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\chapter{Système de Recommandation dans AI-VT}	1	1	\chapter{Système de Recommandation dans AI-VT}
	2	2
\section{Introduction}	3	3	\section{Introduction}
	4	4
Ce chapitre est divisé en trois parties, la première partie explicite un algorithme de recommandation proposé fondé sur les résultats produits par l'apprenant en temps réel. La plupart du contenu est extrait et traduit de l'article Soto \textit{et al.} \cite{Soto2}. C'est un modèle d'adaptation automatique en temps réel d'une session prédéterminée à l'intérieur du système AI-VT. Dans cette adaptation le processus fait partie d'un modèle global de raisonnement à partir de cas. Le modèle proposé est stochastique et a été testé avec trois scénarios différents. Les résultats montrent l'adaptation dynamique du modèle proposé, les adaptations obtenues aidant le système à évoluer plus rapidement et identifier les faiblesses des apprenants dans les différents niveaux de complexité ainsi que la génération de recommandations pertinentes dans des cas spécifiques pour chaque capacité d'apprenant.	5	5	Ce chapitre est divisé en trois parties, la première partie explicite un algorithme de recommandation proposé fondé sur les résultats produits par l'apprenant en temps réel. Une partie de cette proposition est publiée dans Soto \textit{et al.} \cite{Soto2}. C'est un modèle d'adaptation automatique en temps réel d'une séance prédéterminée à l'intérieur du système AI-VT. Dans cette adaptation le processus fait partie d'un modèle global de raisonnement à partir de cas. Le modèle proposé est stochastique et a été testé avec trois scénarios différents. Les résultats montrent l'adaptation dynamique du modèle proposé, les adaptations obtenues aidant le système à évoluer plus rapidement et identifier les faiblesses des apprenants dans les différents niveaux de complexité ainsi que la génération de recommandations pertinentes dans des cas spécifiques pour chaque capacité d'apprenant.
	6	6
Le module mis en œuvre pour AI-VT est classé dans la catégorie des systèmes de recommandation. Les systèmes de recommandation dans les environnements d'apprentissage prennent en compte les exigences, les besoins, le profil, les talents, les intérêts et l'évolution de l'apprenant pour adapter et recommander des ressources ou des exercices dans le but d'améliorer l'acquisition et la maîtrise des concepts et des connaissances en général. L'adaptation de ces systèmes peut être de deux types, l'adaptation de la présentation qui montre aux apprenants des ressources d'étude en fonction de leurs faiblesses et l'adaptation de la navigation qui change la structure du cours en fonction du niveau et du style d'apprentissage de chaque apprenant \cite{MUANGPRATHUB2020e05227}.	7	7	Le module mis en œuvre pour AI-VT est classé dans la catégorie des systèmes de recommandation. Les systèmes de recommandation dans les environnements d'apprentissage prennent en compte les exigences, les besoins, le profil, les talents, les intérêts et l'évolution de l'apprenant pour adapter et recommander des ressources ou des exercices dans le but d'améliorer l'acquisition et la maîtrise des concepts et des connaissances en général. L'adaptation de ces systèmes peut être de deux types, l'adaptation de la présentation qui montre aux apprenants des ressources d'étude en fonction de leurs faiblesses et l'adaptation de la navigation qui change la structure du cours en fonction du niveau et du style d'apprentissage de chaque apprenant \cite{MUANGPRATHUB2020e05227}.
	8	8
Les techniques de recommandation sont utiles dans les EIAH car elles peuvent détecter les changements et évoluer vers un état optimal, comme l'algorithme d'échantillonnage de Thompson (TS), qui est un algorithme de type probabiliste appartenant à la catégorie des algorithmes d'apprentissage par renforcement, où l'algorithme choisit au temps $t$ une action $a$ à partir d'un ensemble $A$, obtient une récompense pour l'action $a$ et, en fonction de la valeur de la récompense, ajuste sa stratégie de décision pour choisir au temps $t + 1$ une autre action $a$, dans le but de maximiser la récompense. Il est fondé sur le principe Bayésien, où il y a une distribution de probabilité a priori et avec les données obtenues une distribution de probabilité a posteriori est générée qui vise à maximiser l'estimation de la valeur attendue. Pour la variante de Bernoulli, où la récompense n'a que deux valeurs possibles 0 et 1 ou succès et échec, la distribution de base utilisée est la distribution Beta qui est définie sur [0, 1] et paramétrée par deux valeurs $\alpha$ et $\beta$ \cite{9870279}.	9	9	Les techniques de recommandation sont utiles dans les EIAH car elles peuvent détecter les changements et évoluer vers un état optimal, comme l'algorithme d'échantillonnage de Thompson (TS), qui est un algorithme de type probabiliste appartenant à la catégorie des algorithmes d'apprentissage par renforcement, où l'algorithme choisit au temps $t$ une action $a$ à partir d'un ensemble $A$, obtient une récompense pour l'action $a$ et, en fonction de la valeur de la récompense, ajuste sa stratégie de décision pour choisir au temps $t + 1$ une autre action $a$, dans le but de maximiser la récompense. Il est fondé sur le principe Bayésien, où il y a une distribution de probabilité a priori et avec les données obtenues une distribution de probabilité a posteriori est générée qui vise à maximiser l'estimation de la valeur attendue. Pour la variante de Bernoulli, où la récompense n'a que deux valeurs possibles 0 et 1 ou succès et échec, la distribution de base utilisée est la distribution Beta qui est définie sur [0, 1] et paramétrée par deux valeurs $\alpha$ et $\beta$ \cite{9870279}.
	10	10
La deuxième partie de ce chapitre présente l'intégration de tous les algorithmes développés et explicités dans les chapitres précédents. Le modèle intégré est appliqué au AI-VT système sur une base de données générée et une base de données réelle. Plusieurs types de test sont exécutés pour montrer que le modèle final permet en effet d'améliorer les capacités d'identification et adaptation.	11	11	La deuxième partie de ce chapitre présente l'intégration de tous les algorithmes développés et explicités dans les chapitres précédents. Le modèle intégré est appliqué au système AI-VT sur une base de données générée et une base de données réelle. Plusieurs types de test sont exécutés pour montrer que le modèle final permet en effet d'améliorer les capacités d'identification et adaptation.
	12	12
Les contributions de la deuxième partie sont :	13	13	Les contributions de la deuxième partie sont :
\begin{itemize}	14	14	\begin{itemize}
\item Vérification de l'efficacité du modèle de raisonnement à partir de cas pour la prédiction avec une base de données de notes d'apprenants par rapport à d'autres algorithmes.	15	15	\item Vérification de l'efficacité du modèle de raisonnement à partir de cas pour la prédiction avec une base de données de notes d'apprenants par rapport à d'autres algorithmes.
\item Calcul explicite de l'évolution de l'acquisition des connaissances en analysant le changement des distributions de probabilité générées par le modèle de recommandation stochastique.	16	16	\item Calcul explicite de l'évolution de l'acquisition des connaissances en analysant le changement des distributions de probabilité générées par le modèle de recommandation stochastique.
\item Intégration du modèle de recommandation stochastique à la prédiction par raisonnement à partir de cas pour améliorer la personnalisation de l'ITS.	17	17	\item Intégration du modèle de recommandation stochastique à la prédiction par raisonnement à partir de cas pour améliorer la personnalisation de l'ITS.
\end{itemize}	18	18	\end{itemize}
	19	19
L'un des principaux modules des EIAH est le système de recommandation, qui vise à trouver les faiblesses et à adapter la plateforme localement ou globalement pour faciliter le processus d'apprentissage et l'acquisition des connaissances, ce module est très important car il permet d'adapter le système et de personnaliser les contenus et les exercices en fonction des besoins et des résultats de chacun des apprenants, l'efficacité du système dans l'acquisition des connaissances et l'adaptation aux différents types d'apprentissage dépend de ce module \cite{Liu2023}. Il est donc nécessaire de trouver des techniques et des algorithmes capables d'exploiter les données disponibles et d'explorer les options d'apprentissage de manière dynamique, afin d'améliorer les performances globales des EIAH.	20	20	L'un des principaux modules des EIAH est le système de recommandation, qui vise à trouver les faiblesses et à adapter la plateforme localement ou globalement pour faciliter le processus d'apprentissage et l'acquisition des connaissances, ce module est très important car il permet d'adapter le système et de personnaliser les contenus et les exercices en fonction des besoins et des résultats de chacun des apprenants, l'efficacité du système dans l'acquisition des connaissances et l'adaptation aux différents types d'apprentissage dépend de ce module \cite{Liu2023}. Il est donc nécessaire de trouver des techniques et des algorithmes capables d'exploiter les données disponibles et d'explorer les options d'apprentissage de manière dynamique, afin d'améliorer les performances globales des EIAH.
	21	21
Dans la troisième partie seront détaillées les contributions réalisées avec l'incorporation du processus de Hawkes :	22	22	Dans la troisième partie seront détaillées les contributions réalisées avec l'incorporation du processus de Hawkes :
	23	23
\begin{itemize}	24	24	\begin{itemize}
\item Simulation de la courbe d'oubli dans le processus d'apprentissage à l'aide du processus stochastique de Hawkes.	25	25	\item Simulation de la courbe d'oubli dans le processus d'apprentissage à l'aide du processus stochastique de Hawkes.
\item Intégration du raisonnement par cas, des systèmes multi-agents et du processus de Hawkes dans un algorithme de recommandation.	26	26	\item Intégration du raisonnement par cas, des systèmes multi-agents et du processus de Hawkes dans un algorithme de recommandation.
\item Vérification de la progression, de la stabilité, la précision et évolution de l'algorithme de recommandation stochastique proposé à l'aide de bases de données simulées et hétérogènes d'étudiants réels.\\\\	27	27	\item Vérification de la progression, de la stabilité, la précision et évolution de l'algorithme de recommandation stochastique proposé à l'aide de bases de données simulées et hétérogènes d'étudiants réels.\\\\
\end{itemize}	28	28	\end{itemize}
	29	29
\section{PREMIÈRE PARTIE}	30	30	\section{PREMIÈRE PARTIE}
	31	31
\subsection{Modèle Proposé}	32	32	\subsection{Modèle Proposé}
	33	33
Le modèle proposé, en tant que système de recommandation, prend en compte les notes antérieures des apprenants pour estimer leurs connaissances et leur maîtrise des différentes compétences, sous-compétences et niveaux de complexité au sein du système AI-VT, puis adapte les sessions pour maximiser l'acquisition des connaissances et la maîtrise des différents domaines contenus dans la même compétence définie. Le modèle est conçu comme une modification de l'algorithme d'échantillonnage de Thompson avec l'intégration de l'échantillonnage stratifié pour obtenir l'adaptation.	34	34	Le modèle proposé, en tant que système de recommandation, prend en compte les notes antérieures des apprenants pour estimer leurs connaissances et leur maîtrise des différentes compétences, sous-compétences et niveaux de complexité au sein du système AI-VT, puis adapte les séances pour maximiser l'acquisition des connaissances et la maîtrise des différents domaines contenus dans la même compétence définie. Le modèle est conçu comme une modification de l'algorithme d'échantillonnage de Thompson avec l'intégration de l'échantillonnage stratifié pour obtenir l'adaptation.
	35	35
On utilise la famille Beta de distributions de probabilité pour définir dynamiquement le nouveau niveau de complexité (équation \ref{eqBeta}) inspiré de l'algorithme d'échantillonnage de Thompson. Cette version du modèle permet de recommander des niveaux de complexité non contigus, mais la priorité est de recommander les niveaux dans lesquels des défauts ont été détectés. La paramétrisation initiale de toutes les distributions de probabilité peut forcer le modèle à recommander des niveaux de complexité contigus plus élémentaires.	36	36	La famille de distributions de probabilité Betq est utilisée pour définir dynamiquement le nouveau niveau de complexité (équation \ref{eqBeta}) inspiré de l'algorithme d'échantillonnage de Thompson. Cette version du modèle permet de recommander des niveaux de complexité non contigus, mais la priorité est de recommander les niveaux dans lesquels des défauts ont été détectés. La paramétrisation initiale de toutes les distributions de probabilité peut forcer le modèle à recommander des niveaux de complexité contigus plus élémentaires.
	37	37
\begin{equation}	38	38	\begin{equation}
B(x, \alpha, \beta) =	39	39	B(x, \alpha, \beta) =
\begin{cases}	40	40	\begin{cases}
\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta - 1}}{\int_0^1 u^{\alpha - 1}(1-u)^{\beta - 1}du} & si \; x \in [0, 1] \\	41	41	\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta - 1}}{\int_0^1 u^{\alpha - 1}(1-u)^{\beta - 1}du} & si \; x \in [0, 1] \\
0&sinon	42	42	0&sinon
\end{cases}	43	43	\end{cases}
\label{eqBeta}	44	44	\label{eqBeta}
\end{equation}	45	45	\end{equation}
	46	46
Les variables qui font partie du modèle sont spécifiées dans le tableau \ref{tabPar}.	47	47	Les variables qui font partie du modèle sont spécifiées dans le tableau \ref{tabPar}.
	48	48
\begin{table}[!ht]	49	49	\begin{table}[!ht]
\centering	50	50	\centering
\begin{tabular}{ccc}	51	51	\begin{tabular}{ccc}
ID&Description&Domain\\	52	52	ID&Description&Domain\\
\hline	53	53	\hline
$c_n$&Niveaux de complexité&$\mathbb{N} \; \| \; c_n>0$\\	54	54	$c_n$&Niveaux de complexité&$\mathbb{N} \; \| \; c_n>0$\\
$g_m$&Valeur maximale dans l'échelle des notes& $\mathbb{N} \;\|\; g_m>0$ \\	55	55	$g_m$&Valeur maximale dans l'échelle des notes& $\mathbb{N} \;\|\; g_m>0$ \\
$g_t$&Seuil de notation &$(0, g_m) \in \mathbb{R}$\\	56	56	$g_t$&Seuil de notation &$(0, g_m) \in \mathbb{R}$\\
$s$&Nombre de parcours définis&$\mathbb{N} \; \| \; s>0$\\	57	57	$s$&Nombre de parcours définis&$\mathbb{N} \; \| \; s>0$\\
$s_c$&Parcours courant fixe défini&$[1, s] \in \mathbb{N}$\\	58	58	$s_c$&Parcours courant fixe défini&$[1, s] \in \mathbb{N}$\\
$\Delta s$&Pas pour les paramètres de la distribution bêta dans le parcours $s$ &$(0,1) \in \mathbb{R}$\\	59	59	$\Delta s$&Pas pour les paramètres de la distribution bêta dans le parcours $s$ &$(0,1) \in \mathbb{R}$\\
$t_m$&Valeur maximale du temps de réponse&$\mathbb{R} \; \| \; t_m>0$\\	60	60	$t_m$&Valeur maximale du temps de réponse&$\mathbb{R} \; \| \; t_m>0$\\
$g_{c}$&Note de l'apprenant à une question de complexité $c$&$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\	61	61	$g_{c}$&Note de l'apprenant à une question de complexité $c$&$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\
$ng_c$&Grade de l'apprenant avec pénalisation du temps &$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\	62	62	$ng_c$&Grade de l'apprenant avec pénalisation du temps &$[0, g_m] \in \mathbb{R}$\\
$t_{c}$&Le temps de réponse à une question de complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\	63	63	$t_{c}$&Le temps de réponse à une question de complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\
$ncl$&Nouveau niveau de complexité calculé&$\mathbb{N}$\\	64	64	$ncl$&Nouveau niveau de complexité calculé&$\mathbb{N}$\\
$\alpha_{c}$&Valeur de $\alpha$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \alpha_{c}>0$\\	65	65	$\alpha_{c}$&Valeur de $\alpha$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \alpha_{c}>0$\\
$\beta_{c}$&Valeur de $\beta$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \beta_{c}>0$\\	66	66	$\beta_{c}$&Valeur de $\beta$ dans la complexité $c$&$\mathbb{R} \; \| \; \beta_{c}>0$\\
$\Delta \beta$&Pas initial du paramètre bêta&$\mathbb{N} \; \| \; \Delta \beta >0$\\	67	67	$\Delta \beta$&Pas initial du paramètre bêta&$\mathbb{N} \; \| \; \Delta \beta >0$\\
$\lambda$&Poids de la pénalisation temporelle&$(0,1) \in \mathbb{R}$\\	68	68	$\lambda$&Poids de la pénalisation temporelle&$(0,1) \in \mathbb{R}$\\
$G_c$&Ensemble de $d$ notes dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}^d \;, d\in \mathbb{N} \; \| \; d>0$\\	69	69	$G_c$&Ensemble de $d$ notes dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}^d \;, d\in \mathbb{N} \; \| \; d>0$\\
$x_c$&Notes moyennes normalisées&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\	70	70	$x_c$&Notes moyennes normalisées&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\
$n_c$&Nombre total de questions dans une session&$\mathbb{N} \; \| \; n_c>0$\\	71	71	$n_c$&Nombre total de questions dans une séance&$\mathbb{N} \; \| \; n_c>0$\\
$ny_c$&Nombre de questions dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{N} \; \| \; 0<ny_c \le n_c$\\	72	72	$ny_c$&Nombre de questions dans le niveau de complexité $c$&$\mathbb{N} \; \| \; 0<ny_c \le n_c$\\
$y_c$&Proportion de questions dans le niveau de complexité $c$&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\	73	73	$y_c$&Proportion de questions dans le niveau de complexité $c$&$[0, 1] \in \mathbb{R}$\\
$r$&Valeur totale de la métrique définie pour l'adaptabilité&$[0, c_n] \in \mathbb{R}$\\	74	74	$r$&Valeur totale de la métrique définie pour l'adaptabilité&$[0, c_n] \in \mathbb{R}$\\
$sc$&Valeur totale de la métrique de similarité cosinus&$[-1, 1] \in \mathbb{R}$\\	75	75	$sc$&Valeur totale de la métrique de similarité cosinus&$[-1, 1] \in \mathbb{R}$\\
\end{tabular}	76	76	\end{tabular}
\caption{Variables et paramètres du modèle proposé}	77	77	\caption{Variables et paramètres du modèle proposé}
\label{tabPar}	78	78	\label{tabPar}
\end{table}	79	79	\end{table}
	80	80
Dans ce cas, il est nécessaire d'utiliser la variable de seuil de grade $g_t$ pour déterminer la variabilité de la distribution de probabilité pour chaque niveau de complexité. Les équations \ref{eqsMg}, \ref{eqgtc} et \ref{eqltc} montrent les règles de mise à jour corrélées, ces règles modifient les valeurs par récompense inverse. Chaque niveau de complexité est associé à une distribution de probabilité Beta avec des valeurs initiales prédéfinies pour les paramètres $\alpha$ et $\beta$.	81	81	Dans ce cas, il est nécessaire d'utiliser la variable de seuil de grade $g_t$ pour déterminer la variabilité de la distribution de probabilité pour chaque niveau de complexité. Les équations \ref{eqsMg}, \ref{eqgtc} et \ref{eqltc} montrent les règles de mise à jour corrélées, ces règles modifient les valeurs par récompense inverse. Chaque niveau de complexité est associé à une distribution de probabilité Beta avec des valeurs initiales prédéfinies pour les paramètres $\alpha$ et $\beta$.
