	\caption{Niveaux de complexité des questions posées aux apprenants par les trois systèmes testés lors de la première séance avec un démarrage à froid (sans données initiales sur les apprenants). Gauche - RàPC, centre - recommandation déterministe (DM), droite - moyenne de 100 exécutions de recommandation stochastique (SM)}
\label{figCmp2}	160	156	\label{figCmp2}
\end{figure}	161	157	\end{figure}
	162	158
Après la génération de la première séance, le système peut continuer avec une deuxième liste d'exercices. Pour cette partie des tests, les trois algorithmes ont été initialisés avec les mêmes données, et des valeurs égales pour tous les apprenants. La figure \ref{figCmp3} permet de voir que la première transition du système initial n'intervient qu'entre deux séances. Les transitions sont très lentes, et tous les apprenants doivent suivre un chemin identique même s'ils obtiennent des notes différentes au cours de celle-ci.	163	159	Après la génération de la première séance, le système peut continuer avec une deuxième liste d'exercices. Pour cette partie des tests, les trois algorithmes ont été initialisés avec les mêmes données, et des valeurs égales pour tous les apprenants. La figure \ref{figCmp3} permet de voir que la première transition du système initial n'intervient qu'entre deux séances. Les transitions sont très lentes, et tous les apprenants doivent suivre un chemin identique même s'ils obtiennent des notes différentes au cours de celle-ci.
	164	160
Pour leur part, les deux autres systèmes de recommandation testés proposent un fonctionnement différent. L'algorithme déterministe présente trois transitions aux questions 3, 5 et 12. Les tendances sont y relativement homogènes et progressives pour le niveau 3, très variables pour le niveau 2 et fortement décroissantes pour le niveau 0. L'algorithme stochastique quant à lui, propose des transitions douces mais il a tendance à toujours privilégier le niveau le plus faible. Nous pouvons observer une prépondérance du niveau 1 avec ce système. Ici, les niveaux 0 et 1 sont décroissants, le niveau 2 est statique et les niveaux 3 et 4 sont ascendants.	165	161	Pour leur part, les deux autres systèmes de recommandation testés proposent un fonctionnement différent. L'algorithme déterministe présente trois transitions aux questions 3, 5 et 12. Les tendances sont y relativement homogènes et progressives pour le niveau 3, très variables pour le niveau 2 et fortement décroissantes pour le niveau 0. L'algorithme stochastique quant à lui, propose des transitions douces mais il a tendance à toujours privilégier le niveau le plus faible. Nous pouvons observer une prépondérance du niveau 1 avec ce système. Ici, les niveaux 0 et 1 sont décroissants, le niveau 2 est statique et les niveaux 3 et 4 sont ascendants.
	166	162
\begin{figure}	167	163	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp3.png}	168	164	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp3.png}
\caption{Niveaux de complexité des questions posées aux apprenants par les trois systèmes testés lors de la deuxième séance. Gauche - RàPC, centre - recommandation déterministe (DM), droite - moyenne de 100 exécutions de recommandation stochastique (SM)}	169	165	\caption{Niveaux de complexité des questions posées aux apprenants par les trois systèmes testés lors de la deuxième séance. Gauche - RàPC, centre - recommandation déterministe (DM), droite - moyenne de 100 exécutions de recommandation stochastique (SM)}
\label{figCmp3}	170	166	\label{figCmp3}
\end{figure}	171	167	\end{figure}
	172	168
Les questions de la première et la deuxième séance étant de niveaux 0 et 1, le système a proposé des niveaux de complexité 1 ou 2 pour la troisième séance. La figure \ref{figCmp4} montre que le système initial est très lent à passer d'un niveau à l'autre. La figure \ref{figCmp3} permet de voir la première transition du système initial ne réagissant qu'aux notes obtenues dans les séances précédentes et non à celles de la séance en cours. Dans ce cas, l'algorithme de recommandation déterministe adopte la même stratégie et propose un changement brutal à tous les apprenants autour de la cinquième question. L'algorithme stochastique continue avec des changements progressifs tout en privilégiant le niveau 2.	173	169	Les questions de la première et la deuxième séance étant de niveaux 0 et 1, le système a proposé des niveaux de complexité 1 ou 2 pour la troisième séance. La figure \ref{figCmp4} montre que le système initial est très lent à passer d'un niveau à l'autre. La figure \ref{figCmp3} permet de voir la première transition du système initial ne réagissant qu'aux notes obtenues dans les séances précédentes et non à celles de la séance en cours. Dans ce cas, l'algorithme de recommandation déterministe adopte la même stratégie et propose un changement brutal à tous les apprenants autour de la cinquième question. L'algorithme stochastique continue avec des changements progressifs tout en privilégiant le niveau 2.
	174	170
\begin{figure}	175	171	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp4.png}	176	172	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp4.png}
\caption{Niveaux de complexité des questions posées aux apprenants par les trois systèmes testés lors de la troisième séance. Gauche - RàPC, centre - recommandation déterministe (DM), droite - moyenne de 100 exécutions de recommandation stochastique (SM)}	177	173	\caption{Niveaux de complexité des questions posées aux apprenants par les trois systèmes testés lors de la troisième séance. Gauche - RàPC, centre - recommandation déterministe (DM), droite - moyenne de 100 exécutions de recommandation stochastique (SM)}
\label{figCmp4}	178	174	\label{figCmp4}
\end{figure}	179	175	\end{figure}
	180	176
Pour comparer numériquement le système initial, l'algorithme déterministe et l'algorithme de recommandation proposé, un ensemble d'équations a été défini (équation \ref{eqMetric1} et équation \ref{eqMetric2}). Celles-ci permettent de décrire le système de recommandation idéal si l'objectif de l'apprenant est de suivre un apprentissage standard, c'est à dire le parcours où l'objectif est d'avancer dans l'acquisition de la connaissance et les niveaux de complexité. Une valeur est calculée pour chaque niveau de complexité en fonction de la moyenne des notes et du nombre de questions recommandées dans ce niveau de complexité. L'objectif de cette mesure est d'attribuer un score élevé aux systèmes de recommandation qui proposent plus d'exercices au niveau de complexité où l'apprenant a obtenu une note moyenne plus basse, lui permettant ainsi de renforcer ses connaissances pour ce niveau de complexité. De la même manière, il est attendu que le système de recommandation propose moins d'exercices aux niveaux de complexité pour lesquels les notes moyennes sont élevées, l'étudiant ayant acquis des connaissances suffisantes à ces niveaux de complexité. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent peu d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont faibles et, inversement, s'ils proposent beaucoup d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont élevées.	181	177	Pour comparer numériquement le système initial, l'algorithme déterministe et l'algorithme de recommandation proposé, un ensemble d'équations a été défini (équation \ref{eqMetric1} et équation \ref{eqMetric2}). Celles-ci permettent de décrire le système de recommandation idéal si l'objectif de l'apprenant est de suivre un apprentissage standard, c'est à dire le parcours où l'objectif est d'avancer dans l'acquisition de la connaissance et les niveaux de complexité. Une valeur est calculée pour chaque niveau de complexité en fonction de la moyenne des notes et du nombre de questions recommandées dans ce niveau de complexité. L'objectif de cette mesure est d'attribuer un score élevé aux systèmes de recommandation qui proposent plus d'exercices au niveau de complexité où l'apprenant a obtenu une note moyenne plus basse, lui permettant ainsi de renforcer ses connaissances pour ce niveau de complexité. De la même manière, il est attendu que le système de recommandation propose moins d'exercices aux niveaux de complexité pour lesquels les notes moyennes sont élevées, l'étudiant ayant acquis des connaissances suffisantes à ces niveaux de complexité. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent peu d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont faibles et, inversement, s'ils proposent beaucoup d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont élevées.
	182	178
\begin{equation}	183	179	\begin{equation}
%r_c=x+y-2xy	184	180	%r_c=x+y-2xy
%r_c=x^2+y^2-2x^2y^2	185	181	%r_c=x^2+y^2-2x^2y^2
rp_c(x)=e^{-2(x_{0,c}+x_{1,c}-1)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}	186	182	rp_c(x)=e^{-2(x_{0,c}+x_{1,c}-1)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}
\label{eqMetric1}	187	183	\label{eqMetric1}
\end{equation}	188	184	\end{equation}
	189	185
\begin{equation}	190	186	\begin{equation}
r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rp_c	191	187	r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rp_c
\label{eqMetric2}	192	188	\label{eqMetric2}
\end{equation}	193	189	\end{equation}
	194	190
Les propriétés de la métrique sont :	195	191	Les propriétés de la métrique sont :
\begin{itemize}	196	192	\begin{itemize}
\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rp_c(x)>0$	197	193	\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rp_c(x)>0$
\item $max(rp_c(x))=1; \; if \; x_{0,c}+x_{1,c}=1$	198	194	\item $max(rp_c(x))=1; \; if \; x_{0,c}+x_{1,c}=1$
\item $min(rp_c(x))=0.1353; \; if \; \left ( \sum_{i=1}^2 x_{i,c}=0 \; \lor \; \sum_{i=1}^2 x_{i,c} = 2 \right )$\\	199	195	\item $min(rp_c(x))=0.1353; \; if \; \left ( \sum_{i=1}^2 x_{i,c}=0 \; \lor \; \sum_{i=1}^2 x_{i,c} = 2 \right )$\\
\end{itemize}	200	196	\end{itemize}
	201	197
Dans l'équation \ref{eqMetric1}, $x_{0,c}$ est la moyenne normalisée des notes dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqXc}), et $x_{1,c}$ est le nombre normalisé de questions auxquelles des réponses ont été données dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqYc}). Ainsi, plus la valeur de $r$ est élevée, meilleure est la recommandation.	202	198	Dans l'équation \ref{eqMetric1}, $x_{0,c}$ est la moyenne normalisée des notes dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqXc}), et $x_{1,c}$ est le nombre normalisé de questions auxquelles des réponses ont été données dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqYc}). Ainsi, plus la valeur de $r$ est élevée, meilleure est la recommandation.
	203	199
\begin{equation}	204	200	\begin{equation}
x_{0,c}=\frac{<g_c>_{G_c}}{g_m}	205	201	x_{0,c}=\frac{<g_c>_{G_c}}{g_m}
\label{eqXc}	206	202	\label{eqXc}
\end{equation}	207	203	\end{equation}
	208	204
\begin{equation}	209	205	\begin{equation}
x_{1,c}=\frac{ny_c}{n_c}	210	206	x_{1,c}=\frac{ny_c}{n_c}
\label{eqYc}	211	207	\label{eqYc}
\end{equation}	212	208	\end{equation}
	213	209
La figure \ref{figMetric} représente la fonction $rp_c(x)$. La valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique étant égale à $1$, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est égale à 5.	214	210	La figure \ref{figMetric} représente la fonction $rp_c(x)$. La valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique étant égale à $1$, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est égale à 5.