	82	82
\begin{equation}	83	83	\begin{equation}
ng_c=g_c	84	84	ng_c=g_c
\label{eqsMg}	85	85	\label{eqsMg}
\end{equation}	86	86	\end{equation}
	87	87
\begin{equation}	88	88	\begin{equation}
ng_c \ge g_t \rightarrow	89	89	ng_c \ge g_t \rightarrow
\begin{cases}	90	90	\begin{cases}
\beta_c=\beta_c+\Delta_s\\	91	91	\beta_c=\beta_c+\Delta_s\\
\beta_{c-1}=\beta_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\	92	92	\beta_{c-1}=\beta_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\
\alpha_{c+1}=\alpha_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}	93	93	\alpha_{c+1}=\alpha_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}
\end{cases}	94	94	\end{cases}
\label{eqgtc}	95	95	\label{eqgtc}
\end{equation}	96	96	\end{equation}
	97	97
\begin{equation}	98	98	\begin{equation}
ng_c < g_t \rightarrow	99	99	ng_c < g_t \rightarrow
\begin{cases}	100	100	\begin{cases}
\alpha_c=\alpha_c+\Delta_s\\	101	101	\alpha_c=\alpha_c+\Delta_s\\
\alpha_{c-1}=\alpha_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\	102	102	\alpha_{c-1}=\alpha_{c-1} + \frac{\Delta_s}{2}\\
\beta_{c+1}=\beta_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}	103	103	\beta_{c+1}=\beta_{c+1} + \frac{\Delta_s}{2}
\end{cases}	104	104	\end{cases}
\label{eqltc}	105	105	\label{eqltc}
\end{equation}	106	106	\end{equation}
	107	107
Le nouveau niveau de complexité est l'indice de la valeur aléatoire maximale (générée à partir de la distribution Beta de chaque niveau de complexité, équation \ref{eqBRnd}) pour tous les niveaux de complexité (équation \ref{eqsncl}).	108	108	Le nouveau niveau de complexité est l'indice de la valeur aléatoire maximale (générée à partir de la distribution Beta de chaque niveau de complexité, équation \ref{eqBRnd}) pour tous les niveaux de complexité (équation \ref{eqsncl}).
	109	109
\begin{equation}	110	110	\begin{equation}
\theta_c = Beta(\alpha_c, \beta_c)	111	111	\theta_c = Beta(\alpha_c, \beta_c)
\label{eqBRnd}	112	112	\label{eqBRnd}
\end{equation}	113	113	\end{equation}
	114	114
\begin{equation}	115	115	\begin{equation}
ncl=max_x(\mathbb{E}[\theta_x]), 0<=x<=c_n	116	116	ncl=max_x(\mathbb{E}[\theta_x]), 0<=x<=c_n
\label{eqsncl}	117	117	\label{eqsncl}
\end{equation}	118	118	\end{equation}
	119	119
La note des apprenants peut considérer aussi le temps de réponse comme une pénalité, et dans ce cas-là la note est calcule comme la équation \ref{eqsGT}.	120	120	La note des apprenants peut considérer aussi le temps de réponse comme une pénalité, et dans ce cas-là la note est calcule comme la équation \ref{eqsGT}.
	121	121
\begin{equation}	122	122	\begin{equation}
ng_c=g_c- \left(g_c * \lambda * \frac{t_c}{t_m} \right)	123	123	ng_c=g_c- \left(g_c * \lambda * \frac{t_c}{t_m} \right)
\label{eqsGT}	124	124	\label{eqsGT}
\end{equation}	125	125	\end{equation}
	126	126
Le détail des pas d'exécution du modèle proposé sont dans l'algorithme \ref{alg2}.	127	127	Le détail des pas d'exécution du modèle proposé sont dans l'algorithme \ref{alg2}.
	128	128
\begin{algorithm}	129	129	\begin{algorithm}
\caption{Stochastic Recommendation Model}	130	130	\caption{Stochastic Recommendation Model}
\begin{algorithmic}	131	131	\begin{algorithmic}
\State Initialize the a-priori distributions of probability	132	132	\State Initialize the a-priori distributions of probability
\For {\textbf{each} questions $q$}	133	133	\For {\textbf{each} questions $q$}
\State With $i$ as actual complexity level $c$	134	134	\State With $i$ as actual complexity level $c$
\State Calculate $ng_i$ \Comment{eq \ref{eqsMg} or eq \ref{eqsGT}}	135	135	\State Calculate $ng_i$ \Comment{eq \ref{eqsMg} or eq \ref{eqsGT}}
\State Update parameters $\alpha_i$ and $\beta_i$ \Comment{eq \ref{eqgtc} and eq \ref{eqltc}}	136	136	\State Update parameters $\alpha_i$ and $\beta_i$ \Comment{eq \ref{eqgtc} and eq \ref{eqltc}}
\State Get random values $\theta_c$ with Beta distribution\Comment{$\forall c$, eq \ref{eqBRnd}}	137	137	\State Get random values $\theta_c$ with Beta distribution\Comment{$\forall c$, eq \ref{eqBRnd}}
\State Get $ncl$ \Comment{eq \ref{eqsncl}}	138	138	\State Get $ncl$ \Comment{eq \ref{eqsncl}}
\EndFor	139	139	\EndFor
\end{algorithmic}	140	140	\end{algorithmic}
\label{alg2}	141	141	\label{alg2}
\end{algorithm}	142	142	\end{algorithm}
	143	143
\subsection{Résultats}	144	144	\subsection{Résultats}
	145	145
Le comportement du modèle a été testé avec un jeu de données généré, ce jeu de données contient les notes et les temps de réponse de 1000 apprenants pour 5 niveaux de complexité différents, la description des données est indiquée dans le Tableau \ref{tabDataSet}. Les notes des apprenants sont générées avec la distribution logit-normale de probabilité, car c'est expérimentalement le meilleur modèle de représentation \cite{Arthurs}.	146	146	Le comportement du modèle a été testé avec un jeu de données généré, ce jeu de données contient les notes et les temps de réponse de 1000 apprenants pour 5 niveaux de complexité différents, la description des données est indiquée dans le Tableau \ref{tabDataSet}. Les notes des apprenants sont générées avec la distribution logit-normale de probabilité, car c'est expérimentalement le meilleur modèle de représentation \cite{Arthurs}.
	147	147
L'ensemble de données généré est une simulation des notes des apprenants pour les réponses à quinze questions à chacun des cinq niveaux de complexité. L'ensemble de données simule, via la distribution de probabilité logit-normale, une faiblesse dans chaque niveau de complexité pour 70\% des apprenants dans les dix premières questions. La difficulté de la complexité est également simulée en réduisant le score moyen et en augmentant la variance. La figure \ref{figData} montre la distribution de l'ensemble de données des notes de 1000 apprenants par niveau de complexité.	148	148	L'ensemble de données généré est une simulation des notes des apprenants pour les réponses à quinze questions à chacun des cinq niveaux de complexité. L'ensemble de données simule, via la distribution de probabilité logit-normale, une faiblesse dans chaque niveau de complexité pour 70\% des apprenants dans les dix premières questions. La difficulté de la complexité est également simulée en réduisant le score moyen et en augmentant la variance. La figure \ref{figData} montre la distribution de l'ensemble de données des notes de 1000 apprenants par niveau de complexité.
	149	149
\begin{figure}	150	150	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/dataset.png}	151	151	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/dataset.png}
\caption{Boîte à moustaches pour la base de données générée}	152	152	\caption{Boîte à moustaches pour la base de données générée}
\label{figData}	153	153	\label{figData}
\end{figure}	154	154	\end{figure}
	155	155
\begin{table}[!ht]	156	156	\begin{table}[!ht]
\centering	157	157	\centering
\begin{tabular}{ccc}	158	158	\begin{tabular}{ccc}
ID&Description&Domain\\	159	159	ID&Description&Domain\\
\hline	160	160	\hline
$q_{c}$&Niveau de complexité de une question $q$&$[0, c_n] \in \mathbb{N}$\\	161	161	$q_{c}$&Niveau de complexité de une question $q$&$[0, c_n] \in \mathbb{N}$\\
$q_{g,c}$&Note obtenue $g$ pour la question $q$ avec complexité $c$ &$[0,g_m] \in \mathbb{R}$\\	162	162	$q_{g,c}$&Note obtenue $g$ pour la question $q$ avec complexité $c$ &$[0,g_m] \in \mathbb{R}$\\
$q_{t,c}$&Temps employé $t$ pour une question $q$ avec complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\	163	163	$q_{t,c}$&Temps employé $t$ pour une question $q$ avec complexité $c$&$[0, t_m] \in \mathbb{R}$\\
\end{tabular}	164	164	\end{tabular}
\caption{Description des variables utilisées dans la base de données evaluée}	165	165	\caption{Description des variables utilisées dans la base de données evaluée}
\label{tabDataSet}	166	166	\label{tabDataSet}
\end{table}	167	167	\end{table}
	168	168
Toutes les valeurs des paramètres pour tester le modèle sont dans le tableau \ref{tabgm1}.	169	169	Toutes les valeurs des paramètres pour tester le modèle sont dans le tableau \ref{tabgm1}.
	170	170
\begin{table}[!ht]	171	171	\begin{table}[!ht]
\centering	172	172	\centering
\begin{tabular}{c\|cccccccccccccc}	173	173	\begin{tabular}{c\|cccccccccccccc}
ID&$c_n$&$g_m$&$t_m$&$s$&$s_c$&$\lambda$&$g_t$&$\alpha_{x,1}$&$\alpha_{x,y}$&$\beta_{x,1}$&$\Delta \beta_{x,y}$&$\Delta_1$&$\Delta_2$&$\Delta_3$\\	174	174	ID&$c_n$&$g_m$&$t_m$&$s$&$s_c$&$\lambda$&$g_t$&$\alpha_{x,1}$&$\alpha_{x,y}$&$\beta_{x,1}$&$\Delta \beta_{x,y}$&$\Delta_1$&$\Delta_2$&$\Delta_3$\\
\hline	175	175	\hline
Valeur&5&10&120&3&2&0.25&6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0.3 & 0.5 & 0.7\\	176	176	Valeur&5&10&120&3&2&0.25&6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0.3 & 0.5 & 0.7\\
\end{tabular}	177	177	\end{tabular}
\caption{Valeurs des paramètres pour les scénarios evalués}	178	178	\caption{Valeurs des paramètres pour les scénarios evalués}
\label{tabgm1}	179	179	\label{tabgm1}
\end{table}	180	180	\end{table}
	181	181
Les résultats de la première comparaison sans données historiques (démarrage à froid) entre le modèle proposé, un système de recommandation déterministe et le système original (CBR) sont présentés dans la figure \ref{figCmp2}, où apparaissent différents nombres et échelles de transitions, le système original ne présente pas de transitions, tous les apprenants sont évalués au niveau de complexité 0, les notes obtenues pendant la session ne sont pas prises en compte. Le système avec des modèles de recommandation tente d'adapter le niveau de complexité en fonction des notes obtenues. Le modèle déterministe génère quatre grandes transitions avec un grand nombre d'apprenants dans les questions 5, 6, 8 et 12, toutes entre des niveaux de complexité contigus, la tendance est à la baisse pour les niveaux 0, 1 et 2 après la huitième question et à la hausse pour les niveaux 1 et 3. Le modèle proposé (stochastique), commence par proposer tous les niveaux de complexité possibles mais se concentre sur le niveau 0, les transitions sont constantes mais pour un petit nombre d'apprenants, la tendance après la dixième question est à la baisse pour les niveaux 0 et 4 et à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3. La tendance est à la baisse pour les niveaux 0 et 4 et à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3. La tendance est à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3.	182	182	Les résultats de la première comparaison sans données historiques (démarrage à froid) entre le modèle proposé, un système de recommandation déterministe et le système original (RàPC) sont présentés dans la figure \ref{figCmp2}, où apparaissent différents nombres et échelles de transitions, le système original ne présente pas de transitions, tous les apprenants sont évalués au niveau de complexité 0, les notes obtenues pendant la séance ne sont pas prises en compte. Le système avec des modèles de recommandation tente d'adapter le niveau de complexité en fonction des notes obtenues. Le modèle déterministe génère quatre grandes transitions avec un grand nombre d'apprenants dans les questions 5, 6, 8 et 12, toutes entre des niveaux de complexité contigus, la tendance est à la baisse pour les niveaux 0, 1 et 2 après la huitième question et à la hausse pour les niveaux 1 et 3. Le modèle proposé (stochastique), commence par proposer tous les niveaux de complexité possibles mais se concentre sur le niveau 0, les transitions sont constantes mais pour un petit nombre d'apprenants, la tendance après la dixième question est à la baisse pour les niveaux 0 et 4 et à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3. La tendance est à la baisse pour les niveaux 0 et 4 et à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3. La tendance est à la hausse pour les niveaux 1, 2 et 3.
	183	183
\begin{figure}	184	184	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp2.png}	185	185	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp2.png}
\caption{Résultats pour le premier test}	186	186	\caption{Résultats pour le premier test}
\label{figCmp2}	187	187	\label{figCmp2}
\end{figure}	188	188	\end{figure}
	189	189
Après la génération de la première session, le système peut continuer avec la liste suivante d'exercices, dans ce cas les trois modèles ont été initialisés avec les mêmes données, et des valeurs égales pour tous les apprenants. La figure \ref{figCmp3} permet de voir la première transition du système original, cette transition montre que le système agit uniquement avec les notes obtenues dans le passé et les transitions sont très lentes, même si les notes sont différentes au cours de la session, tous les apprenants doivent suivre le même chemin. Cependant, les modèles de recommandation changent, le modèle déterministe présente trois transitions dans les questions 3, 5 et 12. Les tendances sont statiques pour le niveau 3, variables pour le niveau 2 et fortement descendantes pour le niveau 0. Le modèle stochastique continue avec des transitions douces mais essaie toujours de préférer le niveau le plus faible, dans ce cas le modèle a identifié le niveau de complexité 1. Ici, les niveaux 0 et 1 sont descendants, le niveau 2 est statique et les niveaux 3 et 4 sont ascendants.	190	190	Après la génération de la première séance, le système peut continuer avec la liste suivante d'exercices, dans ce cas les trois modèles ont été initialisés avec les mêmes données, et des valeurs égales pour tous les apprenants. La figure \ref{figCmp3} permet de voir la première transition du système original, cette transition montre que le système agit uniquement avec les notes obtenues dans le passé et les transitions sont très lentes, même si les notes sont différentes au cours de la séance, tous les apprenants doivent suivre le même chemin. Cependant, les modèles de recommandation changent, le modèle déterministe présente trois transitions dans les questions 3, 5 et 12. Les tendances sont statiques pour le niveau 3, variables pour le niveau 2 et fortement descendantes pour le niveau 0. Le modèle stochastique continue avec des transitions douces mais essaie toujours de préférer le niveau le plus faible, dans ce cas le modèle a identifié le niveau de complexité 1. Ici, les niveaux 0 et 1 sont descendants, le niveau 2 est statique et les niveaux 3 et 4 sont ascendants.
	191	191
\begin{figure}	192	192	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp3.png}	193	193	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp3.png}
\caption{Résultats pour le deuxième Test}	194	194	\caption{Résultats pour le deuxième Test}
\label{figCmp3}	195	195	\label{figCmp3}
\end{figure}	196	196	\end{figure}
	197	197
Enfin, les données d'initialisation considèrent comme évalués deux niveaux de complexité 0 et 1, alors naturellement le système doit commencer avec le niveau 1 ou 2. Comme le système original est très lent à passer d'un niveau à l'autre, ce système commence par le niveau de complexité 1, comme le montre la figure \ref{figCmp4}, comme les deux autres comparaisons, les changements dans ce système ne sont pas progressifs, mais directs pour tous. Dans ce cas, le modèle de recommandation déterministe adopte la même stratégie et propose un changement direct pour tous les apprenants autour de la cinquième question. Le modèle stochastique continue avec des changements faibles mais constants, mais avec une préférence pour le niveau 2, la tendance est très stable sauf pour 1 (à la hausse) et 2 (à la baisse) niveaux.	198	198	Enfin, les données d'initialisation considèrent comme évalués deux niveaux de complexité 0 et 1, alors naturellement le système doit commencer avec le niveau 1 ou 2. Comme le système original est très lent à passer d'un niveau à l'autre, ce système commence par le niveau de complexité 1, comme le montre la figure \ref{figCmp4}, comme les deux autres comparaisons, les changements dans ce système ne sont pas progressifs, mais directs pour tous. Dans ce cas, le modèle de recommandation déterministe adopte la même stratégie et propose un changement direct pour tous les apprenants autour de la cinquième question. Le modèle stochastique continue avec des changements faibles mais constants, mais avec une préférence pour le niveau 2, la tendance est très stable sauf pour 1 (à la hausse) et 2 (à la baisse) niveaux.
	199	199
\begin{figure}	200	200	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp4.png}	201	201	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/comp4.png}
\caption{Résultats pour le troisième Test}	202	202	\caption{Résultats pour le troisième Test}
\label{figCmp4}	203	203	\label{figCmp4}
\end{figure}	204	204	\end{figure}
	205	205
Pour comparer numériquement le système original, le modèle déterministe et le modèle de recommandation proposé, un ensemble d'équations a été défini (équation \ref{eqMetric1} et équation \ref{eqMetric2}) qui décrit le système de recommandation idéal si l'objectif de l'apprenant est l'apprentissage standard, la métrique calcule une valeur pour chaque niveau de complexité en fonction de la moyenne des notes et du nombre de questions recommandées dans ce niveau de complexité. L'objectif de cette métrique est d'attribuer un score élevé aux systèmes de recommandation qui proposent plus d'exercices au niveau de complexité où l'apprenant a obtenu une note moyenne plus basse, dans l'idée de renforcer les connaissances à ce niveau de complexité, de même s'ils proposent moins d'exercices aux niveaux de complexité où la note moyenne est élevée, puisqu'il est supposé que l'étudiant a déjà acquis des connaissances suffisantes à ces niveaux de complexité. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent peu d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont faibles et, inversement, s'ils proposent beaucoup d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont élevées.	206	206	Pour comparer numériquement le système original, le modèle déterministe et le modèle de recommandation proposé, un ensemble d'équations a été défini (équation \ref{eqMetric1} et équation \ref{eqMetric2}) qui décrit le système de recommandation idéal si l'objectif de l'apprenant est l'apprentissage standard, la métrique calcule une valeur pour chaque niveau de complexité en fonction de la moyenne des notes et du nombre de questions recommandées dans ce niveau de complexité. L'objectif de cette métrique est d'attribuer un score élevé aux systèmes de recommandation qui proposent plus d'exercices au niveau de complexité où l'apprenant a obtenu une note moyenne plus basse, dans l'idée de renforcer les connaissances à ce niveau de complexité, de même s'ils proposent moins d'exercices aux niveaux de complexité où la note moyenne est élevée, puisqu'il est supposé que l'étudiant a déjà acquis des connaissances suffisantes à ces niveaux de complexité. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent peu d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont faibles et, inversement, s'ils proposent beaucoup d'exercices à des niveaux de complexité dont les notes moyennes sont élevées.
	207	207
\begin{equation}	208	208	\begin{equation}
%r_c=x+y-2xy	209	209	%r_c=x+y-2xy
%r_c=x^2+y^2-2x^2y^2	210	210	%r_c=x^2+y^2-2x^2y^2
rp_c(x)=e^{-2(x_{0,c}+x_{1,c}-1)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}	211	211	rp_c(x)=e^{-2(x_{0,c}+x_{1,c}-1)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}
\label{eqMetric1}	212	212	\label{eqMetric1}
\end{equation}	213	213	\end{equation}
	214	214
\begin{equation}	215	215	\begin{equation}
r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rp_c	216	216	r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rp_c
\label{eqMetric2}	217	217	\label{eqMetric2}
\end{equation}	218	218	\end{equation}
	219	219
Les propriétés de la métrique sont :	220	220	Les propriétés de la métrique sont :
\begin{itemize}	221	221	\begin{itemize}
\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rp_c(x)>0$	222	222	\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rp_c(x)>0$
\item $max(rp_c(x))=1; \; if \; x_{0,c}+x_{1,c}=1$	223	223	\item $max(rp_c(x))=1; \; if \; x_{0,c}+x_{1,c}=1$
\item $min(rp_c(x))=0.1353; \; if \; \left ( \sum_{i=1}^2 x_{i,c}=0 \; \lor \; \sum_{i=1}^2 x_{i,c} = 2 \right )$\\	224	224	\item $min(rp_c(x))=0.1353; \; if \; \left ( \sum_{i=1}^2 x_{i,c}=0 \; \lor \; \sum_{i=1}^2 x_{i,c} = 2 \right )$\\
\end{itemize}	225	225	\end{itemize}
	226	226
Dans l'équation \ref{eqMetric1}, $x_{0,c}$ est la moyenne normalisée des notes dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqXc}), et $x_{1,c}$ est le nombre normalisé de questions répondues dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqYc}).	227	227	Dans l'équation \ref{eqMetric1}, $x_{0,c}$ est la moyenne normalisée des notes dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqXc}), et $x_{1,c}$ est le nombre normalisé de questions répondues dans le niveau de complexité $c$ (équation \ref{eqYc}).
	228	228
\begin{equation}	229	229	\begin{equation}
x_{0,c}=\frac{<g_c>_{G_c}}{g_m}	230	230	x_{0,c}=\frac{<g_c>_{G_c}}{g_m}
\label{eqXc}	231	231	\label{eqXc}
\end{equation}	232	232	\end{equation}
	233	233
\begin{equation}	234	234	\begin{equation}
x_{1,c}=\frac{ny_c}{n_c}	235	235	x_{1,c}=\frac{ny_c}{n_c}
\label{eqYc}	236	236	\label{eqYc}
\end{equation}	237	237	\end{equation}
	238	238
La figure \ref{figMetric} montre l'équation globale pour la métrique $rp$ dans le domaine de deux variables $x_{0,c}$ et $x_{1,c}$. La valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique est de 1, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est de 5. Un bon système de recommandation devrait donc avoir une valeur $r$ élevée.	239	239	La figure \ref{figMetric} montre l'équation globale pour la métrique $rp$ dans le domaine de deux variables $x_{0,c}$ et $x_{1,c}$. La valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique est de 1, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est de 5. Un bon système de recommandation devrait donc avoir une valeur $r$ élevée.
	240	240
\begin{figure}	241	241	\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric.png}	242	242	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric.png}
\caption{Métrique pour le parcours standard}	243	243	\caption{Métrique pour le parcours standard}
\label{figMetric}	244	244	\label{figMetric}
\end{figure}	245	245	\end{figure}
	246	246
Les résultats des calculs de la métrique établie pour le système original et les deux modèles dans les trois scénarios définis sont présentés dans le tableau \ref{tabRM}.	247	247	Les résultats des calculs de la métrique établie pour le système original et les deux modèles dans les trois scénarios définis sont présentés dans le tableau \ref{tabRM}.
	248	248
\begin{table}[!ht]	249	249	\begin{table}[!ht]
\centering	250	250	\centering
\begin{tabular}{cccccccc}	251	251	\begin{tabular}{cccccccc}
&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\	252	252	&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\
\hline	253	253	\hline
Test 1\\	254	254	Test 1\\
\hline	255	255	\hline
CBR&0.5388&-&-&-&-&0.5388&10.776\\	256	256	RàPC&0.5388&-&-&-&-&0.5388&10.776\\
DM&0.8821&0.7282&\textbf{0.9072}&\textbf{0.8759}&-&3.3934&67.868\\	257	257	DM&0.8821&0.7282&\textbf{0.9072}&\textbf{0.8759}&-&3.3934&67.868\\
SM&\textbf{0.9463}&\textbf{0.8790}&0.7782&0.7108&0.6482&\textbf{3.9625}&\textbf{79.25}\\	258	258	SM&\textbf{0.9463}&\textbf{0.8790}&0.7782&0.7108&0.6482&\textbf{3.9625}&\textbf{79.25}\\
\hline	259	259	\hline
Test 2\\	260	260	Test 2\\
\hline	261	261	\hline
CBR&0.9445&\textbf{0.9991}&-&-&-&1.9436&38.872\\	262	262	RàPC&0.9445&\textbf{0.9991}&-&-&-&1.9436&38.872\\
DM&-&0.9443&\textbf{0.8208}&\textbf{0.9623}&-&2.7274&54.548\\	263	263	DM&-&0.9443&\textbf{0.8208}&\textbf{0.9623}&-&2.7274&54.548\\
SM&\textbf{0.9688}&0.9861&0.8067&0.7161&0.6214&\textbf{4.0991}&\textbf{81.982}\\	264	264	SM&\textbf{0.9688}&0.9861&0.8067&0.7161&0.6214&\textbf{4.0991}&\textbf{81.982}\\
\hline	265	265	\hline
Test3\\	266	266	Test3\\
\hline	267	267	\hline
CBR&-&0.8559&0.7377&-&-&1.5936&31.872	268	268	RàPC&-&0.8559&0.7377&-&-&1.5936&31.872
\\	269	269	\\
DM&-&-&0.5538&\textbf{0.7980}&-&1.3518&27.036\\	270	270	DM&-&-&0.5538&\textbf{0.7980}&-&1.3518&27.036\\
SM&0.9089&\textbf{0.9072}&\textbf{0.9339}&0.7382&0.6544&\textbf{4.1426}&\textbf{82.852}\\	271	271	SM&0.9089&\textbf{0.9072}&\textbf{0.9339}&0.7382&0.6544&\textbf{4.1426}&\textbf{82.852}\\
\end{tabular}	272	272	\end{tabular}
\caption{Résultats de la métrique $rp_c(x)$ (CBR - Système sans modèle de recommandation, DM - Modèle deterministique, SM - Modèle stochastique)}	273	273	\caption{Résultats de la métrique $rp_c(x)$ (RàPC - Système sans modèle de recommandation, DM - Modèle deterministique, SM - Modèle stochastique)}
\label{tabRM}	274	274	\label{tabRM}
\end{table}	275	275	\end{table}
	276	276
Une métrique pour l'apprentissage en douceur est définie dans l'équation \ref{eqMetricS1} et l'équation \ref{eqMetricS2}, avec cette métrique un score élevé est attribué aux systèmes qui proposent plus d'exercices dans un niveau de complexité où les notes moyennes sont d'environ 0,4 et qui sont plus flexibles avec des notes moyennes plus basses, également si le nombre d'exercices proposés est faible pour des notes moyennes élevées. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent un nombre élevé de questions dans un niveau de complexité avec des notes moyennes élevées et si le nombre d'exercices recommandés est trop élevé ou trop faible pour les notes inférieures.	277	277	Une métrique pour l'apprentissage en douceur est définie dans l'équation \ref{eqMetricS1} et l'équation \ref{eqMetricS2}, avec cette métrique un score élevé est attribué aux systèmes qui proposent plus d'exercices dans un niveau de complexité où les notes moyennes sont d'environ 0,4 et qui sont plus flexibles avec des notes moyennes plus basses, également si le nombre d'exercices proposés est faible pour des notes moyennes élevées. Les scores faibles sont attribués aux systèmes qui recommandent un nombre élevé de questions dans un niveau de complexité avec des notes moyennes élevées et si le nombre d'exercices recommandés est trop élevé ou trop faible pour les notes inférieures.
	278	278
\begin{equation}	279	279	\begin{equation}
rs_c(x)=e^{-\frac{2}{100}(32x_{0,c}^2-28x_{0,c}+10x_{1,c}-4)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}	280	280	rs_c(x)=e^{-\frac{2}{100}(32x_{0,c}^2-28x_{0,c}+10x_{1,c}-4)^2} ; \{x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}
\label{eqMetricS1}	281	281	\label{eqMetricS1}
\end{equation}	282	282	\end{equation}
	283	283
\begin{equation}	284	284	\begin{equation}
r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rs_c	285	285	r=\sum_{c=0}^{c_n-1} rs_c
\label{eqMetricS2}	286	286	\label{eqMetricS2}
\end{equation}	287	287	\end{equation}
	288	288
Les propriétés de la métrique sont :	289	289	Les propriétés de la métrique sont :
\begin{itemize}	290	290	\begin{itemize}
\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rs_c(x)>0$	291	291	\item $\{\forall x \in \mathbb{R}^2 \| 0<=x<=1\}, rs_c(x)>0$
\item $max(rs_c(x))=1; \; if \; 16x_{0,c}^2-14x_{0,c}+5x_{1,c}-2=0$\\	292	292	\item $max(rs_c(x))=1; \; if \; 16x_{0,c}^2-14x_{0,c}+5x_{1,c}-2=0$\\
\end{itemize}	293	293	\end{itemize}
	294	294
La figure \ref{figMetric2} montre l'équation globale pour la métrique $rs$ dans le domaine de deux variables $x_{0,c}$ et $x_{1,c}$. La valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique est de 1, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est de 5, un bon système de recommandation doit donc avoir une valeur $r$ élevée.	295	295	La figure \ref{figMetric2} montre l'équation globale pour la métrique $rs$ dans le domaine de deux variables $x_{0,c}$ et $x_{1,c}$. La valeur maximale de $r$ dans un niveau de complexité spécifique est de 1, la valeur maximale globale pour les scénarios testés est de 5, un bon système de recommandation doit donc avoir une valeur $r$ élevée.
	296	296
Les résultats du calcul des métriques pour le système original et les deux modèles dans les trois scénarios définis sont présentés dans le tableau \ref{tabRM2}.	297	297	Les résultats du calcul des métriques pour le système original et les deux modèles dans les trois scénarios définis sont présentés dans le tableau \ref{tabRM2}.
	298	298
\begin{figure}[!ht]	299	299	\begin{figure}[!ht]
\centering	300	300	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric2.png}	301	301	\includegraphics[width=\textwidth]{./Figures/metric2.png}
\caption{Fonction d'évaluation métrique à chaque niveau de complexité (Soft learning)}	302	302	\caption{Fonction d'évaluation métrique à chaque niveau de complexité (Soft learning)}
\label{figMetric2}	303	303	\label{figMetric2}
\end{figure}	304	304	\end{figure}
	305	305
\begin{table}[!ht]	306	306	\begin{table}[!ht]
\centering	307	307	\centering
\begin{tabular}{cccccccc}	308	308	\begin{tabular}{cccccccc}
&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\	309	309	&$c_0$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&$c_4$&Total ($r$)&Total ($\%$)\\
\hline	310	310	\hline
Test 1\\	311	311	Test 1\\
\hline	312	312	\hline
CBR&\textbf{0.9979}&-&-&-&-&0.9979&19.96\\	313	313	RàPC&\textbf{0.9979}&-&-&-&-&0.9979&19.96\\
DM&0.8994&0.1908&\textbf{0.3773}&\textbf{0.2990}&-&1.7665&35.33\\	314	314	DM&0.8994&0.1908&\textbf{0.3773}&\textbf{0.2990}&-&1.7665&35.33\\
SM&0.8447&\textbf{0.3012}&0.2536&0.2030&\textbf{0.1709}&\textbf{1.7734}&\textbf{35.47}\\	315	315	SM&0.8447&\textbf{0.3012}&0.2536&0.2030&\textbf{0.1709}&\textbf{1.7734}&\textbf{35.47}\\
\hline	316	316	\hline
Test 2\\	317	317	Test 2\\
\hline	318	318	\hline
CBR&\textbf{0.4724}&\textbf{0.7125}&-&-&-&1.1849&23.70\\	319	319	RàPC&\textbf{0.4724}&\textbf{0.7125}&-&-&-&1.1849&23.70\\
DM&-&0.6310&\textbf{0.3901}&\textbf{0.4253}&-&1.4464&28.93\\	320	320	DM&-&0.6310&\textbf{0.3901}&\textbf{0.4253}&-&1.4464&28.93\\
SM&0.2697&0.7089&0.2634&0.2026&\textbf{0.1683}&\textbf{1.6129}&\textbf{32.26}\\	321	321	SM&0.2697&0.7089&0.2634&0.2026&\textbf{0.1683}&\textbf{1.6129}&\textbf{32.26}\\
\hline	322	322	\hline
Test3\\	323	323	Test3\\
\hline	324	324	\hline
CBR&-&\textbf{0.9179}&0.2692&-&-&1.1871&23.74	325	325	RàPC&-&\textbf{0.9179}&0.2692&-&-&1.1871&23.74
\\	326	326	\\
DM&-&-&0.2236&\textbf{0.9674}&-&1.191&23.82\\	327	327	DM&-&-&0.2236&\textbf{0.9674}&-&1.191&23.82\\
SM&0.1873&0.3038&\textbf{0.6345}&0.2394&\textbf{0.1726}&\textbf{1.5376}&\textbf{30.75}\\	328	328	SM&0.1873&0.3038&\textbf{0.6345}&0.2394&\textbf{0.1726}&\textbf{1.5376}&\textbf{30.75}\\
\end{tabular}	329	329	\end{tabular}
\caption{Résultats de la métrique $rs_c(x)$ (CBR - Système sans modèle de recommandation, DM - Modèle deterministique, SM - Modèle stochastique)}	330	330	\caption{Résultats de la métrique $rs_c(x)$ (RàPC - Système sans modèle de recommandation, DM - Modèle deterministique, SM - Modèle stochastique)}
\label{tabRM2}	331	331	\label{tabRM2}
\end{table}	332	332	\end{table}
	333	333
Pour comparer le système original et le modèle de recommandation, est utilisée la métrique de la diversité des propositions, avec la similarité en cosinus (La similarité en cosinus entre un vecteur $A$ et un vecteur $B$, Équation \ref{eqCS}) entre toutes les propositions des apprenants. Les résultats de la similarité cosinus moyenne sont présentés dans le tableau \ref{tabCS}.	334	334	Pour comparer le système original et le modèle de recommandation, est utilisée la métrique de la diversité des propositions, avec la similarité en cosinus (La similarité en cosinus entre un vecteur $A$ et un vecteur $B$, Équation \ref{eqCS}) entre toutes les propositions des apprenants. Les résultats de la similarité cosinus moyenne sont présentés dans le tableau \ref{tabCS}.