	215	211
\begin{figure}	216	212	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric.png}	217	213	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric.png}
\caption{Fonction d'évaluation de la qualité de la recommandation pour un parcours standard}	218	214	\caption{Fonction d'évaluation de la qualité de la recommandation pour un parcours standard}
\label{figMetric}	219	215	\label{figMetric}
\end{figure}	220	216	\end{figure}
	221	217
Les résultats des calculs de la métrique $rp_c(x)$ établie pour le système initial et les deux algorithmes dans les trois scénarios testés sont présentés dans le tableau \ref{tabRM}.	222	218	Les résultats des calculs de la métrique $rp_c(x)$ établie pour le système initial et les deux algorithmes dans les trois scénarios testés sont présentés dans le tableau \ref{tabRM}.
	223	219
\begin{table}[!ht]	224	220	\begin{table}[!ht]
\centering	225	221	\centering
\begin{tabular}{cccccccc}	226	222	\begin{tabular}{cccccccc}
&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\	227	223	&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\
\hline	228	224	\hline
Test 1\\	229	225	Test 1\\
\hline	230	226	\hline
RàPC&0.5388&-&-&-&-&0.5388&10.776\\	231	227	RàPC&0.5388&-&-&-&-&0.5388&10.776\\
DM&0.8821&0.7282&\textbf{0.9072}&\textbf{0.8759}&-&3.3934&67.868\\	232	228	DM&0.8821&0.7282&\textbf{0.9072}&\textbf{0.8759}&-&3.3934&67.868\\
SM&\textbf{0.9463}&\textbf{0.8790}&0.7782&0.7108&0.6482&\textbf{3.9625}&\textbf{79.25}\\	233	229	SM&\textbf{0.9463}&\textbf{0.8790}&0.7782&0.7108&0.6482&\textbf{3.9625}&\textbf{79.25}\\
\hline	234	230	\hline
Test 2\\	235	231	Test 2\\
\hline	236	232	\hline
RàPC&0.9445&\textbf{0.9991}&-&-&-&1.9436&38.872\\	237	233	RàPC&0.9445&\textbf{0.9991}&-&-&-&1.9436&38.872\\
DM&-&0.9443&\textbf{0.8208}&\textbf{0.9623}&-&2.7274&54.548\\	238	234	DM&-&0.9443&\textbf{0.8208}&\textbf{0.9623}&-&2.7274&54.548\\
SM&\textbf{0.9688}&0.9861&0.8067&0.7161&0.6214&\textbf{4.0991}&\textbf{81.982}\\	239	235	SM&\textbf{0.9688}&0.9861&0.8067&0.7161&0.6214&\textbf{4.0991}&\textbf{81.982}\\
\hline	240	236	\hline
Test3\\	241	237	Test3\\
\hline	242	238	\hline
RàPC&-&0.8559&0.7377&-&-&1.5936&31.872	243	239	RàPC&-&0.8559&0.7377&-&-&1.5936&31.872
\\	244	240	\\
DM&-&-&0.5538&\textbf{0.7980}&-&1.3518&27.036\\	245	241	DM&-&-&0.5538&\textbf{0.7980}&-&1.3518&27.036\\
SM&0.9089&\textbf{0.9072}&\textbf{0.9339}&0.7382&0.6544&\textbf{4.1426}&\textbf{82.852}\\	246	242	SM&0.9089&\textbf{0.9072}&\textbf{0.9339}&0.7382&0.6544&\textbf{4.1426}&\textbf{82.852}\\
\end{tabular}	247	243	\end{tabular}
\caption{Résultats de la métrique $rp_c(x)$ (RàPC - Système sans module de recommandation, DM - Module de recommandation déterministe, SM - Module de recommandation stochastique)}	248	244	\caption{Résultats de la métrique $rp_c(x)$ (RàPC - Système sans module de recommandation, DM - Module de recommandation déterministe, SM - Module de recommandation stochastique)}
\label{tabRM}	249	245	\label{tabRM}
\end{table}	250	246	\end{table}
	251	247
Les équations \ref{eqMetricS1} et \ref{eqMetricS2} permettent de caractériser un apprentissage progressif ou de révision, où l'objectif est de renforcer la connaissance de chaque niveau de complexité avant d'avancer au suivant. Dans ce cas, un score élevé est attribué aux systèmes proposant plus d'exercices dans un niveau de complexité où les notes moyennes sont légèrement insuffisantes (4/10), plus flexibles avec des notes moyennes plus basses, et un petit nombre d'exercices pour des notes moyennes élevées. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent de nombreuses questions dans un niveau de complexité avec des notes moyennes élevées ou faibles.	252	248	Les équations \ref{eqMetricS1} et \ref{eqMetricS2} permettent de caractériser un apprentissage progressif ou de révision, où l'objectif est de renforcer la connaissance de chaque niveau de complexité avant d'avancer au suivant. Dans ce cas, un score élevé est attribué aux systèmes proposant plus d'exercices dans un niveau de complexité où les notes moyennes sont légèrement insuffisantes (4/10), plus flexibles avec des notes moyennes plus basses, et un petit nombre d'exercices pour des notes moyennes élevées. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent de nombreuses questions dans un niveau de complexité avec des notes moyennes élevées ou faibles.
	253	249
\begin{equation}	254	250	\begin{equation}
rs_c(x)=e^{-\frac{2}{100}(32x_{0,c}^2-28x_{0,c}+10x_{1,c}-4)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}	255	251	rs_c(x)=e^{-\frac{2}{100}(32x_{0,c}^2-28x_{0,c}+10x_{1,c}-4)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}
\label{eqMetricS1}	256	252	\label{eqMetricS1}
\end{equation}	257	253	\end{equation}
	258	254
\begin{equation}	259	255	\begin{equation}
r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rs_c	260	256	r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rs_c
\label{eqMetricS2}	261	257	\label{eqMetricS2}
\end{equation}	262	258	\end{equation}
	263	259
Les propriétés de la métrique sont :	264	260	Les propriétés de la métrique sont :
\begin{itemize}	265	261	\begin{itemize}
\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rs_c(x)>0$	266	262	\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rs_c(x)>0$
\item $max(rs_c(x))=1; \; if \; 16x_{0,c}^2-14x_{0,c}+5x_{1,c}-2=0$\\	267	263	\item $max(rs_c(x))=1; \; if \; 16x_{0,c}^2-14x_{0,c}+5x_{1,c}-2=0$\\
\end{itemize}	268	264	\end{itemize}
	269	265
La figure \ref{figMetric2} représente la fonction $rs_c(x)$. Comme pour $rp_c$, la valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique étant égale à $1$, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est égale à 5.	270	266	La figure \ref{figMetric2} représente la fonction $rs_c(x)$. Comme pour $rp_c$, la valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique étant égale à $1$, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est égale à 5.
	271	267
Les résultats du calcul des métriques pour le système initial et les deux algorithmes dans les trois scénarios définis sont présentés dans le tableau \ref{tabRM2}.	272	268	Les résultats du calcul des métriques pour le système initial et les deux algorithmes dans les trois scénarios définis sont présentés dans le tableau \ref{tabRM2}.
	273	269
\begin{figure}[!ht]	274	270	\begin{figure}[!ht]
\centering	275	271	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric2.png}	276	272	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric2.png}
\caption{Fonction d'évaluation de la qualité de la recommandation pour un apprentissage progressif.}	277	273	\caption{Fonction d'évaluation de la qualité de la recommandation pour un apprentissage progressif.}
\label{figMetric2}	278	274	\label{figMetric2}
\end{figure}	279	275	\end{figure}
	280	276
\begin{table}[!ht]	281	277	\begin{table}[!ht]
\centering	282	278	\centering
\begin{tabular}{cccccccc}	283	279	\begin{tabular}{cccccccc}
&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\	284	280	&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\
\hline	285	281	\hline
Séance 1\\	286	282	Séance 1\\
\hline	287	283	\hline
RàPC&\textbf{0.9979}&-&-&-&-&0.9979&19.96\\	288	284	RàPC&\textbf{0.9979}&-&-&-&-&0.9979&19.96\\
DM&0.8994&0.1908&\textbf{0.3773}&\textbf{0.2990}&-&1.7665&35.33\\	289	285	DM&0.8994&0.1908&\textbf{0.3773}&\textbf{0.2990}&-&1.7665&35.33\\
SM&0.8447&\textbf{0.3012}&0.2536&0.2030&\textbf{0.1709}&\textbf{1.7734}&\textbf{35.47}\\	290	286	SM&0.8447&\textbf{0.3012}&0.2536&0.2030&\textbf{0.1709}&\textbf{1.7734}&\textbf{35.47}\\
\hline	291	287	\hline
Séance 2\\	292	288	Séance 2\\
\hline	293	289	\hline
RàPC&\textbf{0.4724}&\textbf{0.7125}&-&-&-&1.1849&23.70\\	294	290	RàPC&\textbf{0.4724}&\textbf{0.7125}&-&-&-&1.1849&23.70\\
DM&-&0.6310&\textbf{0.3901}&\textbf{0.4253}&-&1.4464&28.93\\	295	291	DM&-&0.6310&\textbf{0.3901}&\textbf{0.4253}&-&1.4464&28.93\\
SM&0.2697&0.7089&0.2634&0.2026&\textbf{0.1683}&\textbf{1.6129}&\textbf{32.26}\\	296	292	SM&0.2697&0.7089&0.2634&0.2026&\textbf{0.1683}&\textbf{1.6129}&\textbf{32.26}\\
\hline	297	293	\hline
Séance 3\\	298	294	Séance 3\\
\hline	299	295	\hline
RàPC&-&\textbf{0.9179}&0.2692&-&-&1.1871&23.74	300	296	RàPC&-&\textbf{0.9179}&0.2692&-&-&1.1871&23.74
\\	301	297	\\
DM&-&-&0.2236&\textbf{0.9674}&-&1.191&23.82\\	302	298	DM&-&-&0.2236&\textbf{0.9674}&-&1.191&23.82\\
SM&0.1873&0.3038&\textbf{0.6345}&0.2394&\textbf{0.1726}&\textbf{1.5376}&\textbf{30.75}\\	303	299	SM&0.1873&0.3038&\textbf{0.6345}&0.2394&\textbf{0.1726}&\textbf{1.5376}&\textbf{30.75}\\
\end{tabular}	304	300	\end{tabular}
\caption{Évaluation des recommandations proposées selon $rs_c(x)$ par les différents systèmes de recommandation testés : RàPC - Système sans module de recommandation, DM - Algorithme deterministique, SM - Algorithme stochastique}	305	301	\caption{Évaluation des recommandations proposées selon $rs_c(x)$ par les différents systèmes de recommandation testés : RàPC - Système sans module de recommandation, DM - Algorithme deterministique, SM - Algorithme stochastique}
\label{tabRM2}	306	302	\label{tabRM2}
\end{table}	307	303	\end{table}
	308	304
En complément, le tableau \ref{tabCS} présente les similarités entre toutes les recommandations faites aux apprenants par les trois systèmes et les trois séances d'entrainement. Pour ce faire, nous avons choisi d'appliquer l'équation \ref{eqCS} permettant de calculer une similarité cosinus entre deux vecteurs $A$ et $B$.	309	305	En complément, le tableau \ref{tabCS} présente les similarités entre toutes les recommandations faites aux apprenants par les trois systèmes et les trois séances d'entrainement. Pour ce faire, nous avons choisi d'appliquer l'équation \ref{eqCS} permettant de calculer une similarité cosinus entre deux vecteurs $A$ et $B$.
	310	306
\begin{equation}	311	307	\begin{equation}
sc=\frac{\sum_{i=1}^n A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2}}	312	308	sc=\frac{\sum_{i=1}^n A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2}}
\label{eqCS}	313	309	\label{eqCS}
\end{equation}	314	310	\end{equation}
	315	311
\begin{table}[!ht]	316	312	\begin{table}[!ht]
\centering	317	313	\centering
\begin{tabular}{cccc}	318	314	\begin{tabular}{cccc}
Système de recommandation & Séance 1 & Séance 2 & Séance 3\\	319	315	Système de recommandation & Séance 1 & Séance 2 & Séance 3\\
\hline	320	316	\hline
RàPC&1&1&1\\	321	317	RàPC&1&1&1\\
DM&0.9540&0.9887&0.9989\\	322	318	DM&0.9540&0.9887&0.9989\\
SM&\textbf{0.8124}&\textbf{0.8856}&\textbf{0.9244}\\	323	319	SM&\textbf{0.8124}&\textbf{0.8856}&\textbf{0.9244}\\
\end{tabular}	324	320	\end{tabular}
\caption{Moyenne de la diversité des propositions pour tous les apprenants. Une valeur plus faible représente une plus grande diversité. (RàPC - Système sans module de recommandation, DM - Module deterministe, SM - Module stochastique)}	325	321	\caption{Moyenne de la diversité des propositions pour tous les apprenants. Une valeur plus faible représente une plus grande diversité. (RàPC - Système sans module de recommandation, DM - Module deterministe, SM - Module stochastique)}
\label{tabCS}	326	322	\label{tabCS}
\end{table}	327	323	\end{table}
	328	324
\subsection{Discussion et Conclusion}	329	325	\subsection{Discussion et Conclusion}
Avec la génération d'exercices par le système de RàPC initial, AI-VT propose les mêmes exercices à tous les apprenants, et l'évolution des niveaux de complexité est très lente, un changement toutes les trois ou quatre séances environ. En effet, le système ne prend pas en compte les notes obtenues pendant la séance. Les systèmes intégrant l'un des modules de recommandation testés sont plus dynamiques et les évolutions sont plus rapides. En considérant les notes des apprenants, l'algorithme déterministe suggère des changements de niveaux à un grand nombre d'apprenants de manière soudaine, tandis que l'algorithme stochastique est plus axé sur la personnalisation individuelle et les changements de niveau de complexité sont produits pour un petit nombre d'apprenants. Les deux modules de recommandation proposés ont la capacité de détecter les faiblesses des apprenants et d'adapter la séance à leurs besoins particuliers.	330	326	Avec la génération d'exercices par le système de RàPC initial, AI-VT propose les mêmes exercices à tous les apprenants, et l'évolution des niveaux de complexité est très lente, un changement toutes les trois ou quatre séances environ. En effet, le système ne prend pas en compte les notes obtenues pendant la séance. Les systèmes intégrant l'un des modules de recommandation testés sont plus dynamiques et les évolutions sont plus rapides. En considérant les notes des apprenants, l'algorithme déterministe suggère des changements de niveaux à un grand nombre d'apprenants de manière soudaine, tandis que l'algorithme stochastique est plus axé sur la personnalisation individuelle et les changements de niveau de complexité sont produits pour un petit nombre d'apprenants. Les deux modules de recommandation proposés ont la capacité de détecter les faiblesses des apprenants et d'adapter la séance à leurs besoins particuliers.
	331	327
Les données générées ont permis de simuler diverses situations avec les notes de mille apprenants, permettant ainsi d'évaluer le comportement des systèmes de recommandation avec différentes configurations.	332	328	Les données générées ont permis de simuler diverses situations avec les notes de mille apprenants, permettant ainsi d'évaluer le comportement des systèmes de recommandation avec différentes configurations.
	333	329
Les résultats numériques montrent que les distributions des questions dans une séance par les deux modules de recommandation sont différentes bien que la tendance générale soit similaire. Les modules de recommandation proposés tentent de répartir les questions dans tous les niveaux de complexité définis. Globalement, le module de recommandation stochastique a obtenu un meilleur score. En comparaison du système initial, les modules de recommandation (déterministe et stochastique) proposent 15\% à 68\% d'adaptations de la complexité pour tous les niveaux. Pour cette raison, l'approche stochastique sera préférée à l'approche déterministe dans la suite des travaux de recherche.	334	330	Les résultats numériques montrent que les distributions des questions dans une séance par les deux modules de recommandation sont différentes bien que la tendance générale soit similaire. Les modules de recommandation proposés tentent de répartir les questions dans tous les niveaux de complexité définis. Globalement, le module de recommandation stochastique a obtenu un meilleur score. En comparaison du système initial, les modules de recommandation (déterministe et stochastique) proposent 15\% à 68\% d'adaptations de la complexité pour tous les niveaux. Pour cette raison, l'approche stochastique sera préférée à l'approche déterministe dans la suite des travaux de recherche.
	335	331
Selon la métrique de la similarité cosinus, le module de recommandation stochastique augmente la diversité des propositions par rapport au système initial dans les trois séances d'entrainement testées, ce qui indique qu'en plus d'atteindre l'adaptabilité, des propositions personnalisées sont générées tout en maintenant l'objectif de progression des niveaux de compétence des apprenants. La diversité des propositions est une caractéristique essentielle de l'algorithme de recommandation dans ses deux versions.	336	332	Selon la métrique de la similarité cosinus, le module de recommandation stochastique augmente la diversité des propositions par rapport au système initial dans les trois séances d'entrainement testées, ce qui indique qu'en plus d'atteindre l'adaptabilité, des propositions personnalisées sont générées tout en maintenant l'objectif de progression des niveaux de compétence des apprenants. La diversité des propositions est une caractéristique essentielle de l'algorithme de recommandation dans ses deux versions.
	337	333
Les modules de recommandation sont un élément essentiel pour certains EIAH car ils aident à guider le processus d'apprentissage individuel. Ils permettent également d'identifier les faiblesses et de réorienter le processus complet afin d'améliorer les connaissances et les compétences. Les deux modules de recommandation proposés peuvent détecter en temps réel les faiblesses de l'apprenant et tentent de réorienter la séance vers le niveau de complexité le plus adapté. Même si l'ensemble des données générées est une simulation de temps de réponse et de notes fictives d'apprenants fictifs, les tests démontrent la flexibilité et la robustesse des modules de recommandation proposés : les données relatives aux apprenants présentent en effet une grande diversité et obligent le système à s'adapter à différents types de configuration. Par conséquent, il est possible de conclure que les modules de recommandation proposés ont la capacité de fonctionner dans différentes situations et de proposer des chemins alternatifs et personnalisés pour améliorer le processus d'apprentissage global.	338	334	Les modules de recommandation sont un élément essentiel pour certains EIAH car ils aident à guider le processus d'apprentissage individuel. Ils permettent également d'identifier les faiblesses et de réorienter le processus complet afin d'améliorer les connaissances et les compétences. Les deux modules de recommandation proposés peuvent détecter en temps réel les faiblesses de l'apprenant et tentent de réorienter la séance vers le niveau de complexité le plus adapté. Même si l'ensemble des données générées est une simulation de temps de réponse et de notes fictives d'apprenants fictifs, les tests démontrent la flexibilité et la robustesse des modules de recommandation proposés : les données relatives aux apprenants présentent en effet une grande diversité et obligent le système à s'adapter à différents types de configuration. Par conséquent, il est possible de conclure que les modules de recommandation proposés ont la capacité de fonctionner dans différentes situations et de proposer des chemins alternatifs et personnalisés pour améliorer le processus d'apprentissage global.
	339	335
\section{ESCBR-SMA et échantillonnage de Thompson}	340	336	\section{ESCBR-SMA et échantillonnage de Thompson}
\sectionmark{ESCBR-SMA et TS}	341	337	\sectionmark{ESCBR-SMA et TS}
	342	338
La section précédente a démontré l'intérêt de l'intégration d'un module de recommandation afin de proposer des exercices d'un niveau de difficulté adapté aux besoins de l'apprenant en fonction des difficultés décelées au cours de la séance d'entraînement. Le système AI-VT initial fondé sur le cycle du raisonnement à partir de cas et ne proposant que des adaptations entre deux séances d’entraînement consécutives, a été supplanté par l'intégration de modules de recommandation utilisés durant la phase de révision du cycle classique du RàPC. Les deux modules de recommandation testés dans la section précédente étaient l'un déterministe, l'autre stochastique.	343	339	La section précédente a démontré l'intérêt de l'intégration d'un module de recommandation afin de proposer des exercices d'un niveau de difficulté adapté aux besoins de l'apprenant en fonction des difficultés décelées au cours de la séance d'entraînement. Le système AI-VT initial fondé sur le cycle du raisonnement à partir de cas et ne proposant que des adaptations entre deux séances d’entraînement consécutives, a été supplanté par l'intégration de modules de recommandation utilisés durant la phase de révision du cycle classique du RàPC. Les deux modules de recommandation testés dans la section précédente étaient l'un déterministe, l'autre stochastique.
	344	340
La section précédente a également démontré qu'il était possible et intéressant que les niveaux de complexité des exercices proposés puissent suivre des fonctions permettant de les faire fluctuer de manière progressive au cours de la séance, et ce afin que les apprenants ne soient pas confrontés à des difficultés changeant de manière trop abrupte durant l'entraînement. Cette étude nous amène donc à considérer la résolution de la génération d'une séance d'exercices sous l'angle de la régression. Nous proposons donc dans cette partie de montrer de quelle manière nous avons intégré et vérifié l'intérêt des outils définis dans le chapitre précédent dans l'EIAH AI-VT.	345	341	La section précédente a également démontré qu'il était possible et intéressant que les niveaux de complexité des exercices proposés puissent suivre des fonctions permettant de les faire fluctuer de manière progressive au cours de la séance, et ce afin que les apprenants ne soient pas confrontés à des difficultés changeant de manière trop abrupte durant l'entraînement. Cette étude nous amène donc à considérer la résolution de la génération d'une séance d'exercices sous l'angle de la régression. Nous proposons donc dans cette partie de montrer de quelle manière nous avons intégré et vérifié l'intérêt des outils définis dans le chapitre précédent dans l'EIAH AI-VT.
	346	342
\subsection{Concepts Associés}	347	343	\subsection{Concepts Associés}
	348	344
Cette section présente les concepts, les définitions et les algorithmes nécessaires à la compréhension du module proposé. Le paradigme fondamental utilisé dans ce travail est le raisonnement à partir de cas (RàPC), qui permet d'exploiter les connaissances acquises et l'expérience accumulée pour résoudre un problème spécifique. L'idée principale est de rechercher des situations antérieures similaires et d'utiliser l'expérience acquise pour résoudre de nouveaux problèmes. Le RàPC suit classiquement un cycle de quatre étapes pour améliorer la solution d'inférence \cite{jmse11050890}.	349	345	Cette section présente les concepts, les définitions et les algorithmes nécessaires à la compréhension du module proposé. Le paradigme fondamental utilisé dans ce travail est le raisonnement à partir de cas (RàPC), qui permet d'exploiter les connaissances acquises et l'expérience accumulée pour résoudre un problème spécifique. L'idée principale est de rechercher des situations antérieures similaires et d'utiliser l'expérience acquise pour résoudre de nouveaux problèmes. Le RàPC suit classiquement un cycle de quatre étapes pour améliorer la solution d'inférence \cite{jmse11050890}.