	335	335
\begin{equation}	336	336	\begin{equation}
sc=\frac{\sum_{i=1}^n A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2}}	337	337	sc=\frac{\sum_{i=1}^n A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2}}
\label{eqCS}	338	338	\label{eqCS}
\end{equation}	339	339	\end{equation}
	340	340
\begin{table}[!ht]	341	341	\begin{table}[!ht]
\centering	342	342	\centering
\begin{tabular}{cccc}	343	343	\begin{tabular}{cccc}
Model&Scenario 1&Scenario 2&Scenario 3\\	344	344	Model&Scenario 1&Scenario 2&Scenario 3\\
\hline	345	345	\hline
CBR&1&1&1\\	346	346	RàPC&1&1&1\\
DM&0.9540&0.9887&0.9989\\	347	347	DM&0.9540&0.9887&0.9989\\
SM&\textbf{0.8124}&\textbf{0.8856}&\textbf{0.9244}\\	348	348	SM&\textbf{0.8124}&\textbf{0.8856}&\textbf{0.9244}\\
\end{tabular}	349	349	\end{tabular}
\caption{Moyenne de la diversité des propositions pour tous les apprenants. Une valeur plus faible représente une plus grande diversité. (CBR - Système sans modèle de recommandation, DM - Modèle deterministique, SM - Modèle stochastique)}	350	350	\caption{Moyenne de la diversité des propositions pour tous les apprenants. Une valeur plus faible représente une plus grande diversité. (RàPC - Système sans modèle de recommandation, DM - Modèle deterministique, SM - Modèle stochastique)}
\label{tabCS}	351	351	\label{tabCS}
\end{table}	352	352	\end{table}
	353	353
\subsection{Discussion et Conclusions}	354	354	\subsection{Discussion et Conclusions}
Avec la génération d'exercices CBR, le système propose les mêmes exercices à tous les apprenants, et l'évolution des niveaux de complexité est très lente, presque un changement toutes les 3 ou 4 sessions, ceci parce que le système ne prend pas en compte les notes obtenues pendant la session. Les systèmes de recommandation sont plus dynamiques et les évolutions sont plus rapides mais en considérant les notes des apprenants, le modèle déterministe suggère des changements de niveaux à un grand nombre d'apprenants soudainement parce qu'ils sont regroupés à l'intérieur d'un intervalle de taux de maîtrise, alors que le modèle stochastique est plus axé sur la personnalisation individuelle et les changements de niveau de complexité sont produits pour un petit nombre d'apprenants. Les deux modèles proposés ont la capacité de détecter les faiblesses des apprenants et d'adapter la session à leurs besoins particuliers.	355	355	Avec la génération d'exercices RàPC, le système propose les mêmes exercices à tous les apprenants, et l'évolution des niveaux de complexité est très lente, presque un changement toutes les 3 ou 4 séances, ceci parce que le système ne prend pas en compte les notes obtenues pendant la séance. Les systèmes de recommandation sont plus dynamiques et les évolutions sont plus rapides mais en considérant les notes des apprenants, le modèle déterministe suggère des changements de niveaux à un grand nombre d'apprenants soudainement parce qu'ils sont regroupés à l'intérieur d'un intervalle de taux de maîtrise, alors que le modèle stochastique est plus axé sur la personnalisation individuelle et les changements de niveau de complexité sont produits pour un petit nombre d'apprenants. Les deux modèles proposés ont la capacité de détecter les faiblesses des apprenants et d'adapter la séance à leurs besoins particuliers.
	356	356
La base de données générée a permis de simuler diverses situations avec les notes de 1000 apprenants, permettant ainsi d'évaluer le comportement des systèmes de recommandation avec différentes configurations.	357	357	La base de données générée a permis de simuler diverses situations avec les notes de 1000 apprenants, permettant ainsi d'évaluer le comportement des systèmes de recommandation avec différentes configurations.
	358	358
Les résultats numériques utilisant la métrique définie montrent que les distributions des questions dans une session par les deux versions du modèle de recommandation sont différentes mais avec une tendance générale similaire pour tous les apprenants. Le modèle proposé tente de répartir les questions dans tous les niveaux de complexité définis. Globalement, avec la métrique définie, le modèle stochastique a obtenu un meilleur score. Par rapport au système original, le modèle de recommandation (versions déterministe et stochastique) obtient une augmentation globale de l'adaptabilité comprise entre 15\% et 68\% pour tous les niveaux de complexité.	359	359	Les résultats numériques utilisant la métrique définie montrent que les distributions des questions dans une séance par les deux versions du modèle de recommandation sont différentes mais avec une tendance générale similaire pour tous les apprenants. Le modèle proposé tente de répartir les questions dans tous les niveaux de complexité définis. Globalement, avec la métrique définie, le modèle stochastique a obtenu un meilleur score. Par rapport au système original, le modèle de recommandation (versions déterministe et stochastique) obtient une augmentation globale de l'adaptabilité comprise entre 15\% et 68\% pour tous les niveaux de complexité.
	360	360
Selon la métrique de la similarité cosinus, le modèle de recommandation proposé augmente la diversité des propositions par rapport au système original dans les trois scénarios évalués, ce qui indique qu'en plus d'atteindre l'adaptabilité, des propositions personnalisées sont générées tout en maintenant l'objectif de faire progresser les apprenants entre les niveaux de complexité. La diversité des propositions est une caractéristique essentielle du modèle de recommandation dans ses deux versions.	361	361	Selon la métrique de la similarité cosinus, le modèle de recommandation proposé augmente la diversité des propositions par rapport au système original dans les trois scénarios évalués, ce qui indique qu'en plus d'atteindre l'adaptabilité, des propositions personnalisées sont générées tout en maintenant l'objectif de faire progresser les apprenants entre les niveaux de complexité. La diversité des propositions est une caractéristique essentielle du modèle de recommandation dans ses deux versions.
	362	362
Les modules de recommandation sont une pièce essentielle pour les systèmes ITS car ils aident à guider le processus d'apprentissage individuel, permettent d'identifier les faiblesses et de réorienter le processus complet afin d'améliorer les connaissances et les compétences. Les versions du modèle proposé peuvent détecter en temps réel les faiblesses de l'apprenant et tentent de réorienter la session vers le meilleur niveau de complexité possible afin d'aider l'apprenant à acquérir et à maîtriser les connaissances avant de passer aux niveaux de complexité supérieurs, car généralement les connaissances des niveaux de complexité inférieurs sont nécessaires pour compléter les niveaux supérieurs. Même si l'ensemble de données généré est une simulation des temps de réponse et des notes des apprenants, les tests qui l'utilisent permettent de voir la flexibilité et la robustesse du modèle de recommandation proposé, car les données relatives aux apprenants présentent une grande diversité et obligent le système à s'adapter à différents types de configurations. Par conséquent, il est possible de conclure que le modèle de recommandation proposé a la capacité de fonctionner dans différentes situations et dans chaque cas de proposer des chemins alternatifs pour améliorer le processus d'apprentissage global, même si l'objectif d'apprentissage est différent pour chaque apprenant, comme le démontrent les résultats obtenus dans l'évaluation des deux métriques proposées. Le modèle proposé permet également la diversité et la personnalisation du système, puisque selon les résultats de la comparaison avec la similarité cosinus entre toutes les recommandations générées pour chaque apprenant, il y a une augmentation par rapport au système original.\\\\	363	363	Les modules de recommandation sont une pièce essentielle pour certaines EIAH car ils aident à guider le processus d'apprentissage individuel, permettent d'identifier les faiblesses et de réorienter le processus complet afin d'améliorer les connaissances et les compétences. Les versions du modèle proposé peuvent détecter en temps réel les faiblesses de l'apprenant et tentent de réorienter la séance vers le meilleur niveau de complexité possible afin d'aider l'apprenant à acquérir et à maîtriser les connaissances avant de passer aux niveaux de complexité supérieurs, car généralement les connaissances des niveaux de complexité inférieurs sont nécessaires pour compléter les niveaux supérieurs. Même si l'ensemble de données généré est une simulation des temps de réponse et des notes des apprenants, les tests qui l'utilisent permettent de voir la flexibilité et la robustesse du modèle de recommandation proposé, car les données relatives aux apprenants présentent une grande diversité et obligent le système à s'adapter à différents types de configurations. Par conséquent, il est possible de conclure que le modèle de recommandation proposé a la capacité de fonctionner dans différentes situations et dans chaque cas de proposer des chemins alternatifs pour améliorer le processus d'apprentissage global, même si l'objectif d'apprentissage est différent pour chaque apprenant, comme le démontrent les résultats obtenus dans l'évaluation des deux métriques proposées. Le modèle proposé permet également la diversité et la personnalisation du système, puisque selon les résultats de la comparaison avec la similarité cosinus entre toutes les recommandations générées pour chaque apprenant, il y a une augmentation par rapport au système original.\\\\
	364	364
\section{DEUXIÈME PARTIE}	365	365	\section{DEUXIÈME PARTIE}
	366	366
\subsection{Concepts Associés}	367	367	\subsection{Concepts Associés}
	368	368
Cette section présente les concepts, les définitions et les algorithmes nécessaires à la compréhension du modèle proposé, ainsi que les modèles et les mesures fondamentaux. Le premier paradigme fondamental utilisé dans ce travail est le raisonnement à partir de cas (CBR), qui permet d'exploiter les connaissances historiquement acquises et l'expérience accumulée en ce qui concerne un problème spécifique. Ce paradigme est utilisé pour générer des solutions émergentes pour un nouveau problème en utilisant une base de données de connaissances. L'idée principale est de rechercher des situations antérieures similaires et d'utiliser l'expérience acquise pour résoudre de nouveaux problèmes. La CBR est particulièrement utile lorsque les causes sous-jacentes d'un problème ne sont pas bien comprises. Le raisonnement à base de cas définit un cycle de quatre étapes pour améliorer la solution d'inférence \cite{jmse11050890}.	369	369	Cette section présente les concepts, les définitions et les algorithmes nécessaires à la compréhension du modèle proposé, ainsi que les modèles et les mesures fondamentaux. Le premier paradigme fondamental utilisé dans ce travail est le raisonnement à partir de cas (RàPC), qui permet d'exploiter les connaissances historiquement acquises et l'expérience accumulée en ce qui concerne un problème spécifique. Ce paradigme est utilisé pour générer des solutions émergentes pour un nouveau problème en utilisant une base de données de connaissances. L'idée principale est de rechercher des situations antérieures similaires et d'utiliser l'expérience acquise pour résoudre de nouveaux problèmes. Le RàPC est particulièrement utile lorsque les causes sous-jacentes d'un problème ne sont pas bien comprises. Le raisonnement à base de cas définit un cycle de quatre étapes pour améliorer la solution d'inférence \cite{jmse11050890}.
	370	370
Puisque l'objectif ici est d'adapter les exercices proposés par AI-VT, il est nécessaire de connaître le fonctionnement de l'un des algorithmes les plus utilisés pour effectuer l'adaptation du contenu et des exercices dans certains STI, afin de comparer les résultats avec l'algorithme proposé et de voir dans quelle mesure il permet d'obtenir une amélioration de l'adaptation et de la performance des apprenants. L'un des modèles les plus couramment utilisés dans les STI pour adapter le contenu et estimer la progression du niveau de connaissance des apprenants est le BKT (Bayesian Knowledge Tracing) \cite{ZHANG2018189}. Ce modèle utilise quatre paramètres pour estimer la progression des connaissances. $P(k)$ estime la probabilité de connaissance dans une compétence spécifique. $P(w)$, est la probabilité que l'apprenant démontre ses connaissances. $P(s)$, est la probabilité que l'apprenant fasse une erreur.$P(g)$, est la probabilité que l'apprenant ait deviné une réponse. La valeur estimée de la connaissance est mise à jour avec les équations \ref{eqbkt1}, \ref{eqbkt2} et \ref{eqbkt3}. Si la réponse de l'apprenant est correcte, l'équation \ref{eqbkt1} est utilisée, mais si la réponse est incorrecte, l'équation \ref{eqbkt2} est utilisée.	371	371	Puisque l'objectif ici est d'adapter les exercices proposés par AI-VT, il est nécessaire de connaître le fonctionnement de l'un des algorithmes les plus utilisés pour effectuer l'adaptation du contenu et des exercices dans certains STI, afin de comparer les résultats avec l'algorithme proposé et de voir dans quelle mesure il permet d'obtenir une amélioration de l'adaptation et de la performance des apprenants. L'un des modèles les plus couramment utilisés dans les EIAH pour adapter le contenu et estimer la progression du niveau de connaissance des apprenants est le BKT (Bayesian Knowledge Tracing) \cite{ZHANG2018189}. Ce modèle utilise quatre paramètres pour estimer la progression des connaissances. $P(k)$ estime la probabilité de connaissance dans une compétence spécifique. $P(w)$, est la probabilité que l'apprenant démontre ses connaissances. $P(s)$, est la probabilité que l'apprenant fasse une erreur.$P(g)$, est la probabilité que l'apprenant ait deviné une réponse. La valeur estimée de la connaissance est mise à jour avec les équations \ref{eqbkt1}, \ref{eqbkt2} et \ref{eqbkt3}. Si la réponse de l'apprenant est correcte, l'équation \ref{eqbkt1} est utilisée, mais si la réponse est incorrecte, l'équation \ref{eqbkt2} est utilisée.
	372	372
\begin{equation}	373	373	\begin{equation}
P(k_{t-1}\|Correct_t)=\frac{P(k_{t-1})(1-P(s))}{P(k_{t-1})(1-P(s))+(1-P(k_{t-1}))P(g)}	374	374	P(k_{t-1}\|Correct_t)=\frac{P(k_{t-1})(1-P(s))}{P(k_{t-1})(1-P(s))+(1-P(k_{t-1}))P(g)}
\label{eqbkt1}	375	375	\label{eqbkt1}
\end{equation}	376	376	\end{equation}
	377	377
\begin{equation}	378	378	\begin{equation}
P(k_{t-1}\|Incorrect_t)=\frac{P(k_{t-1})P(s)}{P(k_{t-1})(P(s))+(1-P(k_{t-1}))(1-P(g))}	379	379	P(k_{t-1}\|Incorrect_t)=\frac{P(k_{t-1})P(s)}{P(k_{t-1})(P(s))+(1-P(k_{t-1}))(1-P(g))}
\label{eqbkt2}	380	380	\label{eqbkt2}
\end{equation}	381	381	\end{equation}
	382	382
\begin{equation}	383	383	\begin{equation}
P(k_{t})=P(k_{t-1}\|evidence_t)+(1-P(k_{t-1}\|evidence_t))P(w)	384	384	P(k_{t})=P(k_{t-1}\|evidence_t)+(1-P(k_{t-1}\|evidence_t))P(w)
\label{eqbkt3}	385	385	\label{eqbkt3}
\end{equation}	386	386	\end{equation}
	387	387
Le modèle de recommandation proposé, associé à AI-VT, est fondé sur le paradigme de l'apprentissage par renforcement. L'apprentissage par renforcement est une technique d'apprentissage automatique qui permet, par le biais d'actions et de récompenses, d'améliorer les connaissances du système sur une tâche spécifique \cite{NEURIPS2023_9d8cf124}. L'algorithme utilisé pour l'adaptation est un algorithme d'apprentissage par renforcement appelé échantillonnage de Thompson, qui, par le biais d'une distribution de probabilité initiale (distribution a priori) et d'un ensemble de règles de mise à jour prédéfinies, peut adapter et améliorer les estimations initiales d'un processus analysé spécifique \cite{pmlr-v238-ou24a}. La distribution de probabilité initiale est généralement définie comme une distribution spécifique de la famille des distributions Bêta (équation \ref{fbeta}) avec des valeurs initiales prédéterminées pour $\alpha$ et $\beta$ \cite{math12111758}, \cite{NGUYEN2024111566}.	388	388	Le modèle de recommandation proposé, associé à AI-VT, est fondé sur le paradigme de l'apprentissage par renforcement. L'apprentissage par renforcement est une technique d'apprentissage automatique qui permet, par le biais d'actions et de récompenses, d'améliorer les connaissances du système sur une tâche spécifique \cite{NEURIPS2023_9d8cf124}. L'algorithme utilisé pour l'adaptation est un algorithme d'apprentissage par renforcement appelé échantillonnage de Thompson, qui, par le biais d'une distribution de probabilité initiale (distribution a priori) et d'un ensemble de règles de mise à jour prédéfinies, peut adapter et améliorer les estimations initiales d'un processus analysé spécifique \cite{pmlr-v238-ou24a}. La distribution de probabilité initiale est généralement définie comme une distribution spécifique de la famille des distributions Bêta (équation \ref{fbeta}) avec des valeurs initiales prédéterminées pour $\alpha$ et $\beta$ \cite{math12111758}, \cite{NGUYEN2024111566}.