	350	346
L'un des algorithmes les plus couramment utilisés dans les EIAH pour adapter le contenu et estimer la progression du niveau de connaissance des apprenants est le BKT (\textit{Bayesian Knowledge Tracing}) \cite{ZHANG2018189}. Cet algorithme utilise quatre paramètres pour estimer la progression des connaissances. $P(k)$ estime la probabilité de connaissance dans une compétence spécifique. $P(w)$, est la probabilité que l'apprenant démontre ses connaissances. $P(s)$, est la probabilité que l'apprenant fasse une erreur. $P(g)$, est la probabilité que l'apprenant ait deviné une réponse. La valeur estimée de la connaissance est mise à jour selon les équations \ref{eqbkt1}, \ref{eqbkt2} et \ref{eqbkt3}. Si la réponse de l'apprenant est correcte, l'équation \ref{eqbkt1} est utilisée, mais si la réponse est incorrecte, l'équation \ref{eqbkt2} est utilisée.	351	347	L'un des algorithmes les plus couramment utilisés dans les EIAH pour adapter le contenu et estimer la progression du niveau de connaissance des apprenants est le BKT (\textit{Bayesian Knowledge Tracing}) \cite{ZHANG2018189}. Cet algorithme utilise quatre paramètres pour estimer la progression des connaissances. $P(k)$ estime la probabilité de connaissance dans une compétence spécifique. $P(w)$, est la probabilité que l'apprenant démontre ses connaissances. $P(s)$, est la probabilité que l'apprenant fasse une erreur. $P(g)$, est la probabilité que l'apprenant ait deviné une réponse. La valeur estimée de la connaissance est mise à jour selon les équations \ref{eqbkt1}, \ref{eqbkt2} et \ref{eqbkt3}. Si la réponse de l'apprenant est correcte, l'équation \ref{eqbkt1} est utilisée, mais si la réponse est incorrecte, l'équation \ref{eqbkt2} est utilisée.
	352	348
\begin{equation}	353	349	\begin{equation}
P(k_{t-1}\|Correct_t)=\frac{P(k_{t-1})(1-P(s))}{P(k_{t-1})(1-P(s))+(1-P(k_{t-1}))P(g)}	354	350	P(k_{t-1}\|Correct_t)=\frac{P(k_{t-1})(1-P(s))}{P(k_{t-1})(1-P(s))+(1-P(k_{t-1}))P(g)}
\label{eqbkt1}	355	351	\label{eqbkt1}
\end{equation}	356	352	\end{equation}
	357	353
\begin{equation}	358	354	\begin{equation}
P(k_{t-1}\|Incorrect_t)=\frac{P(k_{t-1})P(s)}{P(k_{t-1})(P(s))+(1-P(k_{t-1}))(1-P(g))}	359	355	P(k_{t-1}\|Incorrect_t)=\frac{P(k_{t-1})P(s)}{P(k_{t-1})(P(s))+(1-P(k_{t-1}))(1-P(g))}
\label{eqbkt2}	360	356	\label{eqbkt2}
\end{equation}	361	357	\end{equation}
	362	358
\begin{equation}	363	359	\begin{equation}
P(k_{t})=P(k_{t-1}\|evidence_t)+(1-P(k_{t-1}\|evidence_t))P(w)	364	360	P(k_{t})=P(k_{t-1}\|evidence_t)+(1-P(k_{t-1}\|evidence_t))P(w)
\label{eqbkt3}	365	361	\label{eqbkt3}
\end{equation}	366	362	\end{equation}
	367	363
Le module de recommandation proposé, associé à AI-VT, est fondé sur le paradigme de l'apprentissage par renforcement. L'apprentissage par renforcement est une technique d'apprentissage automatique qui permet, par le biais d'actions et de récompenses, d'améliorer les connaissances du système sur une tâche spécifique \cite{NEURIPS2023_9d8cf124}. Nous nous intéressons ici plus particulièrement à l'échantillonnage de Thompson, qui, par le biais d'une distribution de probabilité initiale (distribution a priori) et d'un ensemble de règles de mise à jour prédéfinies, peut adapter et améliorer les estimations initiales d'un processus \cite{pmlr-v238-ou24a}. La distribution de probabilité initiale est généralement définie comme une distribution spécifique de la famille des distributions Beta (équation \ref{fbeta}) avec des valeurs initiales prédéterminées pour $\alpha$ et $\beta$ \cite{math12111758}, \cite{NGUYEN2024111566}.	368	364	Le module de recommandation proposé, associé à AI-VT, est fondé sur le paradigme de l'apprentissage par renforcement. L'apprentissage par renforcement est une technique d'apprentissage automatique qui permet, par le biais d'actions et de récompenses, d'améliorer les connaissances du système sur une tâche spécifique \cite{NEURIPS2023_9d8cf124}. Nous nous intéressons ici plus particulièrement à l'échantillonnage de Thompson, qui, par le biais d'une distribution de probabilité initiale (distribution a priori) et d'un ensemble de règles de mise à jour prédéfinies, peut adapter et améliorer les estimations initiales d'un processus \cite{pmlr-v238-ou24a}. La distribution de probabilité initiale est généralement définie comme une distribution spécifique de la famille des distributions Beta (équation \ref{fbeta}) avec des valeurs initiales prédéterminées pour $\alpha$ et $\beta$ \cite{math12111758}, \cite{NGUYEN2024111566}.
	369	365
%\begin{equation}	370	366	%\begin{equation}
% Beta(x,\alpha,\beta)=\begin{cases}	371	367	% Beta(x,\alpha,\beta)=\begin{cases}
% \frac{(x^{\alpha -1})(1-x)^{\beta -1}}{\int_0^1(u^{\alpha -1})(1-u)^{\beta -1} du}&x \in [0, 1]\\	372	368	% \frac{(x^{\alpha -1})(1-x)^{\beta -1}}{\int_0^1(u^{\alpha -1})(1-u)^{\beta -1} du}&x \in [0, 1]\\
% 0&otherwise	373	369	% 0&otherwise
% \end{cases}	374	370	% \end{cases}
%\end{equation}	375	371	%\end{equation}
	376	372
\begin{equation}	377	373	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}	378	374	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\label{fbeta}	379	375	\label{fbeta}
\end{equation}	380	376	\end{equation}
	381	377
En utilisant la définition formelle de la fonction $\Gamma$ (équation \ref{eqGamma1}) et en remplaçant certaines variables, une nouvelle expression de la fonction Beta est obtenue (équation \ref{f2beta}).	382	378	En utilisant la définition formelle de la fonction $\Gamma$ (équation \ref{eqGamma1}) et en remplaçant certaines variables, une nouvelle expression de la fonction Beta est obtenue (équation \ref{f2beta}).
	383	379
\begin{equation}	384	380	\begin{equation}
\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x} x^{z-1} dx	385	381	\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x} x^{z-1} dx
\label{eqGamma1}	386	382	\label{eqGamma1}
\end{equation}	387	383	\end{equation}
	388	384
\begin{equation}	389	385	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_0^\infty e^{-u} u^{\alpha-1}du\int_0^\infty e^{-v} v^{\beta-1}dv}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}	390	386	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_0^\infty e^{-u} u^{\alpha-1}du\int_0^\infty e^{-v} v^{\beta-1}dv}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\label{f2beta}	391	387	\label{f2beta}
\end{equation}	392	388	\end{equation}
	393	389
En exprimant les deux intégrales du dénominateur comme une seule intégrale, l'équation \ref{f3Beta} est obtenue.	394	390	En exprimant les deux intégrales du dénominateur comme une seule intégrale, l'équation \ref{f3Beta} est obtenue.
	395	391
\begin{equation}	396	392	\begin{equation}
\int_{u=0}^{\infty}\int_{v=0}^\infty e^{-u-v} u^{\alpha-1} v^{\beta-1}du dv	397	393	\int_{u=0}^{\infty}\int_{v=0}^\infty e^{-u-v} u^{\alpha-1} v^{\beta-1}du dv
\label{f3Beta}	398	394	\label{f3Beta}
\end{equation}	399	395	\end{equation}
	400	396
$u=st$, $v=s(1-t)$, $s=u+v$ et $t=u/(u+v)$ sont ensuite remplacées par le résultat du Jacobien \ref{eqJac}, menant ainsi à l'expression finale définie par l'équation \ref{f4Beta}.	401	397	$u=st$, $v=s(1-t)$, $s=u+v$ et $t=u/(u+v)$ sont ensuite remplacées par le résultat du Jacobien \ref{eqJac}, menant ainsi à l'expression finale définie par l'équation \ref{f4Beta}.
	402	398
\begin{equation}	403	399	\begin{equation}
\left (	404	400	\left (
\begin{matrix}	405	401	\begin{matrix}
\frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial s}\\	406	402	\frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial s}\\
\frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial s}\\	407	403	\frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial s}\\
\end{matrix}	408	404	\end{matrix}
\right ) =	409	405	\right ) =
\left (	410	406	\left (
\begin{matrix}	411	407	\begin{matrix}
sdt & tds \\	412	408	sdt & tds \\
-sdt & (1-t)ds\\	413	409	-sdt & (1-t)ds\\
\end{matrix}	414	410	\end{matrix}
\right ) = s \; dtds	415	411	\right ) = s \; dtds
\label{eqJac}	416	412	\label{eqJac}
\end{equation}	417	413	\end{equation}
	418	414
\begin{equation}	419	415	\begin{equation}
\int_{s=0}^\infty \int_{t=0}^1 e^{-s}(st)^{\alpha-1}(s(1-t))^{\beta-1}s \; dsdt	420	416	\int_{s=0}^\infty \int_{t=0}^1 e^{-s}(st)^{\alpha-1}(s(1-t))^{\beta-1}s \; dsdt
\label{f4Beta}	421	417	\label{f4Beta}
\end{equation}	422	418	\end{equation}
	423	419
Viennent ensuite les équations \ref{f5Beta} et \ref{f6Beta} en exprimant les intégrales en fonction des variables de substitution indépendantes $s$ et $t$.	424	420	Viennent ensuite les équations \ref{f5Beta} et \ref{f6Beta} en exprimant les intégrales en fonction des variables de substitution indépendantes $s$ et $t$.
	425	421
\begin{equation}	426	422	\begin{equation}
\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt	427	423	\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
\label{f5Beta}	428	424	\label{f5Beta}
\end{equation}	429	425	\end{equation}
	430	426
\begin{equation}	431	427	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt	432	428	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}	433	429	}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\label{f6Beta}	434	430	\label{f6Beta}
\end{equation}	435	431	\end{equation}
	436	432
Finalement, la famille de fonctions de distribution Beta peut être calculée selon l'équation \ref{f7Beta}.	437	433	Finalement, la famille de fonctions de distribution Beta peut être calculée selon l'équation \ref{f7Beta}.