	389	389
%\begin{equation}	390	390	%\begin{equation}
% Beta(x,\alpha,\beta)=\begin{cases}	391	391	% Beta(x,\alpha,\beta)=\begin{cases}
% \frac{(x^{\alpha -1})(1-x)^{\beta -1}}{\int_0^1(u^{\alpha -1})(1-u)^{\beta -1} du}&x \in [0, 1]\\	392	392	% \frac{(x^{\alpha -1})(1-x)^{\beta -1}}{\int_0^1(u^{\alpha -1})(1-u)^{\beta -1} du}&x \in [0, 1]\\
% 0&otherwise	393	393	% 0&otherwise
% \end{cases}	394	394	% \end{cases}
%\end{equation}	395	395	%\end{equation}
	396	396
\begin{equation}	397	397	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}	398	398	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\label{fbeta}	399	399	\label{fbeta}
\end{equation}	400	400	\end{equation}
	401	401
En utilisant la definition formelle de la fonction Gamma $\Gamma$ (équation \ref{eqGamma1}) et en remplaçant des variables, une nouvelle expression de la fonction Beta est obtenue (équation \ref{f2beta}).	402	402	En utilisant la definition formelle de la fonction Gamma $\Gamma$ (équation \ref{eqGamma1}) et en remplaçant des variables, une nouvelle expression de la fonction Beta est obtenue (équation \ref{f2beta}).
	403	403
\begin{equation}	404	404	\begin{equation}
\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x} x^{z-1} dx	405	405	\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x} x^{z-1} dx
\label{eqGamma1}	406	406	\label{eqGamma1}
\end{equation}	407	407	\end{equation}
	408	408
\begin{equation}	409	409	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_0^\infty e^{-u} u^{\alpha-1}du\int_0^\infty e^{-v} v^{\beta-1}dv}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}	410	410	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_0^\infty e^{-u} u^{\alpha-1}du\int_0^\infty e^{-v} v^{\beta-1}dv}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\label{f2beta}	411	411	\label{f2beta}
\end{equation}	412	412	\end{equation}
	413	413
En exprimant les deux intégrales du denominateur comme une seule intégrale, l'équation \ref{f3Beta} est obtenue.	414	414	En exprimant les deux intégrales du denominateur comme une seule intégrale, l'équation \ref{f3Beta} est obtenue.
	415	415
\begin{equation}	416	416	\begin{equation}
\int_{u=0}^{\infty}\int_{v=0}^\infty e^{-u-v} u^{\alpha-1} v^{\beta-1}du dv	417	417	\int_{u=0}^{\infty}\int_{v=0}^\infty e^{-u-v} u^{\alpha-1} v^{\beta-1}du dv
\label{f3Beta}	418	418	\label{f3Beta}
\end{equation}	419	419	\end{equation}
	420	420
Après, sont remplacées $u=st$, $v=s(1-t)$, $s=u+v$ et $t=u/(u+v)$, avec le résultat du Jacobien \ref{eqJac}, alors l'expression finale est comme montre l'équation \ref{f4Beta}.	421	421	Après, sont remplacées $u=st$, $v=s(1-t)$, $s=u+v$ et $t=u/(u+v)$, avec le résultat du Jacobien \ref{eqJac}, alors l'expression finale est comme montre l'équation \ref{f4Beta}.
	422	422
\begin{equation}	423	423	\begin{equation}
\left (	424	424	\left (
\begin{matrix}	425	425	\begin{matrix}
\frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial s}\\	426	426	\frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial s}\\
\frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial s}\\	427	427	\frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial s}\\
\end{matrix}	428	428	\end{matrix}
\right ) =	429	429	\right ) =
\left (	430	430	\left (
\begin{matrix}	431	431	\begin{matrix}
sdt & tds \\	432	432	sdt & tds \\
-sdt & (1-t)ds\\	433	433	-sdt & (1-t)ds\\
\end{matrix}	434	434	\end{matrix}
\right ) = s \; dtds	435	435	\right ) = s \; dtds
\label{eqJac}	436	436	\label{eqJac}
\end{equation}	437	437	\end{equation}
	438	438
\begin{equation}	439	439	\begin{equation}
\int_{s=0}^\infty \int_{t=0}^1 e^{-s}(st)^{\alpha-1}(s(1-t))^{\beta-1}s \; dsdt	440	440	\int_{s=0}^\infty \int_{t=0}^1 e^{-s}(st)^{\alpha-1}(s(1-t))^{\beta-1}s \; dsdt
\label{f4Beta}	441	441	\label{f4Beta}
\end{equation}	442	442	\end{equation}
	443	443
Si les intégrales sont exprimées en fonction des variables indépendantes $s$ et $t$ l'équation \ref{f5Beta} est générée.	444	444	Si les intégrales sont exprimées en fonction des variables indépendantes $s$ et $t$ l'équation \ref{f5Beta} est générée.
	445	445
\begin{equation}	446	446	\begin{equation}
\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt	447	447	\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
\label{f5Beta}	448	448	\label{f5Beta}
\end{equation}	449	449	\end{equation}
	450	450
En plaçant les termes dans l'équation le résultat est l'équation \ref{f6Beta}.	451	451	En plaçant les termes dans l'équation le résultat est l'équation \ref{f6Beta}.
	452	452
\begin{equation}	453	453	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt	454	454	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\int_0^\infty e^{-s} s^{\alpha+\beta-1}ds}{\int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{\alpha+\beta-1}ds \int_{t=0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}	455	455	}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}
\label{f6Beta}	456	456	\label{f6Beta}
\end{equation}	457	457	\end{equation}
	458	458
Finalement, la famille de fonctions de distribution Beta peut être exprimée comme l'équation \ref{f7Beta}. Les métriques utilisées dans ce chapitre s'expriment en fonction de cette définition.	459	459	Finalement, la famille de fonctions de distribution Beta peut être exprimée comme l'équation \ref{f7Beta}. Les métriques utilisées dans ce chapitre s'expriment en fonction de cette définition.
	460	460
\begin{equation}	461	461	\begin{equation}
Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{\int_{0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt	462	462	Beta(\theta \| \alpha, \beta) = \frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{\int_{0}^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
}	463	463	}
\label{f7Beta}	464	464	\label{f7Beta}
\end{equation}	465	465	\end{equation}
	466	466
L'évolution de l'algorithme de recommandation TS est établie par le changement des distributions de probabilité, mais au moment de quantifier l'évolution, le changement et la variabilité doivent être calculés en fonction du temps. Les distributions de probabilités peuvent être comparées pour déterminer leur degré de similitude, sous la forme d'une métrique qui détermine numériquement les différences entre elles. L'apprentissage automatique utilise la divergence de Kullback-Liebler, qui décrit l'entropie relative de deux distributions de probabilités. Cette fonction est fondée sur le concept d'entropie et le résultat peut être interprété comme la quantité d'information nécessaire pour obtenir la distribution de probabilité $q$ à partir de la distribution de probabilité $p$. La divergence de Kullback-Liebler (équation \ref{dkl}) est largement utilisée, mais elle présente l'inconvénient de ne pas pouvoir être utilisée comme métrique dans certains cas, car il ne s'agit pas d'une mesure symétrique, $D_{KL}(p,q) \neq D_{KL}(q,p)$, elle ne satisfait pas à l'inégalité triangulaire et elle n'est pas bornée \cite{Li_2024}. Pour remédier à cette difficulté, il est possible d'utiliser la divergence de Jensen-Shannon.	467	467	L'évolution de l'algorithme de recommandation TS est établie par le changement des distributions de probabilité, mais au moment de quantifier l'évolution, le changement et la variabilité doivent être calculés en fonction du temps. Les distributions de probabilités peuvent être comparées pour déterminer leur degré de similitude, sous la forme d'une métrique qui détermine numériquement les différences entre elles. L'apprentissage automatique utilise la divergence de Kullback-Liebler, qui décrit l'entropie relative de deux distributions de probabilités. Cette fonction est fondée sur le concept d'entropie et le résultat peut être interprété comme la quantité d'information nécessaire pour obtenir la distribution de probabilité $q$ à partir de la distribution de probabilité $p$. La divergence de Kullback-Liebler (équation \ref{dkl}) est largement utilisée, mais elle présente l'inconvénient de ne pas pouvoir être utilisée comme métrique dans certains cas, car il ne s'agit pas d'une mesure symétrique, $D_{KL}(p,q) \neq D_{KL}(q,p)$, elle ne satisfait pas à l'inégalité triangulaire et elle n'est pas bornée \cite{Li_2024}. Pour remédier à cette difficulté, il est possible d'utiliser la divergence de Jensen-Shannon.
	468	468
\begin{equation}	469	469	\begin{equation}
D_{KL}(p(x),q(x))=\int_{-\infty}^{\infty}p(x) log \left(\frac{p(x)}{q(x)} \right)dx	470	470	D_{KL}(p(x),q(x))=\int_{-\infty}^{\infty}p(x) log \left(\frac{p(x)}{q(x)} \right)dx
\label{dkl}	471	471	\label{dkl}
\end{equation}	472	472	\end{equation}
	473	473
La divergence de Jenser-Shannon est fondée sur la divergence de Kullback-Liebler, à la différence qu'une distribution de probabilité auxiliaire $m$ est créée dont la définition est fondée sur les distributions initiales $p$ et $q$ \cite{Kim2024}. L'équation \ref{djs} montre la définition formelle de la divergence de Jensen-Shannon, où $m(x)$ est une distribution de mélange de probabilités fondée sur $p(x)$ et $q(x)$, l'équation \ref{djs2} montre comment elle est calculée. La divergence de Jensen-Shannon est un mélange de distributions de probabilités fondé sur $p(x)$ et $q(x)$.	474	474	La divergence de Jenser-Shannon est fondée sur la divergence de Kullback-Liebler, à la différence qu'une distribution de probabilité auxiliaire $m$ est créée dont la définition est fondée sur les distributions initiales $p$ et $q$ \cite{Kim2024}. L'équation \ref{djs} montre la définition formelle de la divergence de Jensen-Shannon, où $m(x)$ est une distribution de mélange de probabilités fondée sur $p(x)$ et $q(x)$, l'équation \ref{djs2} montre comment elle est calculée. La divergence de Jensen-Shannon est un mélange de distributions de probabilités fondé sur $p(x)$ et $q(x)$.
	475	475
%Jensen-Shannon Divergence (equations \ref{djs}, \ref{djs2}).\\	476	476	%Jensen-Shannon Divergence (equations \ref{djs}, \ref{djs2}).\\
	477	477
\begin{equation}	478	478	\begin{equation}
D_{JS}(p(x),q(x))=\frac{1}{2}D_{KL}(p(x), m(x))+\frac{1}{2}D_{KL}(q(x), m(x))	479	479	D_{JS}(p(x),q(x))=\frac{1}{2}D_{KL}(p(x), m(x))+\frac{1}{2}D_{KL}(q(x), m(x))
\label{djs}	480	480	\label{djs}
\end{equation}	481	481	\end{equation}
	482	482
\begin{equation}	483	483	\begin{equation}
m(x)=\frac{1}{2}p(x)+\frac{1}{2}q(x)	484	484	m(x)=\frac{1}{2}p(x)+\frac{1}{2}q(x)
\label{djs2}	485	485	\label{djs2}
\end{equation}	486	486	\end{equation}
	487	487
Les distributions de probabilité à comparer doivent être continues et définies dans le même domaine.	488	488	Les distributions de probabilité à comparer doivent être continues et définies dans le même domaine.
	489	489
La prédiction utilisée dans le modèle proposé est fondée sur les travaux de Soto \textit{et al.} \cite{10.1007/978-3-031-63646-2_11}, il s'agit d'un modèle d'empilage de raisonnement à partir de cas qui met en œuvre deux niveaux d'intégration, le modèle utilise globalement la stratégie d'empilage pour exécuter plusieurs algorithmes afin de rechercher des informations dans un ensemble de données et de générer des solutions à différents problèmes génériques, en outre il y a une étape d'évaluation qui permet de sélectionner la solution la plus optimale pour un problème donné en fonction d'une métrique adaptative définie pour les problèmes de régression. Il a été décidé de mettre en œuvre le modèle fondé sur l'empilement car il s'agit d'une méthode d'ensemble qui permet d'éviter le paradoxe de Stein puisqu'elle combine les points de vue de différents estimateurs à des étapes de récupération et de réutilisation par raisonnement à partir de cas.	490	490	La prédiction utilisée dans le modèle proposé est fondée sur les travaux de Soto \textit{et al.} \cite{10.1007/978-3-031-63646-2_11}, il s'agit d'un modèle d'empilage de raisonnement à partir de cas qui met en œuvre deux niveaux d'intégration, le modèle utilise globalement la stratégie d'empilage pour exécuter plusieurs algorithmes afin de rechercher des informations dans un ensemble de données et de générer des solutions à différents problèmes génériques, en outre il y a une étape d'évaluation qui permet de sélectionner la solution la plus optimale pour un problème donné en fonction d'une métrique adaptative définie pour les problèmes de régression. Il a été décidé de mettre en œuvre le modèle fondé sur l'empilement car il s'agit d'une méthode d'ensemble qui permet fondé sur le paradoxe de Stein puisqu'elle combine les points de vue de différents estimateurs à des étapes de récupération et de réutilisation dans le raisonnement à partir de cas.
	491	491
\subsection{Modèle Proposé}	492	492	\subsection{Modèle Proposé}
	493	493
Le modèle proposé est une intégration du modèle d'adaptation stochastique (fondé sur l'échantillonnage de Thompson) avec le raisonnement à base de cas d'ensemble (ESCBR-SMA). Dans ce cas, le modèle de recommandation produit une adaptation en fonction des notes de l'apprenant et l'ESCBR-SMA effectue une prédiction pour valider l'adaptation générée.	494	494	Le modèle proposé est une intégration du modèle d'adaptation stochastique (fondé sur l'échantillonnage de Thompson) avec le raisonnement à partir de cas d'ensemble (ESCBR-SMA). Dans ce cas, le modèle de recommandation produit une adaptation en fonction des notes de l'apprenant et l'ESCBR-SMA effectue une prédiction pour valider l'adaptation générée.
	495	495
L'idée d'unifier les deux modèles est d'obtenir des informations du point de vue local où une recommandation est obtenue en se basant uniquement sur les informations des apprenants individuels (modèle fondé sur l'échantillonnage de Thompson) et la prédiction globale où les informations sont obtenues à partir de tous les apprenants qui ont des résultats similaires (filtre collaboratif avec CBR). L'architecture du modèle est présentée dans la figure \ref{fig:Amodel}, où l'on peut voir que les deux modèles TS et CBR sont exécutés en parallèle et indépendamment avec les informations extraites de la même base de données, une fois que les résultats de chaque modèle sont obtenus, les résultats sont unifiés par le biais d'une fonction de pondération, la recommandation finale est celle qui maximise l'expression \ref{eqMixModels}. La consolidation des résultats des deux modèles permet d'atténuer l'effet du paradoxe de Simpson \cite{10.1145/3578337.3605122}. Ce paradox décrit l'effet qui se présente lorsque les données sont grouppes de différents manières et montrent tendances divergentes \cite{lei2024analysis}.	496	496	L'idée d'unifier les deux modèles est d'obtenir des informations du point de vue local où une recommandation est obtenue en utilisant uniquement sur les informations des apprenants individuels (modèle fondé sur l'échantillonnage de Thompson) et la prédiction globale où les informations sont obtenues à partir de tous les apprenants qui ont des résultats similaires (filtre collaboratif avec RàPC). L'architecture du modèle est présentée dans la figure \ref{fig:Amodel}, où l'on peut voir que les deux modèles TS et RàPC sont exécutés en parallèle et indépendamment avec les informations extraites de la même base de données, une fois que les résultats de chaque modèle sont obtenus, les résultats sont unifiés par le biais d'une fonction de pondération, la recommandation finale est celle qui maximise l'expression \ref{eqMixModels}. La consolidation des résultats des deux modèles permet d'atténuer l'effet du paradoxe de Simpson \cite{10.1145/3578337.3605122}. Ce paradox décrit l'effet qui se présente lorsque les données sont grouppes de différents manières et montrent tendances divergentes \cite{lei2024analysis}.
	497	497
\begin{figure}	498	498	\begin{figure}
\centering	499	499	\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Figures/Model.png}	500	500	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Figures/Model.png}
\caption{Schéma de l'architecture du modèle proposé}	501	501	\caption{Schéma de l'architecture du modèle proposé}
\label{fig:Amodel}	502	502	\label{fig:Amodel}
\end{figure}	503	503	\end{figure}
	504	504
La première étape est l'adaptation avec l'échantillonnage de Thompson, puis la prédiction ECBR-SMA et enfin la prise de décision à envoyer à l'apprenant. Le système de recommandation obtient une valeur de probabilité pour tous les niveaux de complexité de l'apprenant et l'ECBR-SMA évalue la proposition avec une prédiction pour chaque niveau de complexité. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres du modèle proposé ainsi que les mesures employées. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres du modèle proposé ainsi que les mesures employées.	505	505	La première étape est l'adaptation avec l'échantillonnage de Thompson, puis la prédiction ECBR-SMA et enfin la prise de décision à envoyer à l'apprenant. Le système de recommandation obtient une valeur de probabilité pour tous les niveaux de complexité de l'apprenant et l'ECBR-SMA évalue la proposition avec une prédiction pour chaque niveau de complexité. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres du modèle proposé ainsi que les mesures employées. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres du modèle proposé ainsi que les mesures employées.
	506	506
\begin{table}[!ht]	507	507	\begin{table}[!ht]
\centering	508	508	\centering
\footnotesize	509	509	\footnotesize
\begin{tabular}{c\|c\|>{\centering\arraybackslash}p{8cm}\|c}	510	510	\begin{tabular}{c\|c\|>{\centering\arraybackslash}p{8cm}\|c}
ID&Type&Description&Domain\\	511	511	ID&Type&Description&Domain\\
\hline	512	512	\hline
$\alpha$&p&Paramètre de la distribution bêta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\	513	513	$\alpha$&p&Paramètre de la distribution bêta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\
$\beta$&p&Paramètre de la distribution bêta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\	514	514	$\beta$&p&Paramètre de la distribution bêta&$[1, \infty] \in \mathbb{R}$\\
$t$&p&Temps défini comme itérations&$\mathbb{N}$\\	515	515	$t$&p&Temps défini comme itérations&$\mathbb{N}$\\
$c$&p&Niveau de complexité&$\mathbb{N}$\\	516	516	$c$&p&Niveau de complexité&$\mathbb{N}$\\
$k_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance dans le temps $t$ pour le niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	517	517	$k_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance dans le temps $t$ pour le niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$vk_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance pour chaque niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}$\\	518	518	$vk_{t,c}$&v&Évolution de la connaissance pour chaque niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}$\\
$TS_c$&v&Récompense d'échantillonnage de Thompson pour un niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	519	519	$TS_c$&v&Récompense d'échantillonnage de Thompson pour un niveau de complexité $c$&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$TSN_c$&v&Normalization de $TS_c$ avec d'autres niveaux de complexité&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	520	520	$TSN_c$&v&Normalization de $TS_c$ avec d'autres niveaux de complexité&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
$ESCBR_c$&v&Prédiction de la note pour un niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\	521	521	$ESCBR_c$&v&Prédiction de la note pour un niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\
$p_c$&f&Fonction de densité de probabilité pour le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\	522	522	$p_c$&f&Fonction de densité de probabilité pour le niveau de complexité $c$&$\mathbb{R}_+$\\
$D_{JS}$&f&Divergence de Jensen-Shannon&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\	523	523	$D_{JS}$&f&Divergence de Jensen-Shannon&$[0,1] \in \mathbb{R}$\\
	524	524
\end{tabular}	525	525	\end{tabular}
\caption{Paramètres (p), variables (v) et fonctions (f) du modèle proposé et les métriques utilisées}	526	526	\caption{Paramètres (p), variables (v) et fonctions (f) du modèle proposé et les métriques utilisées}
\label{tabvp}	527	527	\label{tabvp}
\end{table}	528	528	\end{table}
	529	529
L'intégration se fait en trois étapes. Tout d'abord, il est nécessaire d'avoir des valeurs aléatoires pour chaque niveau de complexité $c$ en utilisant les distributions de probabilité générées avec le modèle TS (équation \ref{IntEq1}), une fois que toutes les valeurs de probabilité correspondant à tous les niveaux de complexité ont été obtenues, la normalisation de toutes ces valeurs est calculée comme indiqué dans l'équation \ref{IntEq2}. Les valeurs de normalisation servent de paramètres de priorité pour les prédictions effectuées par le modèle ESCBR-SMA, comme le montre l'équation \ref{eqMixModels}.	530	530	L'intégration se fait en trois étapes. Tout d'abord, il est nécessaire d'avoir des valeurs aléatoires pour chaque niveau de complexité $c$ en utilisant les distributions de probabilité générées avec le modèle TS (équation \ref{IntEq1}), une fois que toutes les valeurs de probabilité correspondant à tous les niveaux de complexité ont été obtenues, la normalisation de toutes ces valeurs est calculée comme indiqué dans l'équation \ref{IntEq2}. Les valeurs de normalisation servent de paramètres de priorité pour les prédictions effectuées par le modèle ESCBR-SMA, comme le montre l'équation \ref{eqMixModels}.
	531	531
\begin{equation}	532	532	\begin{equation}
TS_c=rand(Beta(\alpha_c, \beta_c))	533	533	TS_c=rand(Beta(\alpha_c, \beta_c))
\label{IntEq1}	534	534	\label{IntEq1}
\end{equation}	535	535	\end{equation}
	536	536
\begin{equation}	537	537	\begin{equation}
TSN_c=\frac{TS_c}{\sum_{i=0}^4TS_i}	538	538	TSN_c=\frac{TS_c}{\sum_{i=0}^4TS_i}
\label{IntEq2}	539	539	\label{IntEq2}
\end{equation}	540	540	\end{equation}
	541	541
\begin{equation}	542	542	\begin{equation}
n_c=argmax_c(TSN_c*ESCBR_c)	543	543	n_c=argmax_c(TSN_c*ESCBR_c)
\label{eqMixModels}	544	544	\label{eqMixModels}
\end{equation}	545	545	\end{equation}
	546	546
Avec les valeurs finales calculées pour chaque niveau de complexité, le niveau de complexité qui a la valeur la plus élevée est proposé comme recommandation finale (équation \ref{eqMixModels}). Le niveau de complexité qui a la valeur la plus élevée est proposé comme recommandation finale (équation \ref{eqMixModels}).	547	547	Avec les valeurs finales calculées pour chaque niveau de complexité, le niveau de complexité qui a la valeur la plus élevée est proposé comme recommandation finale (équation \ref{eqMixModels}). Le niveau de complexité qui a la valeur la plus élevée est proposé comme recommandation finale (équation \ref{eqMixModels}).
	548	548
\subsection{Résultats et Discussion}	549	549	\subsection{Résultats et Discussion}
	550	550
Cette section présente la description de la base de données et les paramètres utilisés pour mesurer la précision, la performance et la progression des connaissances, les résultats individuels du modèle de recommandation, le modèle de prédiction ainsi que leur intégration finale pour améliorer la personnalisation du système d'IA-VT. Cette section présente les résultats individuels du modèle de recommandation, le modèle de prédiction ainsi que leur intégration finale pour améliorer la personnalisation du système d'IA-VT.	551	551	Cette section présente la description de la base de données et les paramètres utilisés pour mesurer la précision, la performance et la progression des connaissances, les résultats individuels du modèle de recommandation, le modèle de prédiction ainsi que leur intégration finale pour améliorer la personnalisation du système d'AI-VT. Cette section présente les résultats individuels du modèle de recommandation, le modèle de prédiction ainsi que leur intégration finale pour améliorer la personnalisation du système d'AI-VT.
	552	552
La base de données a été générée avec la distribution logit-normale pour simuler les notes des apprenants, car il s'agit d'un bon modèle pour se rapprocher du monde réel. La base de données représente les notes et les temps de réponse d'un apprenant pour cinq questions à chaque niveau de complexité.	553	553	La base de données a été générée avec la distribution logit-normale pour simuler les notes des apprenants, car il s'agit d'un bon modèle pour se rapprocher du monde réel. La base de données représente les notes et les temps de réponse d'un apprenant pour cinq questions à chaque niveau de complexité.
	554	554
Le principal inconvénient de ce système de validation « en situation réelle » est la difficulté de la collecte des données. Cette difficulté est accentuée dans les contextes d'apprentissage autorégulé, puisque les apprenants peuvent quitter la plateforme d'apprentissage à tout moment et que les données peuvent être incomplètes \cite{badier:hal-04092828}.	555	555	Le principal inconvénient de ce système de validation « en situation réelle » est la difficulté de la collecte des données. Cette difficulté est accentuée dans les contextes d'apprentissage autorégulé, puisque les apprenants peuvent quitter la plateforme d'apprentissage à tout moment et que les données peuvent être incomplètes \cite{badier:hal-04092828}.
	556	556
Quatre tests différents ont été effectués pour démontrer les avantages de l'intégration de la TS et de la CBR dans les EIAH. Le premier est l'utilisation de CBR pour la régression avec une base de données d'apprenants afin de démontrer la capacité du modèle à prédire les notes à différents niveaux de complexité, le deuxième est l'évaluation de la progression des connaissances avec TS afin de déterminer l'efficacité du modèle dans la recommandation personnalisée pour chaque apprenant, La troisième est la comparaison entre les modèles de recommandation BKT et TS afin d'établir la performance du modèle TS en utilisant BKT comme modèle de base et enfin, la comparaison entre TS seul et TS avec ESCBR-SMA pour démontrer que l'intégration entre les deux modèles améliore l'ensemble du système de recommandation dans AI-VT.	557	557	Quatre tests différents ont été effectués pour démontrer les avantages de l'intégration de la TS et de la RàPC dans les EIAH. Le premier est l'utilisation du RàPC pour la régression avec une base de données d'apprenants afin de démontrer la capacité du modèle à prédire les notes à différents niveaux de complexité, le deuxième est l'évaluation de la progression des connaissances avec TS afin de déterminer l'efficacité du modèle dans la recommandation personnalisée pour chaque apprenant, La troisième est la comparaison entre les modèles de recommandation BKT et TS afin d'établir la performance du modèle TS en utilisant BKT comme modèle de base et enfin, la comparaison entre TS seul et TS avec ESCBR-SMA pour démontrer que l'intégration entre les deux modèles améliore l'ensemble du système de recommandation dans AI-VT.
	558	558
\subsubsection{Régression dans la base de données des apprenants avec ESCBR-SMA}	559	559	\subsubsection{Régression dans la base de données des apprenants avec ESCBR-SMA}
	560	560
Le SMA utilise le raisonnement bayésien, ce qui permet aux agents d'apprendre des données et des interactions au cours de l'exécution et de l'exploration.	561	561	Le SMA utilise le raisonnement bayésien, ce qui permet aux agents d'apprendre des données et des interactions au cours de l'exécution et de l'exploration.
	562	562
L'algorithme utilise une fonction noyau pour obtenir la meilleure approximation de la solution du nouveau problème, le problème de l'obtention de la meilleure solution est un problème NP, car la formulation est similaire au problème de Fermat-Weber à N dimensions. Le problème de l'obtention de la meilleure solution est un problème NP, car la formulation est similaire au problème de Fermat-Weber à N dimensions \cite{doi:10.1137/23M1592420}.	563	563	L'algorithme utilise une fonction noyau pour obtenir la meilleure approximation de la solution du nouveau problème, le problème de l'obtention de la meilleure solution est un problème NP, car la formulation est similaire au problème de Fermat-Weber à N dimensions. Le problème de l'obtention de la meilleure solution est un problème NP, car la formulation est similaire au problème de Fermat-Weber à N dimensions \cite{doi:10.1137/23M1592420}.
	564	564
La première série de tests est définie sous la forme de différents scénarios, comme le montre le tableau \ref{tab:scenarios}. Dans le scénario 1 (E1), il s'agit de prédire la note d'un apprenant au premier niveau de complexité, après 3 questions. Le scénario 2 (E2) contient les notes de 8 questions et l'objectif est de prédire la note de 9 questions dans le même niveau de complexité. Le scénario 3 (E3) contient les données permettant de prédire le passage à un niveau de complexité supérieur après 4 questions. Le scénario 4 (E4) contient 4 questions et la prédiction de 2 notes dans un niveau de complexité supérieur.	565	565	La première série de tests est définie sous la forme de différents scénarios, comme le montre le tableau \ref{tab:scenarios}. Dans le scénario 1 (E1), il s'agit de prédire la note d'un apprenant au premier niveau de complexité, après 3 questions. Le scénario 2 (E2) contient les notes de 8 questions et l'objectif est de prédire la note de 9 questions dans le même niveau de complexité. Le scénario 3 (E3) contient les données permettant de prédire le passage à un niveau de complexité supérieur après 4 questions. Le scénario 4 (E4) contient 4 questions et la prédiction de 2 notes dans un niveau de complexité supérieur.
	566	566
\begin{table}[!ht]	567	567	\begin{table}[!ht]
\centering	568	568	\centering
\begin{tabular}{ccc}	569	569	\begin{tabular}{ccc}
Scenario&Features&Output Dimension\\	570	570	Scenario&Features&Output Dimension\\
\hline	571	571	\hline
E1 & 5 & 1\\	572	572	E1 & 5 & 1\\
E2 & 15& 1\\	573	573	E2 & 15& 1\\
E3 & 9 & 1\\	574	574	E3 & 9 & 1\\
E4 & 9 & 2\\	575	575	E4 & 9 & 2\\
\end{tabular}	576	576	\end{tabular}
\caption{Description des scénarios}	577	577	\caption{Description des scénarios}
\label{tab:scenarios}	578	578	\label{tab:scenarios}
\end{table}	579	579	\end{table}
	580	580
Le modèle a été comparé à neuf algorithmes bien connus utilisés pour résoudre les problèmes de régression. La liste des algorithmes est présentée dans le tableau \ref{tabAlgs}.	581	581	Le modèle a été comparé à neuf algorithmes bien connus utilisés pour résoudre les problèmes de régression. La liste des algorithmes est présentée dans le tableau \ref{tabAlgs}.
	582	582
\begin{table}[!ht]	583	583	\begin{table}[!ht]
\centering	584	584	\centering
\footnotesize	585	585	\footnotesize
\begin{tabular}{ll\|ll}	586	586	\begin{tabular}{ll\|ll}
ID&Algorithm&ID&Algorithm\\	587	587	ID&Algorithm&ID&Algorithm\\
\hline	588	588	\hline
A1&Linear Regression&A6&Polinomial Regression\\	589	589	A1&Linear Regression&A6&Polinomial Regression\\
A2&K-Nearest Neighbor&A7&Ridge Regression\\	590	590	A2&K-Nearest Neighbor&A7&Ridge Regression\\
A3&Decision Tree&A8&Lasso Regression\\	591	591	A3&Decision Tree&A8&Lasso Regression\\
A4&Random Forest (Ensemble)&A9&Gradient Boosting (Ensemble)\\	592	592	A4&Random Forest (Ensemble)&A9&Gradient Boosting (Ensemble)\\
A5&Multi Layer Perceptron&A10&Proposed Ensemble Stacking CBR\\	593	593	A5&Multi Layer Perceptron&A10&Proposed Ensemble Stacking RàPC\\
\end{tabular}	594	594	\end{tabular}
\caption{Liste des algorithmes évalués }	595	595	\caption{Liste des algorithmes évalués }
\label{tabAlgs}	596	596	\label{tabAlgs}
\end{table}	597	597	\end{table}
	598	598
Les algorithmes ont été évalués à l'aide de trois mesures (Root Mean Squared Error - RMSE, Median Absolute Error - MedAE, Mean Absolute Error - MAE), dont les résultats figurent dans le tableau \ref{tab:results}, où l'on constate que l'algorithme proposé obtient de meilleurs résultats que les autres algorithmes avec lesquels il a été comparé, sauf dans les cas E1(MedAE), E1(MAE), E2(MedAE), E2(MAE), E3 et E4(MedAE) où les meilleurs résultats sont obtenus par l'algorithme A9, mais l'algorithme proposé occupe la deuxième place dans ces cas avec des résultats très proches. Il est possible de conclure que l'intégration de plusieurs algorithmes de recherche et de génération de solutions dans le cadre des paradigmes CBR et Stacking est efficace dans le cas de l'application à la prédiction des notes des apprenants.	599	599	Les algorithmes ont été évalués à l'aide de trois mesures (Root Mean Squared Error - RMSE, Median Absolute Error - MedAE, Mean Absolute Error - MAE), dont les résultats figurent dans le tableau \ref{tab:results}, où l'on constate que l'algorithme proposé obtient de meilleurs résultats que les autres algorithmes avec lesquels il a été comparé, sauf dans les cas E1(MedAE), E1(MAE), E2(MedAE), E2(MAE), E3 et E4(MedAE) où les meilleurs résultats sont obtenus par l'algorithme A9, mais l'algorithme proposé occupe la deuxième place dans ces cas avec des résultats très proches. Il est possible de conclure que l'intégration de plusieurs algorithmes de recherche et de génération de solutions dans le cadre des paradigmes RàPC et Stacking est efficace dans le cas de l'application à la prédiction des notes des apprenants.