	438	434
\begin{equation}	439	435	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{\int_{0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt	440	436	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{\int_{0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
}	441	437	}
\label{f7Beta}	442	438	\label{f7Beta}
\end{equation}	443	439	\end{equation}
	444	440
L'évolution de l'algorithme de recommandation TS résulte du changement des distributions de probabilité. Il est à noter qu'au moment de quantifier l'évolution, le changement et la variabilité doivent être calculés en fonction du temps. Les distributions de probabilités peuvent être comparées pour déterminer leur degré de similitude.	445	441	L'évolution de l'algorithme de recommandation TS résulte du changement des distributions de probabilité. Il est à noter qu'au moment de quantifier l'évolution, le changement et la variabilité doivent être calculés en fonction du temps. Les distributions de probabilités peuvent être comparées pour déterminer leur degré de similitude.
	446	442
Par ailleurs, l'apprentissage automatique utilise la divergence de Kullback-Liebler, qui décrit l'entropie relative de deux distributions de probabilités. Cette fonction est fondée sur le concept d'entropie et le résultat peut être interprété comme la quantité d'informations nécessaires pour obtenir la distribution de probabilité $q$ à partir de la distribution de probabilité $p$. Bien que largement utilisée, la divergence de Kullback-Liebler (équation \ref{dkl}) présente toutefois l'inconvénient de ne pas être une mesure symétrique car elle ne satisfait pas à l'inégalité triangulaire et n'est pas bornée \cite{Li_2024}. Pour remédier à cette difficulté, il est possible d'utiliser la divergence de Jensen-Shannon.	447	443	Par ailleurs, l'apprentissage automatique utilise la divergence de Kullback-Liebler, qui décrit l'entropie relative de deux distributions de probabilités. Cette fonction est fondée sur le concept d'entropie et le résultat peut être interprété comme la quantité d'informations nécessaires pour obtenir la distribution de probabilité $q$ à partir de la distribution de probabilité $p$. Bien que largement utilisée, la divergence de Kullback-Liebler (équation \ref{dkl}) présente toutefois l'inconvénient de ne pas être une mesure symétrique car elle ne satisfait pas à l'inégalité triangulaire et n'est pas bornée \cite{Li_2024}. Pour remédier à cette difficulté, il est possible d'utiliser la divergence de Jensen-Shannon.
	448	444
\begin{equation}	449	445	\begin{equation}
D_{KL}(p(x),q(x))=\int_{-\infty}^{\infty}p(x) log \left(\frac{p(x)}{q(x)} \right)dx	450	446	D_{KL}(p(x),q(x))=\int_{-\infty}^{\infty}p(x) log \left(\frac{p(x)}{q(x)} \right)dx
\label{dkl}	451	447	\label{dkl}
\end{equation}	452	448	\end{equation}
	453	449
La divergence de Jenser-Shannon est fondée sur la divergence de Kullback-Liebler. Une distribution de probabilité auxiliaire $m$ est créée dont la définition est fondée sur les distributions initiales $p$ et $q$ \cite{Kim2024}. L'équation \ref{djs} montre la définition formelle de la divergence de Jensen-Shannon, où $m(x)$ est une distribution de mélange de probabilités fondée sur $p(x)$ et $q(x)$. Celle-ci est calculée selon l'équation \ref{djs2}. Les distributions de probabilité à comparer doivent être continues et définies dans le même domaine.	454	450	La divergence de Jenser-Shannon est fondée sur la divergence de Kullback-Liebler. Une distribution de probabilité auxiliaire $m$ est créée dont la définition est fondée sur les distributions initiales $p$ et $q$ \cite{Kim2024}. L'équation \ref{djs} montre la définition formelle de la divergence de Jensen-Shannon, où $m(x)$ est une distribution de mélange de probabilités fondée sur $p(x)$ et $q(x)$. Celle-ci est calculée selon l'équation \ref{djs2}. Les distributions de probabilité à comparer doivent être continues et définies dans le même domaine.
	455	451
%Jensen-Shannon Divergence (equations \ref{djs}, \ref{djs2}).\\	456	452	%Jensen-Shannon Divergence (equations \ref{djs}, \ref{djs2}).\\
	457	453
\begin{equation}	458	454	\begin{equation}
D_{JS}(p(x),q(x))=\frac{1}{2}D_{KL}(p(x), m(x))+\frac{1}{2}D_{KL}(q(x), m(x))	459	455	D_{JS}(p(x),q(x))=\frac{1}{2}D_{KL}(p(x), m(x))+\frac{1}{2}D_{KL}(q(x), m(x))
\label{djs}	460	456	\label{djs}
\end{equation}	461	457	\end{equation}
	462	458
\begin{equation}	463	459	\begin{equation}
m(x)=\frac{1}{2}p(x)+\frac{1}{2}q(x)	464	460	m(x)=\frac{1}{2}p(x)+\frac{1}{2}q(x)
\label{djs2}	465	461	\label{djs2}
\end{equation}	466	462	\end{equation}
	467	463
La prédiction utilisée dans le module proposé ici a été présentée dans le chapitre \ref{ChapESCBR}. Il s'agit d'un algorithme d'empilement de raisonnement à partir de cas mettant en œuvre deux niveaux d'intégration. Le module utilise globalement la stratégie d'empilement pour exécuter plusieurs algorithmes afin de rechercher des informations dans un ensemble de données et générer des solutions à différents problèmes génériques. En outre une étape d'évaluation permet de sélectionner la solution la plus optimale pour un problème donné en fonction d'une métrique adaptative définie pour les problèmes de régression.	468	464	La prédiction utilisée dans le module proposé ici a été présentée dans le chapitre \ref{ChapESCBR}. Il s'agit d'un algorithme d'empilement de raisonnement à partir de cas mettant en œuvre deux niveaux d'intégration. Le module utilise globalement la stratégie d'empilement pour exécuter plusieurs algorithmes afin de rechercher des informations dans un ensemble de données et générer des solutions à différents problèmes génériques. En outre une étape d'évaluation permet de sélectionner la solution la plus optimale pour un problème donné en fonction d'une métrique adaptative définie pour les problèmes de régression.
	469	465
\subsection{Algorithme Proposé}	470	466	\subsection{Algorithme Proposé}
\label{Sec:TS-ESCBR-SMA}	471	467	\label{Sec:TS-ESCBR-SMA}
	472	468
Nous proposons ici une intégration de l'algorithme d'adaptation stochastique (fondé sur l'échantillonnage de Thompson) avec ESCBR-SMA. Ainsi, le module de recommandation révise la séance en fonction des notes de l'apprenant et ESCBR-SMA effectue une prédiction pour valider l'adaptation générée.	473	469	Nous proposons ici une intégration de l'algorithme d'adaptation stochastique (fondé sur l'échantillonnage de Thompson) avec ESCBR-SMA. Ainsi, le module de recommandation révise la séance en fonction des notes de l'apprenant et ESCBR-SMA effectue une prédiction pour valider l'adaptation générée.
	474	470
L'idée est d'unifier les deux modules en se fondant à la fois sur des informations locales (recommandation fondée sur l'échantillonnage de Thompson (TS) et les informations propres à l'apprenant), et sur des informations globales (cas similaires de la base de connaissances du système de RàPC en suivant le principe du paradoxe de Stein) car le RàPC combine différents observations pour réaliser une estimation.	475	471	L'idée est d'unifier les deux modules en se fondant à la fois sur des informations locales (recommandation fondée sur l'échantillonnage de Thompson (TS) et les informations propres à l'apprenant), et sur des informations globales (cas similaires de la base de connaissances du système de RàPC en suivant le principe du paradoxe de Stein) car le RàPC combine différents observations pour réaliser une estimation.
	476	472
L'architecture de l'algorithme est présentée sur la figure \ref{fig:Amodel}, où l'on peut voir que les deux algorithmes TS et RàPC sont exécutés en parallèle et indépendamment. Des synchronisations sont faites après obtention des résultats de chaque module. Ces résultats sont unifiés via d'une fonction de pondération. La recommandation finale est calculée selon l'équation \ref{eqMixModels_}. Le \textit{paradoxe de Simpson} est un paradoxe dans lequel un phénomène observé dans plusieurs groupes s'inverse lorsque les groupes sont combinés\cite{10.1145/3578337.3605122}. L'unification d'ensembles de données différents peut atténuer ce paradoxe \cite{lei2024analysis}.	477	473	L'architecture de l'algorithme est présentée sur la figure \ref{fig:Amodel}, où l'on peut voir que les deux algorithmes TS et RàPC sont exécutés en parallèle et indépendamment. Des synchronisations sont faites après obtention des résultats de chaque module. Ces résultats sont unifiés via d'une fonction de pondération. La recommandation finale est calculée selon l'équation \ref{eqMixModels_}. Le \textit{paradoxe de Simpson} est un paradoxe dans lequel un phénomène observé dans plusieurs groupes s'inverse lorsque les groupes sont combinés\cite{10.1145/3578337.3605122}. L'unification d'ensembles de données différents peut atténuer ce paradoxe \cite{lei2024analysis}.
	478	474
\begin{figure}	479	475	\begin{figure}
\centering	480	476	\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Figures/Model.png}	481	477	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Figures/Model.png}
\caption{Schéma de l'architecture de l'algorithme proposé}	482	478	\caption{Schéma de l'architecture de l'algorithme proposé}
\label{fig:Amodel}	483	479	\label{fig:Amodel}
\end{figure}	484	480	\end{figure}
	485	481
La première étape est l'adaptation avec l'échantillonnage de Thompson. Vient ensuite la prédiction via ECBR-SMA. Enfin, le processus se termine par la prise de décision concernant la suite de la séance à délivrer à l'apprenant. Le système de recommandation obtient une valeur de probabilité pour tous les niveaux de complexité et l'ECBR-SMA évalue la proposition avec une prédiction pour chaque niveau de complexité. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres du module proposé ainsi que les mesures employées.	486	482	La première étape est l'adaptation avec l'échantillonnage de Thompson. Vient ensuite la prédiction via ECBR-SMA. Enfin, le processus se termine par la prise de décision concernant la suite de la séance à délivrer à l'apprenant. Le système de recommandation obtient une valeur de probabilité pour tous les niveaux de complexité et l'ECBR-SMA évalue la proposition avec une prédiction pour chaque niveau de complexité. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres du module proposé ainsi que les mesures employées.
	487	483
\begin{table}[!ht]	488	484	\begin{table}[!ht]
\centering	489	485	\centering
\footnotesize	490	486	\footnotesize
\begin{tabular}{c\|c\|>{\centering\arraybackslash}p{8cm}\|c}	491	487	\begin{tabular}{c\|c\|>{\centering\arraybackslash}p{8cm}\|c}
ID&Type&Description&Domain\\	492	488	ID&Type&Description&Domain\\
\hline	493	489	\hline
$\alpha$&p&Paramètre de la distribution beta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\	494	490	$\alpha$&p&Paramètre de la distribution beta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\
$\beta$&p&Paramètre de la distribution beta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\	495	491	$\beta$&p&Paramètre de la distribution beta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\
$t$&p&Numéro de l'itération&$\mathbb{N}$\\	496	492	$t$&p&Numéro de l'itération&$\mathbb{N}$\\
$c$&p&Niveau de complexité&$\mathbb{N}$\\	497	493	$c$&p&Niveau de complexité&$\mathbb{N}$\\
$x_c$&p&Notes moyennes par niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}$\\	498	494	$x_c$&p&Notes moyennes par niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}$\\
$y_c$&p&Nombre de questions par niveau de complexité $c$&$\mathbb{N}$\\	499	495	$y_c$&p&Nombre de questions par niveau de complexité $c$&$\mathbb{N}$\\
$r$&f&Fonction suivie pour la recommandation&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	500	496	$r$&f&Fonction suivie pour la recommandation&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$k_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance dans le temps $t$ pour le niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	501	497	$k_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance dans le temps $t$ pour le niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$vk_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance pour chaque niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}$\\	502	498	$vk_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance pour chaque niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}$\\
$TS_c$&v&Récompense d'échantillonnage de Thompson pour un niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	503	499	$TS_c$&v&Récompense d'échantillonnage de Thompson pour un niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$TSN_c$&v&Normalisation de $TS_c$ avec d'autres niveaux de complexité&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	504	500	$TSN_c$&v&Normalisation de $TS_c$ avec d'autres niveaux de complexité&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$ESCBR_c$&v&Prédiction de la note pour un niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\	505	501	$ESCBR_c$&v&Prédiction de la note pour un niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\
$p_c$&f&Fonction de densité de probabilité pour le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\	506	502	$p_c$&f&Fonction de densité de probabilité pour le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\
$D_{JS}$&f&Divergence de Jensen-Shannon&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	507	503	$D_{JS}$&f&Divergence de Jensen-Shannon&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
	508	504
\end{tabular}	509	505	\end{tabular}
\caption{Paramètres (p), variables (v) et fonctions (f) de l'algorithme proposé et des métriques utilisées}	510	506	\caption{Paramètres (p), variables (v) et fonctions (f) de l'algorithme proposé et des métriques utilisées}
\label{tabvp}	511	507	\label{tabvp}
\end{table}	512	508	\end{table}
	513	509
Pour rappel, le processus de recommandation se fait en trois étapes. Tout d'abord, il est nécessaire d'avoir des valeurs aléatoires pour chaque niveau de complexité $c$ en utilisant les distributions de probabilité générées avec le algorithme TS (équation \ref{IntEq1_}). Une fois que toutes les valeurs de probabilité correspondant à tous les niveaux de complexité ont été obtenues, la normalisation de toutes ces valeurs est calculée selon l'équation \ref{IntEq2_}. Les valeurs de normalisation servent de paramètres de priorité pour les prédictions effectuées par ESCBR-SMA (équation \ref{eqMixModels_}). La recommandation finalement proposée est celle dont la valeur est la plus élevée.	514	510	Pour rappel, le processus de recommandation se fait en trois étapes. Tout d'abord, il est nécessaire d'avoir des valeurs aléatoires pour chaque niveau de complexité $c$ en utilisant les distributions de probabilité générées avec le algorithme TS (équation \ref{IntEq1_}). Une fois que toutes les valeurs de probabilité correspondant à tous les niveaux de complexité ont été obtenues, la normalisation de toutes ces valeurs est calculée selon l'équation \ref{IntEq2_}. Les valeurs de normalisation servent de paramètres de priorité pour les prédictions effectuées par ESCBR-SMA (équation \ref{eqMixModels_}). La recommandation finalement proposée est celle dont la valeur est la plus élevée.
	515	511
\begin{equation}	516	512	\begin{equation}
TS_c=rand(Beta(\alpha_c, \beta_c))	517	513	TS_c=rand(Beta(\alpha_c, \beta_c))
\label{IntEq1_}	518	514	\label{IntEq1_}
\end{equation}	519	515	\end{equation}
	520	516
\begin{equation}	521	517	\begin{equation}
TSN_c=\frac{TS_c}{\sum_{i=0}^4TS_i}	522	518	TSN_c=\frac{TS_c}{\sum_{i=0}^4TS_i}
\label{IntEq2_}	523	519	\label{IntEq2_}
\end{equation}	524	520	\end{equation}
	525	521
\begin{equation}	526	522	\begin{equation}
n_c=argmax_c(TSN_c*ESCBR_c)	527	523	n_c=argmax_c(TSN_c*ESCBR_c)
\label{eqMixModels_}	528	524	\label{eqMixModels_}
\end{equation}	529	525	\end{equation}
	530	526
\subsection{Résultats et Discussion}	531	527	\subsection{Résultats et Discussion}
	532	528
Le principal inconvénient posé par la validation d'un tel système « en situation réelle » est la difficulté à collecter des données et à évaluer des systèmes différents dans des conditions strictement similaires. Cette difficulté est accentuée dans les contextes d'apprentissage autorégulés, puisque les apprenants peuvent quitter la plateforme d'apprentissage à tout moment rendant ainsi les données incomplètes \cite{badier:hal-04092828}.	533	529	Le principal inconvénient posé par la validation d'un tel système « en situation réelle » est la difficulté à collecter des données et à évaluer des systèmes différents dans des conditions strictement similaires. Cette difficulté est accentuée dans les contextes d'apprentissage autorégulés, puisque les apprenants peuvent quitter la plateforme d'apprentissage à tout moment rendant ainsi les données incomplètes \cite{badier:hal-04092828}.
	534	530
Pour cette raison, les différentes approches proposées ont été testées sur des données générées : les notes et les temps de réponse de 1000 apprenants fictifs et cinq questions par niveau de complexité. Les notes des apprenants ont été créées en suivant la loi de distribution \textit{logit-normale} que nous avons jugée proche de la réalité de la progression d'un apprentissage \cite{Data}.	535	531	Pour cette raison, les différentes approches proposées ont été testées sur des données générées : les notes et les temps de réponse de 1000 apprenants fictifs et cinq questions par niveau de complexité. Les notes des apprenants ont été créées en suivant la loi de distribution \textit{logit-normale} que nous avons jugée proche de la réalité de la progression d'un apprentissage \cite{Data}.
	536	532
Quatre séries de tests ont été effectuées. La première série a été menée sur le système AI-VT intégrant le système de RàPC pour la régression afin de démontrer la capacité de l'algorithme à prédire les notes à différents niveaux de complexité.	537	533	Quatre séries de tests ont été effectuées. La première série a été menée sur le système AI-VT intégrant le système de RàPC pour la régression afin de démontrer la capacité de l'algorithme à prédire les notes à différents niveaux de complexité.
La deuxième série de tests a évalué la progression des connaissances avec TS afin d'analyser la capacité du module à proposer des recommandations personnalisées. Lors de la troisième série de tests, nous avons comparé les algorithmes de recommandation BKT et TS. Enfin, lors de la quatrième série de tests, nous avons comparé TS seul et TS avec ESCBR-SMA.	538	534	La deuxième série de tests a évalué la progression des connaissances avec TS afin d'analyser la capacité du module à proposer des recommandations personnalisées. Lors de la troisième série de tests, nous avons comparé les algorithmes de recommandation BKT et TS. Enfin, lors de la quatrième série de tests, nous avons comparé TS seul et TS avec ESCBR-SMA.
	539	535
\subsubsection{Régression avec ESCBR-SMA pour l'aide à l'apprentissage humain}	540	536	\subsubsection{Régression avec ESCBR-SMA pour l'aide à l'apprentissage humain}
	541	537
Le SMA que nous avons implémenté utilise un raisonnement bayésien, ce qui permet aux agents d'apprendre des données et d'intéragir au cours de l'exécution et de l'exploration.	542	538	Le SMA que nous avons implémenté utilise un raisonnement bayésien, ce qui permet aux agents d'apprendre des données et d'intéragir au cours de l'exécution et de l'exploration.
	543	539
ESCBR-SMA utilise une fonction noyau pour obtenir la meilleure approximation de la solution du problème cible. Dans notre cas, l'obtention de la meilleure solution est un problème NP-Difficile car la formulation est similaire au problème de Fermat-Weber à $N$ dimensions \cite{doi:10.1137/23M1592420}.	544	540	ESCBR-SMA utilise une fonction noyau pour obtenir la meilleure approximation de la solution du problème cible. Dans notre cas, l'obtention de la meilleure solution est un problème NP-Difficile car la formulation est similaire au problème de Fermat-Weber à $N$ dimensions \cite{doi:10.1137/23M1592420}.
	545	541
Les différents scénarios du tableau \ref{tab:scenarios} ont été considérés dans un premier temps. Dans le scénario $E_1$, il s'agit de prédire la note d'un apprenant au premier niveau de complexité, après 3 questions. Le scénario $E_2$ considère les notes de 8 questions et l'objectif est de prédire la note de la neuvième question dans le même niveau de complexité. Le scénario $E_3$ interpole la neuvième note que l'apprenant obtiendrait si la neuvième question était de niveau de complexité supérieur à celui de la huitième question. Cette interpolation est faite sur la base des notes obtenues aux quatre questions précédentes. Le scénario $E_4$ considère 4 questions et le système doit interpoler 2 notes dans un niveau de complexité supérieur.	546	542	Les différents scénarios du tableau \ref{tab:scenarios} ont été considérés dans un premier temps. Dans le scénario $E_1$, il s'agit de prédire la note d'un apprenant au premier niveau de complexité, après 3 questions. Le scénario $E_2$ considère les notes de 8 questions et l'objectif est de prédire la note de la neuvième question dans le même niveau de complexité. Le scénario $E_3$ interpole la neuvième note que l'apprenant obtiendrait si la neuvième question était de niveau de complexité supérieur à celui de la huitième question. Cette interpolation est faite sur la base des notes obtenues aux quatre questions précédentes. Le scénario $E_4$ considère 4 questions et le système doit interpoler 2 notes dans un niveau de complexité supérieur.
	547	543
\begin{table}[!ht]	548	544	\begin{table}[!ht]
\centering	549	545	\centering
\begin{tabular}{ccc}	550	546	\begin{tabular}{ccc}
Scenario&Caractéristiques du problème&Dimension de la solution\\	551	547	Scenario&Caractéristiques du problème&Dimension de la solution\\
\hline	552	548	\hline
$E_1$ & 5 & 1\\	553	549	$E_1$ & 5 & 1\\
$E_2$ & 15& 1\\	554	550	$E_2$ & 15& 1\\
$E_3$ & 9 & 1\\	555	551	$E_3$ & 9 & 1\\
$E_4$ & 9 & 2\\	556	552	$E_4$ & 9 & 2\\
\end{tabular}	557	553	\end{tabular}
\caption{Description des scénarios}	558	554	\caption{Description des scénarios}
\label{tab:scenarios}	559	555	\label{tab:scenarios}
\end{table}	560	556	\end{table}
	561	557
ESCBR-SMA a été comparé aux neuf outils classiquement utilisés pour résoudre la régression consignés dans le tableau \ref{tabAlgs} et selon l'erreur quadratique moyenne (RMSE - \textit{Root Mean Squared Error}), l'erreur médiane absolue (MedAE - \textit{Median Absolute Error}) et l'erreur moyenne absolue (MAE - \textit{Mean Absolute Error}).	562	558	ESCBR-SMA a été comparé aux neuf outils classiquement utilisés pour résoudre la régression consignés dans le tableau \ref{tabAlgs} et selon l'erreur quadratique moyenne (RMSE - \textit{Root Mean Squared Error}), l'erreur médiane absolue (MedAE - \textit{Median Absolute Error}) et l'erreur moyenne absolue (MAE - \textit{Mean Absolute Error}).