	600	600
\begin{table}[!ht]	601	601	\begin{table}[!ht]
\centering	602	602	\centering
\footnotesize	603	603	\footnotesize
\begin{tabular}{c\|cccccccccc}	604	604	\begin{tabular}{c\|cccccccccc}
&\multicolumn{10}{c}{\textbf{Algorithme}}\\	605	605	&\multicolumn{10}{c}{\textbf{Algorithme}}\\
\hline	606	606	\hline
& A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\	607	607	& A1&A2&A3&A4&A5&A6&A7&A8&A9&A10\\
\textbf{Scenario (Metrique)}\\	608	608	\textbf{Scenario (Metrique)}\\
\hline	609	609	\hline
E1 (RMSE)&0.625&0.565&0.741&0.56&0.606&0.626&0.626&0.681&0.541&\textbf{0.54}\\	610	610	E1 (RMSE)&0.625&0.565&0.741&0.56&0.606&0.626&0.626&0.681&0.541&\textbf{0.54}\\
E1 (MedAE) & 0.387&0.35&0.46&0.338&0.384&0.387&0.387&0.453&\textbf{0.327}&0.347\\	611	611	E1 (MedAE) & 0.387&0.35&0.46&0.338&0.384&0.387&0.387&0.453&\textbf{0.327}&0.347\\
E1 (MAE) &0.485&0.436&0.572&0.429&0.47&0.485&0.485&0.544&\textbf{0.414}&0.417\\	612	612	E1 (MAE) &0.485&0.436&0.572&0.429&0.47&0.485&0.485&0.544&\textbf{0.414}&0.417\\
\hline	613	613	\hline
E2 (RMSE)& 0.562&0.588&0.78&0.571&0.61&0.562&0.562&0.622&0.557&\textbf{0.556}\\	614	614	E2 (RMSE)& 0.562&0.588&0.78&0.571&0.61&0.562&0.562&0.622&0.557&\textbf{0.556}\\
E2 (MedAE)&0.351&0.357&0.464&0.344&0.398&0.351&0.351&0.415&\textbf{0.334}&0.346\\	615	615	E2 (MedAE)&0.351&0.357&0.464&0.344&0.398&0.351&0.351&0.415&\textbf{0.334}&0.346\\
E2 (MAE)&0.433&0.448&0.591&0.437&0.478&0.433&0.433&0.495&\textbf{0.422}&0.429\\	616	616	E2 (MAE)&0.433&0.448&0.591&0.437&0.478&0.433&0.433&0.495&\textbf{0.422}&0.429\\
\hline	617	617	\hline
E3 (RMSE)&0.591&0.59&0.79&0.57&0.632&0.591&0.591&0.644&\textbf{0.555}&0.558\\	618	618	E3 (RMSE)&0.591&0.59&0.79&0.57&0.632&0.591&0.591&0.644&\textbf{0.555}&0.558\\
E3 (MedAE)&0.367&0.362&0.474&0.358&0.404&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.349\\	619	619	E3 (MedAE)&0.367&0.362&0.474&0.358&0.404&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.349\\
E3 (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.441&0.49&0.453&0.453&0.512&\textbf{0.427}&0.43\\	620	620	E3 (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.441&0.49&0.453&0.453&0.512&\textbf{0.427}&0.43\\
\hline	621	621	\hline
E4 (RMSE)&0.591&0.589&0.785&0.568&0.613&0.591&0.591&0.644&0.554&\textbf{0.549}\\	622	622	E4 (RMSE)&0.591&0.589&0.785&0.568&0.613&0.591&0.591&0.644&0.554&\textbf{0.549}\\
E4 (MedAE)&0.367&0.362&0.465&0.57&0.375&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.343\\	623	623	E4 (MedAE)&0.367&0.362&0.465&0.57&0.375&0.367&0.367&0.433&\textbf{0.336}&0.343\\
E4 (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.438&0.466&0.453&0.453&0.512&0.426&\textbf{0.417}\\	624	624	E4 (MAE)&0.453&0.45&0.598&0.438&0.466&0.453&0.453&0.512&0.426&\textbf{0.417}\\
\end{tabular}	625	625	\end{tabular}
\caption{Résultats de la régression pour la base de données des apprenants avec 100 exécutions}	626	626	\caption{Résultats de la régression pour la base de données des apprenants avec 100 exécutions}
\label{tab:results}	627	627	\label{tab:results}
\end{table}	628	628	\end{table}
	629	629
\subsubsection{Progression des connaissances}	630	630	\subsubsection{Progression des connaissances}
	631	631
Le modèle de recommandation TS est fondé sur le paradigme bayésien, ce qui est très utile lorsque les données sont limitées et l'incertitude forte. Afin de quantifier la connaissance et de voir sa progression dans le temps avec TS, la divergence de Jensen-Shannon avec la famille de distribution Beta en $t$ et $t-1$ fois a été utilisée comme second test. L'équation \ref{eqprog1} décrit formellement le calcul à effectuer avec les distributions de probabilité en un temps $t$ pour un niveau de complexité $c$, en utilisant la définition $m$ (équation \ref{eqprog2}).	632	632	Le modèle de recommandation TS est fondé sur le paradigme bayésien, ce qui est très utile lorsque les données sont limitées et l'incertitude forte. Afin de quantifier la connaissance et de voir sa progression dans le temps avec TS, la divergence de Jensen-Shannon avec la famille de distribution Beta en $t$ et $t-1$ fois a été utilisée comme second test. L'équation \ref{eqprog1} décrit formellement le calcul à effectuer avec les distributions de probabilité en un temps $t$ pour un niveau de complexité $c$, en utilisant la définition $m$ (équation \ref{eqprog2}).
	633	633
%\begin{equation}	634	634	%\begin{equation}
\begin{multline}	635	635	\begin{multline}
k_{t,c}=\frac{1}{2}	636	636	k_{t,c}=\frac{1}{2}
\int_{0}^{1}p_c(\alpha_t,\beta_t,x) log \left(\frac{p_c(\alpha_t,\beta_t,x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx	637	637	\int_{0}^{1}p_c(\alpha_t,\beta_t,x) log \left(\frac{p_c(\alpha_t,\beta_t,x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx
\\	638	638	\\
+\frac{1}{2}	639	639	+\frac{1}{2}
\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x) log \left(\frac{p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx	640	640	\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x) log \left(\frac{p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x)}{m(p_c(\alpha_{t-1},\beta_{t-1},x),p_c(\alpha_t,\beta_t,x))} \right)dx
\label{eqprog1}	641	641	\label{eqprog1}
\end{multline}	642	642	\end{multline}
%\end{equation}	643	643	%\end{equation}
	644	644
\begin{multline}	645	645	\begin{multline}
m(p(\alpha_{(t-1)},\beta_{(t-1)},x),p(\alpha_{t},\beta_{t},x))=\frac{1}{2} \left( \frac{x^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-x)^{\beta_{(t-1)}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-u^{\beta_{(t-1)}-1})du} \right )\\	646	646	m(p(\alpha_{(t-1)},\beta_{(t-1)},x),p(\alpha_{t},\beta_{t},x))=\frac{1}{2} \left( \frac{x^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-x)^{\beta_{(t-1)}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{(t-1)}-1}(1-u^{\beta_{(t-1)}-1})du} \right )\\
+\frac{1}{2} \left (\frac{x^{\alpha_{t}-1}(1-x)^{\beta_{t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{t}-1}(1-u^{\beta_{t}-1})du} \right )	647	647	+\frac{1}{2} \left (\frac{x^{\alpha_{t}-1}(1-x)^{\beta_{t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{t}-1}(1-u^{\beta_{t}-1})du} \right )
%\end{equation}	648	648	%\end{equation}
\label{eqprog2}	649	649	\label{eqprog2}
\end{multline}	650	650	\end{multline}
	651	651
La progression totale des connaissances en $t$ est la somme des différences entre $t$ et $t-1$ pour tous les $c$ niveaux de complexité calculés avec la divergence de Jensen-Shannon (équation \ref{eqTEK}). en utilisant l'évaluation de la progression de la variabilité (équation \ref{eqVarP}).	652	652	La progression totale des connaissances en $t$ est la somme des différences entre $t$ et $t-1$ pour tous les $c$ niveaux de complexité calculés avec la divergence de Jensen-Shannon (équation \ref{eqTEK}). en utilisant l'évaluation de la progression de la variabilité (équation \ref{eqVarP}).
	653	653
\begin{equation}	654	654	\begin{equation}
vk_{t,c}=\begin{cases}	655	655	vk_{t,c}=\begin{cases}
D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})), & \frac{\alpha_{t,c}}{\alpha_{t,c}+\beta_{t,c}} < \frac{\alpha_{t+1,c}}{\alpha_{t+1,c}+\beta_{t+1,c}}\\	656	656	D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})), & \frac{\alpha_{t,c}}{\alpha_{t,c}+\beta_{t,c}} < \frac{\alpha_{t+1,c}}{\alpha_{t+1,c}+\beta_{t+1,c}}\\
-D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})),& Otherwise	657	657	-D_{JS}(Beta(\alpha_{t,c},\beta_{t,c}), Beta(\alpha_{t+1,c},\beta_{t+1,c})),& Otherwise
\end{cases}	658	658	\end{cases}
\label{eqVarP}	659	659	\label{eqVarP}
\end{equation}	660	660	\end{equation}
	661	661
\begin{equation}	662	662	\begin{equation}
k_t=\sum_{c=4}^{c=0 \lor k_t \neq 0}	663	663	k_t=\sum_{c=4}^{c=0 \lor k_t \neq 0}
\begin{cases}	664	664	\begin{cases}
\alpha_{c-1} vk_{t,c-1};&vk_{t,c} > 0\\	665	665	\alpha_{c-1} vk_{t,c-1};&vk_{t,c} > 0\\
0;&Otherwise	666	666	0;&Otherwise
\end{cases}	667	667	\end{cases}
\label{eqTEK}	668	668	\label{eqTEK}
\end{equation}	669	669	\end{equation}
	670	670
\begin{figure}[!ht]	671	671	\begin{figure}[!ht]
\centering	672	672	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/kEvol_TS.jpg}	673	673	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/kEvol_TS.jpg}
\caption{Progression des connaissances avec l'échantillonnage de Thompson selon la divergence de Jensen-Shannon}	674	674	\caption{Progression des connaissances avec l'échantillonnage de Thompson selon la divergence de Jensen-Shannon}
\label{fig:evolution}	675	675	\label{fig:evolution}
\end{figure}	676	676	\end{figure}
	677	677
La figure \ref{fig:evolution} montre la progression cumulative des connaissances sur les quinze questions d'une seule session de formation. Entre la première et la dernière question de la même session, tous les apprenants ont statistiquement augmenté leur niveau de connaissance puisque la moyenne a augmenté, la variabilité augmente à partir de la première question jusqu'à la question neuf, où le système a acquis plus d'informations sur les apprenants, à partir de là la variabilité diminue et la moyenne augmente. La figure {fig:evolution} montre la progression cumulative des connaissances sur les quinze questions d'une même session de formation.	678	678	La figure \ref{fig:evolution} montre la progression cumulative des connaissances sur les quinze questions d'une seule séance de formation. Entre la première et la dernière question de la même séance, tous les apprenants ont statistiquement augmenté leur niveau de connaissance puisque la moyenne a augmenté, la variabilité augmente à partir de la première question jusqu'à la question neuf, où le système a acquis plus d'informations sur les apprenants, à partir de là la variabilité diminue et la moyenne augmente. La figure {fig:evolution} montre la progression cumulative des connaissances sur les quinze questions d'une même séance de formation.
	679	679
\subsubsection{Comparaison entre TS et BKT}	680	680	\subsubsection{Comparaison entre TS et BKT}
	681	681
L'évolution du système de recommandation TS est testée en comparaison avec BKT, la figure \ref{fig:EvGrades} montre l'évolution des notes des apprenants en fonction du nombre de questions auxquelles ils répondent dans la même session. Dans ce cas, le modèle TS génère moins de variabilité que BKT, mais si est faite la comparaison des moyennes générées par chaque question, l'évolution est très similaire. La figure \ref{fig:EvGrades} montre l'évolution des notes des apprenants en fonction du nombre de questions auxquelles ils répondent au cours de la même session.	682	682	L'évolution du système de recommandation TS est testée en comparaison avec BKT, la figure \ref{fig:EvGrades} montre l'évolution des notes des apprenants en fonction du nombre de questions auxquelles ils répondent dans la même séance. Dans ce cas, le modèle TS génère moins de variabilité que BKT, mais si est faite la comparaison des moyennes générées par chaque question, l'évolution est très similaire. La figure \ref{fig:EvGrades} montre l'évolution des notes des apprenants en fonction du nombre de questions auxquelles ils répondent au cours de la même séance.
	683	683
\begin{figure}[!ht]	684	684	\begin{figure}[!ht]
\centering	685	685	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/GradesEv.jpg}	686	686	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/GradesEv.jpg}
\caption{Comparaison de l'évolution des notes entre les algorithmes BKT et TS}	687	687	\caption{Comparaison de l'évolution des notes entre les algorithmes BKT et TS}
\label{fig:EvGrades}	688	688	\label{fig:EvGrades}
\end{figure}	689	689	\end{figure}
	690	690
Mais, si les résultats obtenus sont comparés par rapport à l'évolution du niveau de complexité recommandé (figure \ref{fig:EvCL}), le modèle TS fait évoluer le niveau de complexité des apprenants, alors que le modèle BKT a tendance à laisser les apprenants au même niveau de complexité, c'est-à-dire qu'avec le modèle BKT, il est difficile d'apprendre de nouveaux sujets ou des concepts plus complexes au sein du même domaine. En examinant les résultats des deux figures (figures \ref{fig:EvGrades} et \ref{fig:EvCL}) et en établissant des comparaisons, le modèle TS permet de progresser en moyenne dans la valeur des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité.\N- Le modèle TS permet de progresser en moyenne dans la valeur des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité. Le modèle TS permet de progresser en moyenne dans la valeur des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité.	691	691	Mais, si les résultats obtenus sont comparés par rapport à l'évolution du niveau de complexité recommandé (figure \ref{fig:EvCL}), le modèle TS fait évoluer le niveau de complexité des apprenants, alors que le modèle BKT a tendance à laisser les apprenants au même niveau de complexité, c'est-à-dire qu'avec le modèle BKT, il est difficile d'apprendre de nouveaux sujets ou des concepts plus complexes au sein du même domaine. En examinant les résultats des deux figures (figures \ref{fig:EvGrades} et \ref{fig:EvCL}) et en établissant des comparaisons, le modèle TS permet de progresser en moyenne dans la valeur des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité.\N- Le modèle TS permet de progresser en moyenne dans la valeur des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité. Le modèle TS permet de progresser en moyenne dans la valeur des notes et facilite l'évolution des niveaux de complexité.
	692	692
\begin{figure}[!ht]	693	693	\begin{figure}[!ht]
\centering	694	694	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/LevelsEv.jpg}	695	695	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/LevelsEv.jpg}
\caption{Comparaison de l'évolution des niveaux entre les algorithmes BKT et TS}	696	696	\caption{Comparaison de l'évolution des niveaux entre les algorithmes BKT et TS}
\label{fig:EvCL}	697	697	\label{fig:EvCL}
\end{figure}	698	698	\end{figure}
	699	699
\subsubsection{Système de recommandation avec ESCBR-SMA}	700	700	\subsubsection{Système de recommandation avec ESCBR-SMA}
	701	701
Le troisième test est l'intégration entre deux modèles. Cette combinaison est faite pour éviter le paradoxe de Stein, en essayant de combiner des observations qui ne sont pas directement liées l'une à l'autre, c'est-à-dire en utilisant l'information individuelle (Thomson sampling recommender) et le filtre collaboratif (Case-base reasoning prediction) pour améliorer la personnalisation. Le test est une comparaison entre le système de recommandation TS et le système de recommandation TS avec la prédiction ESCBR-SMA afin de déterminer si l'intégration des deux modèles permet d'améliorer l'évolution du processus d'apprentissage proposé par le système AI-VT.	702	702	Le troisième test est l'intégration entre deux modèles. Cette combinaison est faite fondée sur le paradoxe de Stein, en essayant de combiner des observations qui ne sont pas directement liées l'une à l'autre, c'est-à-dire en utilisant l'information individuelle (Thomson sampling recommender) et le filtre collaboratif (Case-base reasoning prediction) pour améliorer la personnalisation. Le test est une comparaison entre le système de recommandation TS et le système de recommandation TS avec la prédiction ESCBR-SMA afin de déterminer si l'intégration des deux modèles permet d'améliorer l'évolution du processus d'apprentissage proposé par le système AI-VT.
	703	703
La comparaison est effectuée après la question 6 pour tous les apprenants, car il est nécessaire de disposer d'informations préalables pour utiliser l'algorithme ESCBR-SMA et prédire les notes dans tous les niveaux de complexité pour la question suivante.	704	704	La comparaison est effectuée après la question 6 pour tous les apprenants, car il est nécessaire de disposer d'informations préalables pour utiliser l'algorithme ESCBR-SMA et prédire les notes dans tous les niveaux de complexité pour la question suivante.
	705	705
\subsubsection{Progression des connaissances TS vs TS et ESCBR-SMA}	706	706	\subsubsection{Progression des connaissances TS vs TS et ESCBR-SMA}
	707	707
Pour établir la différence entre le modèle de recommandation TS et le même modèle associé à la prédiction fondée sur le raisonnement à partir de cas ESCBR-SMA, le quatrième test est défini en utilisant la métrique de Jensen-Shannon, mais dans ce cas la comparaison est faite entre les différents modèles (TS, TS-ESCBR) sur le même niveau de complexité dans le même temps $t$. La définition formelle de la métrique est exprimée par les équations \ref{eqjs4} et \ref{eqjs5}. La définition formelle de la métrique est exprimée par les équations \ref{eqjs4} et \ref{eqjs5}.	708	708	Pour établir la différence entre le modèle de recommandation TS et le même modèle associé à la prédiction fondée sur le raisonnement à partir de cas ESCBR-SMA, le quatrième test est défini en utilisant la métrique de Jensen-Shannon, mais dans ce cas la comparaison est faite entre les différents modèles (TS, TS-ESCBR) sur le même niveau de complexité dans le même temps $t$. La définition formelle de la métrique est exprimée par les équations \ref{eqjs4} et \ref{eqjs5}.
	709	709
\begin{multline}	710	710	\begin{multline}
k_{t,c}=\frac{1}{2}	711	711	k_{t,c}=\frac{1}{2}
\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x)	712	712	\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x)
log \left(\frac{p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x)}{m(p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x),p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x))} \right)dx	713	713	log \left(\frac{p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x)}{m(p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x),p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x))} \right)dx
\\	714	714	\\
+\frac{1}{2}	715	715	+\frac{1}{2}
\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x) log \left(\frac{p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x)}{m(p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x),p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x))} \right)dx	716	716	\int_{0}^{1}p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x) log \left(\frac{p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x)}{m(p_c(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x),p_c(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x))} \right)dx
\label{eqjs4}	717	717	\label{eqjs4}
\end{multline}	718	718	\end{multline}
%\end{equation}	719	719	%\end{equation}
	720	720
\begin{multline}	721	721	\begin{multline}
m(p(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x),p(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x))=\frac{1}{2} \left( \frac{x^{\alpha_{p1,t}-1}(1-x)^{\beta_{p1,t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{p1,t}-1}(1-u^{\beta_{p1,t}-1})du} \right )\\	722	722	m(p(\alpha_{p1,t},\beta_{p1,t},x),p(\alpha_{p2,t},\beta_{p2,t},x))=\frac{1}{2} \left( \frac{x^{\alpha_{p1,t}-1}(1-x)^{\beta_{p1,t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{p1,t}-1}(1-u^{\beta_{p1,t}-1})du} \right )\\
+\frac{1}{2} \left (\frac{x^{\alpha_{p2,t}-1}(1-x)^{\beta_{p2,t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{p2,t}-1}(1-u^{\beta_{p2,t}-1})du} \right )	723	723	+\frac{1}{2} \left (\frac{x^{\alpha_{p2,t}-1}(1-x)^{\beta_{p2,t}-1}}{\int_0^1 u^{\alpha_{p2,t}-1}(1-u^{\beta_{p2,t}-1})du} \right )
\label{eqjs5}	724	724	\label{eqjs5}
%\end{equation}	725	725	%\end{equation}
\end{multline}	726	726	\end{multline}
	727	727
La comparaison entre l'évolution des connaissances présente une bifurcation après la septième question, et l'intégration de l'échantillonnage de Thompson et du raisonnement à partir de cas permet d'améliorer l'évolution des connaissances par rapport au seul modèle d'échantillonnage de Thompson (Figure \ref{fig_cmp2}). Pour toutes les questions de la même session, en moyenne, la progression est supérieure par rapport à l'utilisation du seul modèle d'échantillonnage de Thompson comme modèle de recommandation.	728	728	La comparaison entre l'évolution des connaissances présente une bifurcation après la septième question, et l'intégration de l'échantillonnage de Thompson et du raisonnement à partir de cas permet d'améliorer l'évolution des connaissances par rapport au seul modèle d'échantillonnage de Thompson (Figure \ref{fig_cmp2}). Pour toutes les questions de la même séance, en moyenne, la progression est supérieure par rapport à l'utilisation du seul modèle d'échantillonnage de Thompson comme modèle de recommandation.
	729	729
\begin{figure}[!h]	730	730	\begin{figure}[!h]
\centering	731	731	\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/TS-ESCBR.png}	732	732	\includegraphics[width=\textwidth]{Figures/TS-ESCBR.png}
\caption{Normalisation de la différence de progression entre l'échantillonnage de Thompson et l'échantillonnage de Thompson avec ESCBR pour 1000 apprenants}	733	733	\caption{Normalisation de la différence de progression entre l'échantillonnage de Thompson et l'échantillonnage de Thompson avec ESCBR pour 1000 apprenants}
\label{fig_cmp2}	734	734	\label{fig_cmp2}
\end{figure}	735	735	\end{figure}
	736	736
\subsection{Conclusion}	737	737	\subsection{Conclusion}
	738	738
Ce chapitre présente un modèle intégré entre deux modèles développés précédemment, un système de recommandation fondé sur l'algorithme d'échantillonnage de Thompson et un modèle de régression d'ensemble fondé sur le raisonnement par cas. Le modèle intégré est appliqué à un ITS appelé AI-VT, les résultats montrent en effet que l'intégration permet d'améliorer la performance des deux modèles utilisés séparément, en outre il montre de meilleurs résultats dans la révision/adaptation des étapes de solutions pour chaque apprenant, en fonction des métriques utilisées et des tests définis, donnant une meilleure personnalisation du système et facilitant l'acquisition de connaissances.	739	739	Cette partie a présenté un modèle intégré entre deux modèles développés précédemment, un système de recommandation fondé sur l'algorithme d'échantillonnage de Thompson et un modèle de régression d'ensemble fondé sur le raisonnement par cas. Le modèle intégré est appliqué au système AI-VT, les résultats montrent en effet que l'intégration permet d'améliorer la performance des deux modèles utilisés séparément, en outre il montre de meilleurs résultats dans la révision/adaptation des étapes de solutions pour chaque apprenant, en fonction des métriques utilisées et des tests définis, donnant une meilleure personnalisation du système et facilitant l'acquisition de connaissances.
%Le modèle intégré est appliqué à un ITS appelé AI-VT.\\	740	740	%Le modèle intégré est appliqué à un ITS appelé AI-VT.\\
	741	741
Les avantages du modèle proposé sont les suivants : i) il permet de générer des recommandations personnalisées pour chaque apprenant avec relativement peu de données historiques, ii) étant donné que de multiples points de vue (différents algorithmes) sur le même problème et avec la même base de données sont intégrés, le risque de tomber dans des paradoxes statistiques (Stein, Simpson) est réduit, iii) les deux modèles se complètent mutuellement en améliorant les résultats finaux d'une manière généralisée. Le modèle proposé a été conçu pour être utilisé dans le cadre d'un projet de recherche et de développement en cours.\\\\	742	742	Les avantages du modèle proposé sont les suivants : i) il permet de générer des recommandations personnalisées pour chaque apprenant avec relativement peu de données historiques, ii) l'intégration de plusieurs perspectives de solution sur une même problématique, selon le principe du paradoxe de Stein, permet de limiter le risque d'être confronté au paradoxe de Simpson, iii) les deux modèles se complètent mutuellement en améliorant les résultats finaux d'une manière généralisée. Le modèle proposé a été conçu pour être utilisé dans le cadre d'un projet de recherche et de développement en cours.\\\\
	743	743
\section{TROISIÈME PARTIE}	744	744	\section{TROISIÈME PARTIE}
	745	745
\subsection{Modèle Proposé}	746	746	\subsection{Modèle Proposé}
L'algorithme proposé est une intégration de la recommandation stochastique (fondée sur l'échantillonnage de Thompson), du raisonnement à partir de cas (ESCBR-SMA) et du processus de Hawkes. Dans ce cas, l'algorithme de recommandation produit une adaptation en fonction des notes de l'apprenant et l'ESCBR-SMA effectue une prédiction pour valider l'adaptation générée, le processus de Hawkes simule la courbe d'oubli dans le processus d'apprentissage.	747	747	L'algorithme proposé est une intégration de la recommandation stochastique (fondée sur l'échantillonnage de Thompson), du raisonnement à partir de cas (ESCBR-SMA) et du processus de Hawkes. Dans ce cas, l'algorithme de recommandation produit une adaptation en fonction des notes de l'apprenant et l'ESCBR-SMA effectue une prédiction pour valider l'adaptation générée, le processus de Hawkes simule la courbe d'oubli dans le processus d'apprentissage.
	748	748
L'idée de l'unification est d'obtenir des informations d'un point de vue local où une recommandation est obtenue en se basant uniquement sur les informations des apprenants individuels (modèle fondé sur l'échantillonnage de Thompson), la prédiction globale où les informations sont obtenues à partir de tous les apprenants qui ont des résultats similaires (filtre collaboratif avec CBR) et le processus d'apprentissage dynamique avec le processus de Hawkes. L'architecture de l'algorithme est présentée dans la figure \ref{fig:Amodel}, où TS et CBR sont exécutés en parallèle et indépendamment avec les informations extraites de la même base de données, une fois que les résultats de chaque algorithme sont obtenus, les résultats sont unifiés par une fonction de pondération et une distribution de probabilité mises à jour dynamiquement en fonction des événements passés et du niveau de complexité sélectionné, la recommandation finale est celle qui maximise l'expression \ref{eqMixModels}. La consolidation des deux résultats globaux permet d'atténuer l'effet du paradoxe de Simpson \cite{10.1145/3578337.3605122}.	749	749	L'idée de l'unification est d'obtenir des informations d'un point de vue local où une recommandation est obtenue en se basant uniquement sur les informations des apprenants individuels (modèle fondé sur l'échantillonnage de Thompson), la prédiction globale où les informations sont obtenues à partir de tous les apprenants qui ont des résultats similaires (filtre collaboratif avec RàPC) et le processus d'apprentissage dynamique avec le processus de Hawkes. L'architecture de l'algorithme est présentée dans la figure \ref{fig:Amodel}, où TS et RàPC sont exécutés en parallèle et indépendamment avec les informations extraites de la même base de données, une fois que les résultats de chaque algorithme sont obtenus, les résultats sont unifiés par une fonction de pondération et une distribution de probabilité mises à jour dynamiquement en fonction des événements passés et du niveau de complexité sélectionné, la recommandation finale est celle qui maximise l'expression \ref{eqMixModels}. La consolidation des deux résultats globaux permet d'atténuer l'effet du paradoxe de Simpson \cite{10.1145/3578337.3605122}.
	750	750
\begin{figure}[!ht]	751	751	\begin{figure}[!ht]
\centering	752	752	\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Figures/Model.png}	753	753	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Figures/Model.png}
\caption{Architecture Proposed Algorithm}	754	754	\caption{Architecture Proposed Algorithm}
\label{fig:Amodel}	755	755	\label{fig:Amodel}
\end{figure}	756	756	\end{figure}
	757	757
La première étape est l'adaptation avec l'échantillonnage de Thompson et la prédiction de l'ECBR-SMA, et enfin la prise de décision pour l'envoi à l'apprenant. Le système de recommandation obtient une valeur de probabilité pour tous les niveaux de complexité pour l'apprenant et l'ECBR-SMA évalue la proposition avec une prédiction pour chaque niveau de complexité. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres de l'algorithme proposé et les mesures employées.	758	758	La première étape est l'adaptation avec l'échantillonnage de Thompson et la prédiction de l'ECBR-SMA, et enfin la prise de décision pour l'envoi à l'apprenant. Le système de recommandation obtient une valeur de probabilité pour tous les niveaux de complexité pour l'apprenant et l'ECBR-SMA évalue la proposition avec une prédiction pour chaque niveau de complexité. Le tableau \ref{tabvp} présente les variables et les paramètres de l'algorithme proposé et les mesures employées.
	759	759
\begin{table}[!ht]	760	760	\begin{table}[!ht]
\centering	761	761	\centering

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\citation{Soto2}	3	3	\citation{Soto2}
\citation{MUANGPRATHUB2020e05227}	4	4	\citation{MUANGPRATHUB2020e05227}
\citation{9870279}	5	5	\citation{9870279}
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {7}Système de Recommandation dans AI-VT}{75}{chapter.7}\protected@file@percent }	6	6	\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {7}Système de Recommandation dans AI-VT}{75}{chapter.7}\protected@file@percent }
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\citation{Liu2023}	10	10	\citation{Liu2023}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.1}Modèle Proposé}{76}{subsection.7.2.1}\protected@file@percent }	12	12	\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.1}Modèle Proposé}{76}{subsection.7.2.1}\protected@file@percent }
\newlabel{eqBeta}{{7.1}{77}{Modèle Proposé}{equation.7.2.1}{}}	13	13	\newlabel{eqBeta}{{7.1}{77}{Modèle Proposé}{equation.7.2.1}{}}
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {7.1}{\ignorespaces Variables et paramètres du modèle proposé\relax }}{77}{table.caption.44}\protected@file@percent }	14	14	\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {7.1}{\ignorespaces Variables et paramètres du modèle proposé\relax }}{77}{table.caption.44}\protected@file@percent }
\newlabel{tabPar}{{7.1}{77}{Variables et paramètres du modèle proposé\relax }{table.caption.44}{}}	15	15	\newlabel{tabPar}{{7.1}{77}{Variables et paramètres du modèle proposé\relax }{table.caption.44}{}}
\newlabel{eqsMg}{{7.2}{77}{Modèle Proposé}{equation.7.2.2}{}}	16	16	\newlabel{eqsMg}{{7.2}{77}{Modèle Proposé}{equation.7.2.2}{}}
\citation{Arthurs}	17	17	\citation{Arthurs}
\newlabel{eqgtc}{{7.3}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.3}{}}	18	18	\newlabel{eqgtc}{{7.3}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.3}{}}
\newlabel{eqltc}{{7.4}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.4}{}}	19	19	\newlabel{eqltc}{{7.4}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.4}{}}
\newlabel{eqBRnd}{{7.5}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.5}{}}	20	20	\newlabel{eqBRnd}{{7.5}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.5}{}}
\newlabel{eqsncl}{{7.6}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.6}{}}	21	21	\newlabel{eqsncl}{{7.6}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.6}{}}
\newlabel{eqsGT}{{7.7}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.7}{}}	22	22	\newlabel{eqsGT}{{7.7}{78}{Modèle Proposé}{equation.7.2.7}{}}
\@writefile{loa}{\contentsline {algorithm}{\numberline {1}{\ignorespaces Stochastic Recommendation Model\relax }}{78}{algorithm.1}\protected@file@percent }	23	23	\@writefile{loa}{\contentsline {algorithm}{\numberline {1}{\ignorespaces Stochastic Recommendation Model\relax }}{78}{algorithm.1}\protected@file@percent }
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.2}Résultats}{78}{subsection.7.2.2}\protected@file@percent }	25	25	\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.2}Résultats}{78}{subsection.7.2.2}\protected@file@percent }
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\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {7.2}{\ignorespaces Description des variables utilisées dans la base de données evaluée\relax }}{79}{table.caption.46}\protected@file@percent }	28	28	\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {7.2}{\ignorespaces Description des variables utilisées dans la base de données evaluée\relax }}{79}{table.caption.46}\protected@file@percent }
\newlabel{tabDataSet}{{7.2}{79}{Description des variables utilisées dans la base de données evaluée\relax }{table.caption.46}{}}	29	29	\newlabel{tabDataSet}{{7.2}{79}{Description des variables utilisées dans la base de données evaluée\relax }{table.caption.46}{}}
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {7.3}{\ignorespaces Valeurs des paramètres pour les scénarios evalués\relax }}{79}{table.caption.47}\protected@file@percent }	30	30	\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {7.3}{\ignorespaces Valeurs des paramètres pour les scénarios evalués\relax }}{79}{table.caption.47}\protected@file@percent }
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7.2}{\ignorespaces Résultats pour le premier test\relax }}{80}{figure.caption.48}\protected@file@percent }	32	32	\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7.2}{\ignorespaces Résultats pour le premier test\relax }}{80}{figure.caption.48}\protected@file@percent }
\newlabel{figCmp2}{{7.2}{80}{Résultats pour le premier test\relax }{figure.caption.48}{}}	33	33	\newlabel{figCmp2}{{7.2}{80}{Résultats pour le premier test\relax }{figure.caption.48}{}}
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\newlabel{figCmp3}{{7.3}{81}{Résultats pour le deuxième Test\relax }{figure.caption.49}{}}	35	35	\newlabel{figCmp3}{{7.3}{81}{Résultats pour le deuxième Test\relax }{figure.caption.49}{}}
\newlabel{eqMetric1}{{7.8}{81}{Résultats}{equation.7.2.8}{}}	36	36	\newlabel{eqMetric1}{{7.8}{81}{Résultats}{equation.7.2.8}{}}
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Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 227.	29	29	Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 227.
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(/usr/local/texlive/2023/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def	31	31	(/usr/local/texlive/2023/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
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)	33	33	)
(/usr/local/texlive/2023/texmf-dist/tex/latex/graphics/mathcolor.ltx)	34	34	(/usr/local/texlive/2023/texmf-dist/tex/latex/graphics/mathcolor.ltx)
Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1353.	35	35	Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1353.
Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1357.	36	36	Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1357.
Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1369.	37	37	Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1369.
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