	563	559
\begin{table}[!ht]	564	560	\begin{table}[!ht]
\centering	565	561	\centering
\footnotesize	566	562	\footnotesize
\begin{tabular}{ll\|ll}	567	563	\begin{tabular}{ll\|ll}
ID&Algorithm&ID&Algorithm\\	568	564	ID&Algorithm&ID&Algorithm\\
\hline	569	565	\hline
A1&Linear Regression&A6&Polinomial Regression\\	570	566	A1&Linear Regression&A6&Polinomial Regression\\
A2&K-Nearest Neighbor&A7&Ridge Regression\\	571	567	A2&K-Nearest Neighbor&A7&Ridge Regression\\
A3&Decision Tree&A8&Lasso Regression\\	572	568	A3&Decision Tree&A8&Lasso Regression\\
A4&Random Forest (Ensemble)&A9&Gradient Boosting (Ensemble)\\	573	569	A4&Random Forest (Ensemble)&A9&Gradient Boosting (Ensemble)\\
A5&Multi Layer Perceptron&A10&Proposed Ensemble Stacking RàPC\\	574	570	A5&Multi Layer Perceptron&A10&Proposed Ensemble Stacking RàPC\\
\end{tabular}	575	571	\end{tabular}
\caption{Liste des algorithmes évalués }	576	572	\caption{Liste des algorithmes évalués }
\label{tabAlgs}	577	573	\label{tabAlgs}
\end{table}	578	574	\end{table}
	579	575
Le tableau \ref{tab:results} présente les résultats obtenus par les 10 algorithmes sur les quatre scénarios. Ces résultats montrent qu'ESCBR-SMA (A10) et le \textit{Gradient Boosting} (A9) obtiennent toujours les deux meilleurs résultats. Si l'on considère uniquement la RMSE, ESCBR-SMA occupe toujours la première place sauf pour $E_3$ où il est deuxième. Inversement, en considérant l'erreur médiane absolue ou l'erreur moyenne absolue, A10 se classe juste après A9. ESCBR-SMA et le \textit{Gradient Boosting} sont donc efficaces pour interpoler les notes des apprenants.	580	576	Le tableau \ref{tab:results} présente les résultats obtenus par les 10 algorithmes sur les quatre scénarios. Ces résultats montrent qu'ESCBR-SMA (A10) et le \textit{Gradient Boosting} (A9) obtiennent toujours les deux meilleurs résultats. Si l'on considère uniquement la RMSE, ESCBR-SMA occupe toujours la première place sauf pour $E_3$ où il est deuxième. Inversement, en considérant l'erreur médiane absolue ou l'erreur moyenne absolue, A10 se classe juste après A9. ESCBR-SMA et le \textit{Gradient Boosting} sont donc efficaces pour interpoler les notes des apprenants.
	581	577
\begin{table}[!ht]	582	578	\begin{table}[!ht]
\centering	583	579	\centering
\footnotesize	584	580	\footnotesize
\begin{tabular}{c\|cccccccccc}	585	581	\begin{tabular}{c\|cccccccccc}
&\multicolumn{10}{c}{\textbf{Algorithme}}\\	586	582	&\multicolumn{10}{c}{\textbf{Algorithme}}\\
\hline	587	583	\hline
& A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\	588	584	& A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\
\textbf{Scenario (Metrique)}\\	589	585	\textbf{Scenario (Metrique)}\\
\hline	590	586	\hline
$E_1$ (RMSE)&0.625&0.565&0.741&0.56&0.606&0.626&0.626&0.681&0.541&\textbf{0.54}\\	591	587	$E_1$ (RMSE)&0.625&0.565&0.741&0.56&0.606&0.626&0.626&0.681&0.541&\textbf{0.54}\\
$E_1$ (MedAE) & 0.387&0.35&0.46&0.338&0.384&0.387&0.387&0.453&\textbf{0.327}&0.347\\	592	588	$E_1$ (MedAE) & 0.387&0.35&0.46&0.338&0.384&0.387&0.387&0.453&\textbf{0.327}&0.347\\
$E_1$ (MAE) &0.485&0.436&0.572&0.429&0.47&0.485&0.485&0.544&\textbf{0.414}&0.417\\	593	589	$E_1$ (MAE) &0.485&0.436&0.572&0.429&0.47&0.485&0.485&0.544&\textbf{0.414}&0.417\\
\hline	594	590	\hline
$E_2$ (RMSE)& 0.562&0.588&0.78&0.571&0.61&0.562&0.562&0.622&0.557&\textbf{0.556}\\	595	591	$E_2$ (RMSE)& 0.562&0.588&0.78&0.571&0.61&0.562&0.562&0.622&0.557&\textbf{0.556}\\
$E_2$ (MedAE)&0.351&0.357&0.464&0.344&0.398&0.351&0.351&0.415&\textbf{0.334}&0.346\\	596	592	$E_2$ (MedAE)&0.351&0.357&0.464&0.344&0.398&0.351&0.351&0.415&\textbf{0.334}&0.346\\
$E_2$ (MAE)&0.433&0.448&0.591&0.437&0.478&0.433&0.433&0.495&\textbf{0.422}&0.429\\	597	593	$E_2$ (MAE)&0.433&0.448&0.591&0.437&0.478&0.433&0.433&0.495&\textbf{0.422}&0.429\\
\hline	598	594	\hline
$E_3$ (RMSE)&0.591&0.59&0.79&0.57&0.632&0.591&0.591&0.644&\textbf{0.555}&0.558\\	599	595	$E_3$ (RMSE)&0.591&0.59&0.79&0.57&0.632&0.591&0.591&0.644&\textbf{0.555}&0.558\\
$E_3$ (MedAE)&0.367&0.362&0.474&0.358&0.404&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.349\\	600	596	$E_3$ (MedAE)&0.367&0.362&0.474&0.358&0.404&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.349\\
$E_3$ (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.441&0.49&0.453&0.453&0.512&\textbf{0.427}&0.43\\	601	597	$E_3$ (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.441&0.49&0.453&0.453&0.512&\textbf{0.427}&0.43\\
\hline	602	598	\hline
$E_4$ (RMSE)&0.591&0.589&0.785&0.568&0.613&0.591&0.591&0.644&0.554&\textbf{0.549}\\	603	599	$E_4$ (RMSE)&0.591&0.589&0.785&0.568&0.613&0.591&0.591&0.644&0.554&\textbf{0.549}\\
$E_4$ (MedAE)&0.367&0.362&0.465&0.57&0.375&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.343\\	604	600	$E_4$ (MedAE)&0.367&0.362&0.465&0.57&0.375&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.343\\
$E_4$ (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.438&0.466&0.453&0.453&0.512&0.426&\textbf{0.417}\\	605	601	$E_4$ (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.438&0.466&0.453&0.453&0.512&0.426&\textbf{0.417}\\
\end{tabular}	606	602	\end{tabular}
\caption{Erreurs moyennes et médianes des interpolations des 10 algorithmes sélectionnés sur les 4 scénarios considérés et obtenues après 100 exécutions.}	607	603	\caption{Erreurs moyennes et médianes des interpolations des 10 algorithmes sélectionnés sur les 4 scénarios considérés et obtenues après 100 exécutions.}
\label{tab:results}	608	604	\label{tab:results}
\end{table}	609	605	\end{table}
	610	606
\subsubsection{Progression des connaissances}	611	607	\subsubsection{Progression des connaissances}
	612	608
L'algorithme de recommandation TS est fondé sur le paradigme bayésien le rendant ainsi particulièrement adapté au problèmes liés à la limitation de la quantité de données et à une incertitude forte. Afin de quantifier la connaissance et de voir sa progression dans le temps avec TS, la divergence de Jensen-Shannon avec la famille de distribution Beta en $t$ et $t-1$ a été mesurée. L'équation \ref{eqprog1} décrit formellement le calcul à effectuer avec les distributions de probabilité en un temps $t$ pour un niveau de complexité $c$, en utilisant la définition $m$ (équation \ref{eqprog2}).	613	609	L'algorithme de recommandation TS est fondé sur le paradigme bayésien le rendant ainsi particulièrement adapté au problèmes liés à la limitation de la quantité de données et à une incertitude forte. Afin de quantifier la connaissance et de voir sa progression dans le temps avec TS, la divergence de Jensen-Shannon avec la famille de distribution Beta en $t$ et $t-1$ a été mesurée. L'équation \ref{eqprog1} décrit formellement le calcul à effectuer avec les distributions de probabilité en un temps $t$ pour un niveau de complexité $c$, en utilisant la définition $m$ (équation \ref{eqprog2}).
	614	610
%\begin{equation}	615	611	%\begin{equation}
\begin{multline}	616	612	\begin{multline}
k_{t,c}=\frac{1}{2}	617	613	k_{t,c}=\frac{1}{2}
\int_{0}^{1}p_c(\alpha_t,\beta_t,x) log \left(\frac{p_c(\alpha_t,\beta_t,x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx	618	614	\int_{0}^{1}p_c(\alpha_t,\beta_t,x) log \left(\frac{p_c(\alpha_t,\beta_t,x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx
\\	619	615	\\
+\frac{1}{2}	620	616	+\frac{1}{2}
\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x) log \left(\frac{p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx	621	617	\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x) log \left(\frac{p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx
\label{eqprog1}	622	618	\label{eqprog1}
\end{multline}	623	619	\end{multline}
%\end{equation}	624	620	%\end{equation}
	625	621
\begin{multline}	626	622	\begin{multline}
m(p(\alpha_{(t-1)},\beta_{(t-1)},x),p(\alpha_{t},\beta_{t},x))=\frac{1}{2} \left( \frac{x^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-x)^{\beta_{(t-1)}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-u^{\beta_{(t-1)}-1})du} \right )\\	627	623	m(p(\alpha_{(t-1)},\beta_{(t-1)},x),p(\alpha_{t},\beta_{t},x))=\frac{1}{2} \left( \frac{x^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-x)^{\beta_{(t-1)}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-u^{\beta_{(t-1)}-1})du} \right )\\
+\frac{1}{2} \left (\frac{x^{\alpha_{t}-1}(1-x)^{\beta_{t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{t}-1}(1-u^{\beta_{t}-1})du} \right )	628	624	+\frac{1}{2} \left (\frac{x^{\alpha_{t}-1}(1-x)^{\beta_{t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{t}-1}(1-u^{\beta_{t}-1})du} \right )
%\end{equation}	629	625	%\end{equation}
\label{eqprog2}	630	626	\label{eqprog2}
\end{multline}	631	627	\end{multline}
	632	628
La progression du nombre total de connaissances en $t$ est la somme des différences entre $t$ et $t-1$ pour tous les $c$ niveaux de complexité calculés avec la divergence de Jensen-Shannon (équation \ref{eqTEK}). Pour ce faire, nous évaluons la progression de la variabilité données par équation \ref{eqVarP}.	633	629	La progression du nombre total de connaissances en $t$ est la somme des différences entre $t$ et $t-1$ pour tous les $c$ niveaux de complexité calculés avec la divergence de Jensen-Shannon (équation \ref{eqTEK}). Pour ce faire, nous évaluons la progression de la variabilité données par équation \ref{eqVarP}.
	634	630
\begin{equation}	635	631	\begin{equation}
vk_{t,c}=\begin{cases}	636	632	vk_{t,c}=\begin{cases}
D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})), & \frac{\alpha_{t,c}}{\alpha_{t,c}+\beta_{t,c}} < \frac{\alpha_{t+1,c}}{\alpha_{t+1,c}+\beta_{t+1,c}}\\	637	633	D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})), & \frac{\alpha_{t,c}}{\alpha_{t,c}+\beta_{t,c}} < \frac{\alpha_{t+1,c}}{\alpha_{t+1,c}+\beta_{t+1,c}}\\
-D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})),& Otherwise	638	634	-D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})),& Otherwise
\end{cases}	639	635	\end{cases}
\label{eqVarP}	640	636	\label{eqVarP}
\end{equation}	641	637	\end{equation}
	642	638
\begin{equation}	643	639	\begin{equation}
k_t=\sum_{c=4}^{c=0 \lor k_t \neq 0}	644	640	k_t=\sum_{c=4}^{c=0 \lor k_t \neq 0}
\begin{cases}	645	641	\begin{cases}
\alpha_{c-1} vk_{t,c-1};&vk_{t,c} > 0\\	646	642	\alpha_{c-1} vk_{t,c-1};&vk_{t,c} > 0\\
0;&Otherwise	647	643	0;&Otherwise
\end{cases}	648	644	\end{cases}
\label{eqTEK}	649	645	\label{eqTEK}
\end{equation}	650	646	\end{equation}
	651	647
\begin{figure}[!ht]	652	648	\begin{figure}[!ht]
\centering	653	649	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/kEvol_TS.jpg}	654	650	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/kEvol_TS.jpg}
\caption{Progression des connaissances avec l'échantillonnage de Thompson selon la divergence de Jensen-Shannon}	655	651	\caption{Progression des connaissances avec l'échantillonnage de Thompson selon la divergence de Jensen-Shannon}
\label{fig:evolution}	656	652	\label{fig:evolution}
\end{figure}	657	653	\end{figure}
	658	654
La figure \ref{fig:evolution} montre la progression cumulée des connaissances sur les quinze questions d'une même séance d'entrainement. L'augmentation de la moyenne du niveau de connaissance entre la première et la dernière question de la même séance montre que tous les apprenants ont statistiquement augmenté leur niveau de connaissance. La variabilité augmente à partir de la première question jusqu'à la question neuf, où le système a acquis plus d'informations sur les apprenants. À ce stade, la variabilité diminue et la moyenne augmente.	659	655	La figure \ref{fig:evolution} montre la progression cumulée des connaissances sur les quinze questions d'une même séance d'entrainement. L'augmentation de la moyenne du niveau de connaissance entre la première et la dernière question de la même séance montre que tous les apprenants ont statistiquement augmenté leur niveau de connaissance. La variabilité augmente à partir de la première question jusqu'à la question neuf, où le système a acquis plus d'informations sur les apprenants. À ce stade, la variabilité diminue et la moyenne augmente.
	660	656
\subsubsection{Système de recommandation avec un jeu de données d'étudiants réels}	661	657	\subsubsection{Système de recommandation avec un jeu de données d'étudiants réels}
	662	658
Le système de recommandation TS a été testé avec un ensemble de données adaptées extraites de données réelles d'interactions d'étudiants avec un environnement d'apprentissage virtuel pour différents cours \cite{Kuzilek2017}. Cet ensemble contient les notes de $23366$ apprenants dans différents cours. Les apprenants ont été évalués selon différentes modalités (partiels, projets, QCM) \cite{Data}. Cet ensemble de données a pu être intégré au jeu de données d'AI-VT (notes, temps de réponse et 5 niveaux de complexité). Le test a consisté à générer une recommandation pour l'avant dernière question en fonction des notes précédentes. Ce test a été exécuté 100 fois pour chaque apprenant. Les nombres de questions recommandées sont reportés sur la figure \ref{fig:stabilityBP} pour chaque niveau de complexité. Celle-ci montre que malgré la stochasticité, la variance globale dans tous les niveaux de complexité est faible en fonction du nombre total d'apprenants et du nombre total de recommandations, et démontre ainsi la stabilité de l'algorithme.\\	663	659	Le système de recommandation TS a été testé avec un ensemble de données adaptées extraites de données réelles d'interactions d'étudiants avec un environnement d'apprentissage virtuel pour différents cours \cite{Kuzilek2017}. Cet ensemble contient les notes de $23366$ apprenants dans différents cours. Les apprenants ont été évalués selon différentes modalités (partiels, projets, QCM) \cite{Data}. Cet ensemble de données a pu être intégré au jeu de données d'AI-VT (notes, temps de réponse et 5 niveaux de complexité). Le test a consisté à générer une recommandation pour l'avant dernière question en fonction des notes précédentes. Ce test a été exécuté 100 fois pour chaque apprenant. Les nombres de questions recommandées sont reportés sur la figure \ref{fig:stabilityBP} pour chaque niveau de complexité. Celle-ci montre que malgré la stochasticité, la variance globale dans tous les niveaux de complexité est faible en fonction du nombre total d'apprenants et du nombre total de recommandations, et démontre ainsi la stabilité de l'algorithme.\\
	664	660
\begin{figure}[!ht]	665	661	\begin{figure}[!ht]
\centering	666	662	\centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{Figures/stabilityBoxplot.png}	667	663	\includegraphics[width=1\linewidth]{Figures/stabilityBoxplot.png}
\caption{Nombre de recommandations par niveau de complexité}	668	664	\caption{Nombre de recommandations par niveau de complexité}
\label{fig:stabilityBP}	669	665	\label{fig:stabilityBP}
\end{figure}	670	666	\end{figure}
	671	667
La précision de la recommandation pour tous les apprenants est évaluée en considérant comme comportement correct deux états : i) l'algorithme recommande un niveau où l'apprenant a une note supérieure ou égal à 6 et ii) l'algorithme recommande un niveau inférieur au niveau réel évalué par l'apprenant. Le premier cas montre que l'algorithme a identifié le moment précis où l'apprenant doit augmenter le niveau de complexité, le second cas permet d'établir que l'algorithme propose de renforcer un niveau de complexité plus faible. Puis la précision est calculée comme le rapport entre le nombre d'états correspondant aux comportements corrects définis et le nombre total de recommandations. La figure \ref{fig:precision} montre les résultats de cette métrique après 100 exécutions.\\	672	668	La précision de la recommandation pour tous les apprenants est évaluée en considérant comme comportement correct deux états : i) l'algorithme recommande un niveau où l'apprenant a une note supérieure ou égal à 6 et ii) l'algorithme recommande un niveau inférieur au niveau réel évalué par l'apprenant. Le premier cas montre que l'algorithme a identifié le moment précis où l'apprenant doit augmenter le niveau de complexité, le second cas permet d'établir que l'algorithme propose de renforcer un niveau de complexité plus faible. Puis la précision est calculée comme le rapport entre le nombre d'états correspondant aux comportements corrects définis et le nombre total de recommandations. La figure \ref{fig:precision} montre les résultats de cette métrique après 100 exécutions.\\
	673	669
\begin{figure}[!ht]	674	670	\begin{figure}[!ht]
\centering	675	671	\centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{Figures/precision.png}	676	672	\includegraphics[width=1\linewidth]{Figures/precision.png}
\caption{Précision de la recommandation}	677	673	\caption{Précision de la recommandation}
\label{fig:precision}	678	674	\label{fig:precision}
\end{figure}	679	675	\end{figure}
	680	676
\subsubsection{Comparaison entre TS et BKT}	681	677	\subsubsection{Comparaison entre TS et BKT}
	682	678
La figure \ref{fig:EvGrades} permet de comparer la recommandation fondée sur l'échantillonnage de Thompson et celle fondée sur BKT. Cette figure montre l'évolution des notes des apprenants en fonction du nombre de questions auxquelles ils répondent dans la même séance. Dans ce cas, le TS génère moins de variabilité que BKT, mais les évolutions induites par les deux systèmes restent globalement très similaires.	683	679	La figure \ref{fig:EvGrades} permet de comparer la recommandation fondée sur l'échantillonnage de Thompson et celle fondée sur BKT. Cette figure montre l'évolution des notes des apprenants en fonction du nombre de questions auxquelles ils répondent dans la même séance. Dans ce cas, le TS génère moins de variabilité que BKT, mais les évolutions induites par les deux systèmes restent globalement très similaires.
	684	680
\begin{figure}[!ht]	685	681	\begin{figure}[!ht]
\centering	686	682	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/GradesEv.jpg}	687	683	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/GradesEv.jpg}
\caption{Comparaison de l'évolution des notes entre les systèmes fondés sur TS et BKT.}	688	684	\caption{Comparaison de l'évolution des notes entre les systèmes fondés sur TS et BKT.}
\label{fig:EvGrades}	689	685	\label{fig:EvGrades}
\end{figure}	690	686	\end{figure}
	691	687
Toutefois, si l'on considère l'évolution du niveau de complexité recommandé (figure \ref{fig:EvCL}), TS fait évoluer le niveau de complexité des apprenants, alors que BKT a tendance à laisser les apprenants au même niveau de complexité. Autrement dit, avec BKT, il est difficile d'apprendre de nouveaux sujets ou des concepts plus complexes au sein du même domaine. En comparant les résultats des deux figures (figures \ref{fig:EvGrades} et \ref{fig:EvCL}), TS permet de faire progresser la moyenne des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité.	692	688	Toutefois, si l'on considère l'évolution du niveau de complexité recommandé (figure \ref{fig:EvCL}), TS fait évoluer le niveau de complexité des apprenants, alors que BKT a tendance à laisser les apprenants au même niveau de complexité. Autrement dit, avec BKT, il est difficile d'apprendre de nouveaux sujets ou des concepts plus complexes au sein du même domaine. En comparant les résultats des deux figures (figures \ref{fig:EvGrades} et \ref{fig:EvCL}), TS permet de faire progresser la moyenne des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité.
	693	689
\begin{figure}[!ht]	694	690	\begin{figure}[!ht]
\centering	695	691	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/LevelsEv.jpg}	696	692	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/LevelsEv.jpg}
\caption{Comparaison de l'évolution des niveaux entre les systèmes de recommandation fondés sur BKT et TS}	697	693	\caption{Comparaison de l'évolution des niveaux entre les systèmes de recommandation fondés sur BKT et TS}
\label{fig:EvCL}	698	694	\label{fig:EvCL}

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Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 227.	29	29	Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 227.
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Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1353.	35	35	Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1353.
Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1357.	36	36	Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1357.
Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1369.	37	37	Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1369.
Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1371.	38	38	Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1371.
Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1372.	39	39	Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1372.
Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1373.	40	40	Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1373.